2.1.3.1 El problema

Aunque varios autores han abordado el problema de determinar la probabilidad de ganar un juego de raquetbol, Keller (1984) es pionero. En su trabajo, el encontró que la probabilidad de que un jugador \(A\) gane por un puntaje 21-0 al jugador \(B\) se calcula con la siguiente expresión:

\[\begin{equation} P_w = \frac{1+p}{2}\left( \frac{p}{1-p+p^2} \right)^{21} \tag{2.5} \end{equation}\]

donde \(p\) es la probabilidad de que el jugador \(A\) gane cualquier encuentro encuentro (independiente de quien haga el servicio). Burden and Faires (2011), en uno de los ejercicios de su texto, propone el cálculo de la probabilidad \(p\) tal que el jugador \(A\) gane por un puntaje 21-0 en al menos la mitad de los partidos que juegue, con una tolerancia de \(10^{-3}\).

2.1.3.2 Solución

De acuerdo con la información suministrada, \(P_w=0.5\). Además, la variable que se desea hallar se denota como \(p\).

De acuerdo con la formulación del método de NR, la ecuación que se debe solucionar es la expresión (2.5) igualada a cero. En otras palabras, se va a solucionar la siguiente ecuación:

\[f(p)=0\]

donde \(f(p)\) es una función objetivo tal que:

\[f(p) = \frac{1+p}{2}\left( \frac{p}{1-p+p^2} \right)^{21} - 0.5\] A continuación, se presentan unas líneas de código en las cuales se grafica \(f(p)\):

f.p <- function(p) {
  ( (1 + p)/2 )*( p/(1 - p + p^2) )^21 - 0.5
}

curve(f.p, col = 'blue', lwd = 2, from = 0, n = 100, xlim=c(0, 1), ylab='f(p)', xname="p")
abline(a=0, b=0, lty = 5)

En la figura anterior se puede apreciar que \(p>0.8\). Para hallar una solución aproximada, se va a implementar el méteodo de NR.

a. Opción 1
El método puede ser implementado programando la rutina que se definió más arriba. A continuación, se presentan unas líneas de código correspondientes al método de NR:

NR <- function(f, x0, tol = 1e-6, N0 = 500) {
  require(numDeriv) # Paquete que hace derivadas numéricas
  
  # x0.....Valor inicial
  # N0.....Número de iteraciones
  
  # Verificar que el punto inicial no sea una raiz
  fx0 <- f(x0)
  if (fx0 == 0.0) {
    return(x0)
  }

  k <- 1    # Inicializar contador
  A <- NA   # Inicializar vector de iteraciones
  
  while (k <= N0) {
    dx <- genD(func = f, x = x0)$D[1] # primera derivada, f'(x0)
    x1 <- x0 - (f(x0) / dx) # Cálculo de la aproximación siguiente
    A[k] <- x1 # Almacenar iteraciones
    # Imprimir el resultado cuando |x1 - x0| < tol
    if (abs(x1 - x0) < tol) {
      aprox <- tail(A, n=1)
      res <- list('Raíz aproximada' = aprox, 'iteraciones' = A, 'Número de iteraciones' = k)
      return(res)
    }
    # Si NR no ha alcanzado la convergencia, debe continuar
    x0 <- x1
    k <- k + 1
  }
  print('El método falló. El número de iteraciones no es suficiente.')
}

Para calcular la solución, basta con tomar la función f.p previamente escrita e ingresarla como el argumento f en la función NR, como se muestra a continuación:

NR(f = f.p, x0 = 0.75, tol = 1e-3)

## $`Raíz aproximada`
## [1] 0.8423048
## 
## $iteraciones
## [1] 0.8822045 0.8412975 0.8423056 0.8423048
## 
## $`Número de iteraciones`
## [1] 4

b. Opción 2:

El paquete pracma provee la función newtonRaphson para aplicar el método. Para utilizarla, basta con tomar la función f.p previamente escrita e ingresarla como argumento. Además, se debe ingresar el valor inicial, que en este caso es \(0.75\)

require(pracma)
newtonRaphson(fun = f.p, x0 = 0.75, tol = 1e-3)

## $root
## [1] 0.8423048
## 
## $f.root
## [1] -1.969369e-08
## 
## $niter
## [1] 4
## 
## $estim.prec
## [1] 2.714979e-06

La solución puede visualizarse en la salida $root, el valor \(f(p)\) en la salida $f.root y el número de iteraciones en $niter. Para obtener más información, consulte la documentación oficial.

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Sin importar la opción que se utilice, se llega a que \(p \approx 0.8423\) para que el jugador \(A\) gane al menos la mitad de los partidos que juegue.

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