Ejercicio 5

PROBLEMA 1.

Encontrar la funcion de autocorrelacion para el proceso definido por:

\[ Y_t = 5 + e_t - \frac{1}{2} e_{t-1} + \frac{1}{4} e_{t-2} \]

\[ Corr(Y_t,Y_{t-1}) = -\frac{10}{21}\sigma² \] \[ Corr(Y_t,Y_{t-2})= \frac{4}{21} \sigma² \]

PROBLEMA 2

Graficar la funcion de autocorrelacion para los siguientes modelos MA(2) con los parametros.

1. θ 1 =-0.5 y θ 2 =-0.4
2. θ 1 =-1.2 y θ 2 =0.7
3. θ 1 = 1 y θ 2 =0.6

a <-ARMAacf(ma=c(-0.5,-0.4), lag.max = 12)
plot(y = a[-1], x = 1:12, type = "h"); abline(h=0)

b<- ARMAacf(ma=c(-1.2, 0.7), lag.max = 12)
plot(y = b[-1], x = 1:12, type = "h"); abline(h=0)

c<- ARMAacf(ma=c(1, .6), lag.max = 12)
plot(y = c[-1], x = 1:12, type = "h"); abline(h=0)

PROBLEMA 3

Mostrar que cuando θ se reemplaza por 1/θ, la funcion de autocorrelacion de un MA(1) no cambia.

\[ \frac{\theta}{1+\theta²} = \frac{\frac{1}{\theta}}{1+\frac{1}{\theta²}} \] Si sustituimos para cualquier valor de θ diferente de 1, el resultado sera el mismo para cualquiera de las dos formulas. Por lo que se demuestra que la autocorrelacion para un MA(1) sera el mismo sin importar si se pone θ o 1/θ

PROBLEMA 4

Calcular y graficar las funciones de autocorrelacion para los siguientes modelos AR(1). Graficar con un numero suficientes de rezagos para que la funcion de autocorrelacion decrezca a casi cero.

1. φ 1 =0.6
2. φ 1 =-0.6
3. φ 1 =0.95 (hacerlo para 20 rezagos)
4. φ 1 =0.3

a1<- ARMAacf(ar=.6, lag.max = 12)
plot(y = a1[-1], x = 1:12, type = "h"); abline(h=0)

b1<- ARMAacf(ar=-.6, lag.max = 14)
plot(y = b1[-1], x = 1:14, type = "h"); abline(h=0)

c1<- ARMAacf(ar=.95, lag.max = 20)
plot(y = c1[-1], x = 1:20, type = "h"); abline(h=0)

d1<- ARMAacf(ar=.3, lag.max = 5)
plot(y = d1[-1], x = 1:5, type = "h"); abline(h=0)

PROBLEMA 5

Describa las caracteristicas generales de la funcion de autocorrelacion para los siguientes procesos: a) MA(1), b) MA(2), c) AR(1), d) AR(2) y e) ARMA(1,1)

1. La ecuacion de un MA(1) se basa en la idea: “La innovacion de ayer permanece hoy solo parcialmente” . igual es suma de dos procesos estacionarios (Es estacionario para cualquier valor de ??1.) como se observa el proceso no tiene correlacion mas alla del rezago 1, pero al incrementar el orden del proceso,se puede no tener autocorrelaciones de más alto orden.

Un proceso MA(1), representado por \[Y t = e t + θe t−1\] , tiene las propiedades: \[E (Y t ) = 0\] \[Var (Y t ) = σ e 2 (1 + θ 2 )\] \[Cov (Y t , Y t−1 ) = θσ e 2\] \[Cov (Y t , Y t−2 ) = 0\] \[Corr (Y t , Y t−1 ) = ρ 1 = \frac{(θ)}{(1 + θ 2 )}\] \[Corr (Y t , Y t−2 ) = ρ k = 0\] para k ≥ 2

2. La ecuacion MA (2) : se dice que una serie temporal Yt admite una representación autoregresiva (MA) de segundo orden, y se escribe por MA(2), si es susceptible de ser modelizada a través de la ecuación, donde: Yt es una variable aleatoria concebida como una realización de un proceso estocástico en los momentos del tiempo t , t-1 , t-2 , … cabe mencionar la variable aleatoria que reúne estas características se denomina,variable aleatoria ruido blanco.

Un proceso MM(2) descrito por, Y t = e t + θ 1 e t−1 + θ 2 e t−2 presenta las propiedades \[E (Y_t ) = 0\] \[Var (Y_t ) = (1 + θ² _{1} + θ²_2 )σ² e \] \[Cov (Y_t , Y t_1 ) = (θ_1 + θ_1 θ_2 )σ² e \] \[Cov (Y_t , Y_{t−2} ) = θ_2 σ² e \] \[Corr(Y_t,Y_{t-1}= \rho_1= \frac{θ_1 + θ_1 θ_2}{1+θ²_1 θ²_2}\] \[Corr (Y_t , Y_{t−2} ) = ρ_2 = \frac{θa_2}{1+θ²_1 + θ²_2}\]

\[ Corr(Y_t,Y_{t-1}) = rho_k = k > 3 \] c)

si 0<1 todas las correlaciones son positivas

\[E (Y t ) = 0\] \[Var (Y t ) = \frac{σ²_e}{1− φ²}\]

\[γ_k = φ_k\frac{\sigma²}{1-φ²}\] y así \[ρ_k = \frac{\gamma_k}{\gamma0} = φ^k \]

4. AR(1)Tiene autocorrelaciones en descomposición exponencial a partir del retraso 0. Si ????> 0, entonces todas las autocorrelaciones son positivas. Si ???? <0, entonces las autocorrelaciones alternan entre negativo, positivo negativo,

5. Los procesos AR(p) permiten infinitas autocorrelaciones no nulas, pero estas deben decrecer con el retardo geometricamente o de forma soidal, los procesos MA(q) tienen las q primeras autocorrelaciones no nulas sin restricciones sobre ellas, y el resto son cero los procesos ARMA(p,q) combinan ambas propiedades; pueden representar a procesos con las primeras p autocorrelaciones no nulas u no restringidas, y el resto que decrecen de forma geometrica o de forma sinusoidal.

PROBLEMA 6

Usar la formula recursiva \[ρ k = φ 1 ρ k − 1 + φ 2 ρ k − 2\] (ecuacion Yule-Walker) para calcular y graficar las funciones de autocorrelacion para los siguientes procesos AR(2) con los parametros especificados. En cada caso especifique si las raices de la ecuacion caracteristica son reales o complejas.

1. φ 1 =0.6 y φ 2 =0.3
2. φ 1 =-0.4 y φ 2 =0.5
3. φ 1 =1.2 y φ 2 =-0.7
4. φ 1 =-1 y φ 2 =-0.6
5. φ 1 =0.5 y φ 2 =-0.9 f ) φ 1 =-0.5 y φ 2 =-0.6

a)

rho=NULL; phi1=0.6; phi2=0.3; max.lag=25
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho

##  [1] 0.8571429 0.8142857 0.7457143 0.6917143 0.6387429 0.5907600 0.5460789
##  [8] 0.5048753 0.4667488 0.4315119 0.3989318 0.3688126 0.3409671 0.3152241
## [15] 0.2914246 0.2694220 0.2490806 0.2302749 0.2128891 0.1968159 0.1819563
## [22] 0.1682186 0.1555180 0.1437764 0.1329212

plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

b)

rho=NULL; phi1=-0.4; phi2=0.5; max.lag=25
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho

##  [1] -0.8000000  0.8200000 -0.7280000  0.7012000 -0.6444800  0.6083920
##  [7] -0.5655968  0.5304347 -0.4949723  0.4632063 -0.4327687  0.4047106
## [13] -0.3782686  0.3536627 -0.3305994  0.3090711 -0.2889281  0.2701068
## [19] -0.2525068  0.2360561 -0.2206758  0.2062984 -0.1928573  0.1802921
## [25] -0.1685455

plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

c)

rho=NULL; phi1=1.2; phi2=-0.7; max.lag=10
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho

##  [1]  0.70588235  0.14705882 -0.31764706 -0.48411765 -0.35858824
##  [6] -0.09142353  0.14130353  0.23356071  0.18136038  0.05413996

plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

d)

rho=NULL; phi1=-1; phi2=-0.6; max.lag=11
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho

##  [1] -0.62500  0.02500  0.35000 -0.36500  0.15500  0.06400 -0.15700
##  [8]  0.11860 -0.02440 -0.04676  0.06140

plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

e)

rho=NULL; phi1=0.5; phi2=-0.9; max.lag=15
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho

##  [1]  0.26315789 -0.76842105 -0.62105263  0.38105263  0.74947368
##  [6]  0.03178947 -0.65863158 -0.35792632  0.41380526  0.52903632
## [11] -0.10790658 -0.53008597 -0.16792707  0.39311384  0.34769128

plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

f)

rho=NULL; phi1=-0.5; phi2=-0.6; max.lag=13
rho1=phi1/(1-phi2); rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho

##  [1] -0.312500000 -0.443750000  0.409375000  0.061562500 -0.276406250
##  [6]  0.101265625  0.115210937 -0.118364844 -0.009944141  0.075990977
## [11] -0.032029004 -0.029580084  0.034007444

plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1)); abline(h=0)

PROBLEMA 7

Graficar las funciones de autocorrelacion para cada uno de los siguientes procesos ARMA: a) ARMA(1,1) con φ=0.7 y θ=-0.4 b) ARMA(1,1) con φ=0.7 y θ=0.4

a2<-ARMAacf(ar= .7 , ma= -.4, lag.max = 20)
plot(y=a2[-1],x=1:20,xlab='Lag',ylab='a2',type='h'); abline(h=0)

b2<-ARMAacf(ar= .7 , ma= .4, lag.max = 20)
plot(y=b2[-1],x=1:20,xlab='Lag',ylab='b2',type='h'); abline(h=0)

PROBLEMA 8

Considere dos procesos MA(2), uno con \(θ_1 = θ_2 = -1/6\) y otro con \(θ_1=1 y θ_2 =-6\)

1. Mostrar que estos procesos tienen la misma funcion de autocorrelacion.

ARMAacf(ma=c(-1/6,-1/6))

##          0          1          2          3 
##  1.0000000 -0.1315789 -0.1578947  0.0000000

ARMAacf(ma=c(1,-6))

##          0          1          2          3 
##  1.0000000 -0.1315789 -0.1578947  0.0000000

2. ¿Como se comparan las raices de los polinomios caracteristicos?

Observe que \(1 - \frac{1}{6}x-\frac{1}{2}x²= -\frac{1}{6} (x+3)(x-2)\) mientras que \(1 + x-6x²= -6(x+\frac{1}{3})(x-\frac{1}{2})\). Entonces las raices de los dos polinomios son reciprocos uno de otro. Solo el modelo MA(2) con \(\theta_1=\theta_2=-1/6\) es invertible.

PROBLEMA 9

Considere un proceso AR(1) \(Y_t = Y_{t − 1} + e_t\) . Mostrar que si \(|φ| = 1\) el proceso no puede ser estacionario. (Pista: Tomar varianzas de ambos lados).

\(Var(Y_t)=\phi² Var(Y_{t-1})+\sigma²e\) ó \(Var(Y_t)=\frac{\sigma²e}{1-\phi²}\). Si \(|φ|=1\) esto es imposible y se tiene prueba de que existen contradicciones.

PROBLEMA 10

Considere un proceso MA(6) con \(θ_1 =-0.5, θ_2 =0.25, θ_3 =-0.125, θ_4 =0.0625, θ_5 =-0.0325 and θ_6 =0.015625.\) Encontrar un modelo mas simple que tenga casi los mismos \(Ψ\)-pesos.

ARMAacf(ma=c(-0.5, 0.25, -0.125, 0.0625, -0.0325, 0.015625))

##           0           1           2           3           4           5 
##  1.00000000 -0.49995181  0.24987336 -0.12474625  0.06199227 -0.03023441 
##           6           7 
##  0.01171876  0.00000000

ARMAacf(ar= -0.5, lag.max = 7)

##          0          1          2          3          4          5 
##  1.0000000 -0.5000000  0.2500000 -0.1250000  0.0625000 -0.0312500 
##          6          7 
##  0.0156250 -0.0078125