library(TSA)
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##     acf, arima
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##     tar
library(ggplot2)
library(forecast)

1.

Encontrar la función de autocorrelación para el proceso definido por

\[ Y_t=5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2} \]

Solución

Media y Varianza

\[ E(Y_t)=0\\ ---------------------------------\\ Var(Y_t)=Var(5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2})\\ ---------------------------------\\ =\sigma^2+\frac14\sigma^2+\frac1{16}\sigma^2\\ ---------------------------------\\ =\frac{21}{16}\sigma^2 \]

Covarianza

\[ Cov(y_t,y_{t-1})=Cov(5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2},e_{t-1}-\frac12e_{t-2}+\frac14e_{t-3})\\ ---------------------------------\\ =-\frac12cov(e_{t-1},e_{t-1})+(-\frac12)(\frac14)cov(e_{t-2}.e_{t-2})\\ ---------------------------------\\ =-\frac12\sigma^2-\frac18\sigma^2\\ ---------------------------------\\ =-\frac58\sigma^2\\ ---------------------------------\\ Cov(y_t,y_{t-2})=Cov(5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2},e_{t-2}-\frac12e_{t-3}+\frac14e_{t-4})\\ ---------------------------------\\ =\frac14cov(e_{t-2},e_{t-2})\\ ---------------------------------\\ =\frac14\sigma^2 \]

Autocorrelación

\[ \rho_0=1\\ ---------------------------------\\ \rho_1=\frac{\frac58\sigma^2}{\frac{21}{16}\sigma^2}=-{\frac{10}{21}}\\ ---------------------------------\\ \rho_2=\frac{\frac14\sigma^2}{\frac{21}{16}\sigma^2}=\frac4{21}\\ ---------------------------------\\ \rho_3=0 \]

2.

Graficar la función de autocorrelación para los siguientes modelos MA(2) con los parámetros especificados:

\[ a)\theta=-0.5\text{ y }\theta_2=-0.4\\ ---------------------------------\\ b)\theta_1=-1.2\text{ y }\theta_2=0.7\\ ---------------------------------\\ c)\theta_1=1\text{ y }\theta_2=0.6 \]

ma2.1 <- arima.sim(model=list(ma = c(-0.5,-0.4)), n=120)
plot(ma2.1,type='l', main='a);theta1=-0.5, theta2=-0.4')

ma2.2 <- arima.sim(model=list(ma = c(-1.2,0.7)), n=120)
plot(ma2.2,type='l', main='b);theta1=-1.2, theta2=0.7')

ma2.3 <- arima.sim(model=list(ma = c(1,0.6)), n=120)
plot(ma2.3,type='l', main='c);theta1=1, theta2=0.6')

3.

Mostrar que cuando theta se reemplaza por 1/theta, la funcion de autocorrelación de un MA(1) no cambia.

ma1<- arima.sim(model=list(ma = 0.5), n=120)
plot(ma1,type='l', main='MA(1); theta=0.5')

ma1.2 <- arima.sim(model=list(ma = 1/0.5), n=120)
plot(ma1.2,type='l', main='MA(1); theta=1/0.5')

4.

Calcular y graficar las funciones de autocorrelación para los siguientes modelos AR(1). Graficar con un número suficientes de rezagos para que la función de autocorrelación decrezca a casi cero.

\[ a)\phi_1=0.6\\ ---------------------------------\\ b)\phi_1=-0.6\\ ---------------------------------\\ c)\phi_1=0.95\text{(hacerlo para 20 rezagos)}\\ ---------------------------------\\ d)\phi_1=0.3 \]

par(mfrow=c(2,2))
ACF1 <- ARMAacf(ar=0.6,lag.max=12)
ACF2 <- ARMAacf(ar=-0.6,lag.max=12)
ACF3 <- ARMAacf(ar=-0.95,lag.max=20)
ACF4 <- ARMAacf(ar=-0.3,lag.max=12)
plot(y=ACF1[-1],x=1:12,main='phi=0.6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF2[-1],x=1:12,main='phi=-0.6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF3[-1],x=1:20,main='phi=-0.95',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF4[-1],x=1:12,main='phi=-0.3',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)

5.

Describa las características generales de la funcion de autocorrelación para los siguientes procesos:

a) MA(1),

b) MA(2),

c) AR(1),

d) AR(2)

e) ARMA(1,1)

RESPUESTAS

a) El proceso MA(1) no mantiene una correlación después del rezago 1

b) El proceso MA(1) no mantiene una correlación después del segundo rezago

c) El proceso de un AR(1) sinula identicamente al de un MA(1)

d) El proceso de un AR(2) sinula identicamente al de un MA(2)

e) La funci?n de autocorrelaci?n decae cada que el rezago se incrementa. Su caída inicia desde el valor inicial.

6.

\[ \text{Usar la fórmula recursiva } \rho_k=\phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2}\text{ 2 (ecuacion Yule-Walker) para calcular y graficar las funciones}\\ \text{de autocorrelación para los siguientes procesos AR(2)con los parámetros especificados.}\\ \text{En cada caso especifique si las raíces de la ecuación característica son reales o complejas.} \]

\[ a)\phi_1=0.6\text{ y }\phi_2=0.3\\ ---------------------------------\\ b)\phi_1=-0.4\text{ y }\phi_2=0.5\\ ---------------------------------\\ c)\phi_1=1.2\text{ y }\phi_2=-0.7\\ ---------------------------------\\ d)\phi_1=-1\text{ y }\phi_2=-0.6\\ ---------------------------------\\ e)\phi_1=0.5\text{ y }\phi_2=-0.9\\ ---------------------------------\\ f)\phi_1=-0.5\text{ y }\phi_2=-0.6\\ ---------------------------------\\ \] \[ a)\\ 0.6+\frac{\sqrt(0.6)^2+4(0.3)}{-2(0.3)}=-3.08\\ 0.6-\frac{\sqrt(0.6)^2+4(0.3)}{-2(0.3)}=1.08\\ ---------------------------------\\ b)\\ -0.4+\frac{\sqrt(-0.4)^2+4(0.5)}{-2(0.5)}=-1.06\\ -0.4-\frac{\sqrt(-0.4)^2+4(0.5)}{-2(0.5)}=1.86\\ ---------------------------------\\ c)\\ 1.2+\frac{\sqrt(1.2)^2+4(-0.7)}{-2(-0.7)}=1.2+\frac{\sqrt(-1.36)}{1.4}\\ 1.2-\frac{\sqrt(1.2)^2+4(-0.7)}{-2(-0.7)}=1.2-\frac{\sqrt(-1.36)}{1.4}\\ ---------------------------------\\ d)\\ -1+\frac{\sqrt(-1)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-1+\frac{\sqrt(-1.4)}{1.2}\\ -1-\frac{\sqrt(-1)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-1-\frac{\sqrt(-1.4)}{1.2}\\ ---------------------------------\\ e)\\ 0.5+\frac{\sqrt(0.5)^2+4(-0.9)}{-2(-0.9)}=0.5+\frac{\sqrt(-3.35)}{1.8}\\ 0.5-\frac{\sqrt(0.5)^2+4(-0.9)}{-2(-0.9)}=0.5-\frac{\sqrt(-3.35)}{1.8}\\ ---------------------------------\\ f)\\ -0.5+\frac{\sqrt(-0.5)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-0.5+\frac{\sqrt(-2.15)}{1.2}\\ -0.5-\frac{\sqrt(-0.5)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-0.5-\frac{\sqrt(-2.15)}{1.2} \]

par(mfrow=c(3,3))
ACF.a <- ARMAacf(ar=c(0.6,0.3),lag.max=12)
ACF.b <- ARMAacf(ar=c(-0.4,0.5),lag.max=12)
ACF.c <- ARMAacf(ar=c(1.2,-0.7),lag.max=12)
ACF.d <- ARMAacf(ar=c(-1,-0.6),lag.max=12)
ACF.e <- ARMAacf(ar=c(0.5,-0.9),lag.max=12)
ACF.f <- ARMAacf(ar=c(-0.5,-0.6),lag.max=12)
plot(y=ACF.a[-1],x=1:12,main='phi1=0.6, phi2=0.3',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.b[-1],x=1:12,main='phi1=-0.4, phi2=0.5',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.c[-1],x=1:12,main='phi1=1.2, phi2=--0.7',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.d[-1],x=1:12,main='phi1=-1, phi2=-0.6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.e[-1],x=1:12,main='phi1=0.5, phi2=-0.9',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.f[-1],x=1:12,main='phi1=-0.5, phi2=-0.6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)

7.

Graficar las funciones de autocorrelación para cada uno de los siguientes procesos ARMA:

\[ a)\text{ARMA}(1,1)\text{ con }\phi=0.7\text{ y }\theta=-0.4\\ ---------------------------------\\ b)\text{ARMA}(1,1)\text{ con }\phi=0.7\text{ y }\theta=0.4 \]

par(mfrow=c(2,2))
ACF.a2 <- ARMAacf(ar=c(0.7,-0.4),lag.max=12)
plot(y=ACF.a2[-1],x=1:12,main='phi1=0.7, theta=-0.4',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
ACF.b2 <- ARMAacf(ar=c(0.7,0.4),lag.max=12)
plot(y=ACF.a2[-1],x=1:12,main='phi1=0.7, theta=0.4',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)

8.

\[ \text{Considere el proceso MA(2), uno con }\theta_1=\theta_2=-{\frac16}\text{ y otro con }\theta_1=1\text{ y }\theta_2=-6 \]

a) Mostrar que estos procesos tienen la misma función de autocorrelación

b) ¿Cómo se comparan las ra?ces de los polinomios característicos?

RESPUESTAS

a)

par(mfrow=c(2,2))
ACF.a3 <- ARMAacf(ar=c(-(1/6),-(1/6)),lag.max=12)
plot(y=ACF.a3[-1],x=1:12,main='theta1=-(1/6), theta2=-(1/6)',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
ACF.b3 <- ARMAacf(ar=c(1,-6),lag.max=12)
plot(y=ACF.b3[-1],x=1:12,main='theta1=1, theta2=-6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)

b) Son inversos los resultados que arrojan las raíces de los polinomios característicos