Autor: Mendoza Hernandez Mayolo Omar

  1. Encontrar la funcion de autocorrelacion para el proceso definido por

\[ Y_t=5+e_t-{\frac12}e_{t-1}+{\frac14e_{t-2}} \\ E[Y_t]=0 \\ Var(Y_t)=Var(5+e_t-{\frac12}e_{t-1}+{\frac14e_{t-2}}) \\ Var(Y_t)=Var[1+{\frac14}+{1/16}]\sigma_e^2 \\ Cov(Y_pY_{t-1})=Cov(e_t-{\frac12}e_{t-1}+{\frac14e_{t-2}},e_{t-1}-\frac12e_{t-2}+\frac14e_{t-3}) \\ Cov(Y_pY_{t-1})=Cov(-{\frac12}e_{t-1}+{\frac14e_{t-2}},e_{t-1}-\frac12e_{t-2}) \\ Cov(Y_pY_{t-1})=Cov(-{\frac12}e_{t-1},e_{t-1})+Cov(\frac14e_{t-2},-\frac12e_{t-2}) \\ Cov[-\frac18-\frac12]\sigma^2_e=\frac58\sigma^2_e \\ Cov(Y_pY_{t-2})=Cov(e_t-{\frac12}e_{t-1}+{\frac14e_{t-2}},e_{t-2}-\frac12e_{t-3}+\frac14e_{t-4}) \\ Cov(\frac14e_{t-2},e_{t-2})=\frac14\sigma^2_e \]

  1. Graficar la funcion de autocorrelacion para los siguientes modelos MA(2) con los parametros especificados:
  1. ??1=-0.5 y ??2=-0.4
ARMAacf(ma=list(-0.5,-0.4))
##          0          1          2          3 
##  1.0000000 -0.2127660 -0.2836879  0.0000000
  1. ??1=-1.2 y ??2=0.7
ARMAacf(ma=list(1,0.6))
##         0         1         2         3 
## 1.0000000 0.6779661 0.2542373 0.0000000
  1. ??1=1 y ??2=0.6
ARMAacf(ma=list(1,0.6))
##         0         1         2         3 
## 1.0000000 0.6779661 0.2542373 0.0000000
  1. Mostrar que cuando ?? se reemplaza por 1/??, la funcion de autocorrelacion de un MA(1) no cambia.

$$ -/1+()^2=

$$

  1. Calcular y graficar las funciones de autocorrelacion para los siguientes modelos AR(1). Graficar con un numero suficientes de rezagos para que la funcion de autocorrelacion decrezca a casi cero.
  1. ??1=0.6
ACF=ARMAacf(ar=0.6,lag.max=8)
plot(y=ACF[-1],x=1:8,xlab='Lag',ylab='ACF',type='h') ; abline(h=0)

  1. ??1=-0.6
ACF=ARMAacf(ar= -0.6,lag.max= 8)
plot(y=ACF[-1],x=1:8,xlab='Lag',ylab='ACF',type='h',ylim=c(-1,1)) ; abline(h=0)

  1. ??1=0.95 (hacerlo para 20 rezagos)
ACF=ARMAacf(ar=0.95,lag.max=20)
plot(y=ACF[-1], x=1:20, xlab='Lag', ylab='ACF', type='h', ylim=c(0,1)) ; abline(h=0)

  1. ??1=0.3
ACF=ARMAacf(ar=0.3,lag.max=20)
plot(y=ACF[-1], x=1:20, xlab='Lag', ylab='ACF', type='h', ylim=c(0,1)) ; abline(h=0)

  1. Describa las caracteristicas generales de la funcion de autocorrelacion para los siguientes procesos:

a)MA(1): correlación entre -0.5 y 0.5 b)MA(2): correlacion distinta a cero en los primeros 2 c)AR(1): d)AR(2): e)ARMA(1,1): tiene autocorrelacion en descomposicion exponencial a partir del retraso 1, sin embargo, no lo tienen en el retraso cero.

  1. Graficar las funciones de autocorrelacion para cada uno de los siguientes procesos ARMA: ´
  1. ARMA(1,1) con ??=0.7 y ??=-0.4
ACF=ARMAacf(ar=0.7, ma=0.4, lag.max = 20)
plot(y= ACF[-1], x=1:20, xlab="lag", ylab="ACF", type = "h"); abline(h=0)

  1. ARMA(1,1) con ??=0.7 y ??=0.4
ACF=ARMAacf(ar=0.7, ma=-0.4, lag.max = 20)
plot(y= ACF[-1], x=1:20, xlab="lag", ylab="ACF", type = "h"); abline(h=0)

  1. Considere dos procesos MA(2), uno con ??1 = ??2 =-1/6 y otro con ??1=1 y ??2=-6
  1. Mostrar que estos procesos tienen la misma funcion de autocorrelacion. \[ \theta_1 = \theta_2 =-1/6 y\theta_1=1 y \theta_2=-6 \]
ARMAacf(ma=c(1,-6))
##          0          1          2          3 
##  1.0000000 -0.1315789 -0.1578947  0.0000000
ARMAacf(ma=c(-1/6,-1/6))
##          0          1          2          3 
##  1.0000000 -0.1315789 -0.1578947  0.0000000
  1. ¿Como se comparan las raices de los polinomios caracteristicos?

Todas las raices de los polinomios son recíprocas entre sí. Sólo el MA(2)cuando \[ \theta_1=\theta_2=-\frac{1}{6} \] es invertible

  1. Considere un proceso MA(6) con ??1=-0.5, ??2=0.25, ??3=-0.125, ??4=0.0625, ??5=-0.0325 and ??6=0.015625. Encontrar un modelo mas simple que tenga casi los mismos ??-pesos.
ARMAacf(ma=c(-0.5,0.25,-0.125,0.0625,-0.03125,0.015625))
##           0           1           2           3           4           5 
##  1.00000000 -0.49990844  0.24977110 -0.12451932  0.06152719 -0.02929866 
##           6           7 
##  0.01171947  0.00000000