Distribuciones Discretas

Distribución Binomial

Función de Densidad

\(f(x)=P(X=x)=\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{n-x}\)

Cálculo de Probabilidades

Funciones a usar:

  1. Para calcular \(P(X=k)\) usar \(dbinom(k,n,p)\)
  2. Para calcular \(P(X\leqslant k)\) usar \(pbinom(k,n,p)\)
  3. Para calcular \(P(X\geqslant k) \, o \, P(X>k)\) usar complementos
  4. Para calcular \(P(a\leq X \leq b)\) usar \(pbinom(b,n,p) - pbinom(a-1,n,p)\)
  5. Como alternativa al caso 1 puede usar \(pbinom(k,n,p) - pbinom(k-1,n,p)\)

Ejemplo 1:

Un ingeniero sabe que el 10% de las fallas registradas en postes de hormigón utilizados en líneas de alta tensión se deben a un diseño inadecuado de la fundación. Calcular la probabilidad de que de los 88 postes que deben colocarse en la próxima linea, fallen por esta causa:

  1. exactamente seis
  2. menos de 20
  3. mas de 10
  4. 10 o más, pero menos de 30

Solución:

Sea \(X=\) número de postes que fallan en los 88 a colocarse en la próxima línea
Entonces \(X\sim binom(x;88,0.10)\)

  1. \(P(X=6):\) Para calcular esta probabilidad tenemos dos alternativas:
    • La primera es usar la función de densidad y calcular \(f(6)=P(X=6)=\binom{88}{6}0.10^{6}0.90^{82}\)
      Esto se hace con la función \(dbinom(6,88,0.1)\)
    • La segunda es usar la distribución acumulada y calcular \(P(X=6)=B(6,88,0.10)-B(5,88,0.10)\)
dbinom(6,88,0.10)
## [1] 0.09590251
pbinom(6,88,0.10)-pbinom(5,88,0.10)
## [1] 0.09590251

En ambos casos \(P(X=6)=0.0959\)

  1. \(P(X<20)=P(X\leqslant 19)\): Para calcular esta probabilidad usamos la distribución acumulada de la siguiente manera:
pbinom(19,88,0.10)
## [1] 0.9996346

Entonces \(P(X<20)=0.9996\)

  1. \(P(X>10)=1-P(X\leqslant 10)=1-pbinom(10,88,0.10)\)
1-pbinom(10,88,0.10)
## [1] 0.2629701

Entonces \(P(X>10)=0.2630\)

  1. \(P(10\leqslant X<20)=P(10 \leqslant X\leqslant 19)=pbinom(19,88,0.10)-pbinom(9,88,0.10)\)
pbinom(19,88,0.10)-pbinom(9,88,0.10)
## [1] 0.3843481

Entonces \(P(10\leqslant X<20)=0.3843\)

Distribución Hipergeométrica

Cálculo de Probabilidades

Funciones a usar

\(dhyper(x, m, n, k)\)
\(phyper(x, m, n, k)\)

En este caso suponemos un lote de ítems divididos en dos categorias: m representa la categoría de éxitos y n la de fracasos. k es el tamaño de muestra.

Ejemplo 2:

Un lote contiene 100 artículos, 5 de los cuales no cumplen con los requerimientos. Si se seleccionan 10 artículos al azar sin reemplazo, calcular la probabilidad de que:

  1. Exactamente 3 sean defectuosos
  2. Uno o menos sean defectuosos
  3. Mas de 3 sean defectuosos

Solución:

  1. \(P(X=3)=dhyper(3,5,95,10)\)
dhyper(3,5,95,10)
## [1] 0.006383528

Entonces \(P(X=3)=0.0064\)

  1. \(P(X\leqslant 1)=pbinom(3,5,95,10)\)
phyper(1,5,95,10)
## [1] 0.9231433

Entonces \(P(X\leqslant 1)=0.9231\)
c) \(P(X>3)=1-P(X\leqslant 3)=1-phyper(3,5,95,100)\)

1-phyper(3,5,95,10)
## [1] 0.0002543848

Entonces \(P(X>3)=0.0003\)
Nota: la probabilidad del literal c) también pude calcularse agregrando el siguiente parámetro a la función phyper()

phyper(3,5,95,10,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0002543848

Esta función devuelve la condición \(P(X>3)\) es decir el área a la derecha. El literal c) del primer ejemplo tambien se puede resolver de esta manera.

Distribución de Poisson

Cálculo de Probabilidades

Funciones a usar:
\(dpois(x, lambda)\)
\(ppois(x, lambda)\)

Ejemplo 3:

Un ensamblaje mecatrónico se somete a una prueba final de funcionamiento. Suponga que los defectos en estos ensamblajes ocurren aleatoriamente y que ocurren de acuerdo con la distribución de Poisson con parámetro \(\lambda=0.02\)
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamblaje seleccionado al azar tenga exactamente un defecto?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un ensamblaje seleccioando al azar tenga tres o más defectos?

Solución:

  1. \(P(X=1)=dpois(1,0.02)\)
dpois(1,0.02)
## [1] 0.01960397
  1. \(P(X\geqslant 3)=1-P(X<3)=1-P(X \leqslant 2)=1-ppois(2,0.02)\)
1-ppois(2,0.02)
## [1] 1.313492e-06

Como antes podemos calcular esta última probabilidad como

ppois(2,0.02,lower.tail = FALSE)
## [1] 1.313492e-06

Note como se ha cambiado la condición a \(P(X>2)\) que es la que devuelve por defecto cuando espacificamos lower.tail a FALSE y que equivale a \(P(X \geqslant 3)\).

Distribución Normal

Cálculo de Probabilidades

Funciones a usar:
\(pnorm(x,\mu,\sigma)\)

Ejemplo 4:

Se regula una máquina despachadora de gaseosas para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Se sabe que la cantidad de bebida despachada se distribuye normalmente con una desviación estándar de 15 mililitros.
a) ¿Qué porporción de de los vasos contendrán menos de 224 mililitros?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga más de 224 mililitros?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 190 y 205 mililitros?
d) ¿Por debajo de qué valor obtendremos el 25% de los vasos menos llenos?

Solución:

  1. \(P(X<224)=pnorm(224,200,15)\)
pnorm(224,200,15)
## [1] 0.9452007

La proporción de vasos con contenido menor a 224 ml es del 94.52%
b) \(P(X>224)=pnorm(224,200,15,lower.tail=FALSE)\)

pnorm(224,200,15,lower.tail=FALSE)
## [1] 0.05479929

Entonces \(P(X>224)=0.0548\)
c) \(P(190 \leq X \leq 205)=pnorm(205,200,15)-pnorm(190,200,15)\)

pnorm(205,200,15)-pnorm(190,200,15)
## [1] 0.3780661

Entonces \(P(190 \leq X \leq 205)=0.3781\)
d) En este caso se pide el percentil 25. Podemos calcular fácilmente los percentiles con la función \(qnorm(p,\mu,\sigma)\) donde p es el percentil que deseamos calcular.

qnorm(0.25,200,15)
## [1] 189.8827

De donde concluimos que el 25% de los contenidos están por debajo de 189.88 ml.
Las otras funciones que hemos estudiado tambien tienen esta opción:
\(qbinom(percentil,n,p)\)
\(qhyper(percentil,m,n,k)\)
\(qpois(percentil,\lambda)\)