EJERCICIO5
BALTAZAR GUZMAN NITZIA 3EV6
EJERCICIO 1
\[E(Y_t)=0\]
\[var(y_t)= 5+e_t-\frac{1}{2}e_{t-1}+\frac{1}{4}e_{t-2}\]
\[var(y_t)= var(5)+var(e_t)-var(\frac{1}{2}e_{t-1})+var(\frac{1}{4}e_{t-2})\]
\[var(y_t)=\sigma^2_e - \frac{1}{4}\sigma^2e + \frac{1}{16}\sigma^2e\]
\[var(y_t)= \frac{21}{16}\sigma^2\]
\[cov(y_t, y_{t-1})=cov(5+e_t-\frac{1}{2}e_{t-1}+\frac{1}{4}e_{t-2}, 5+e_{t-1}-\frac{1}{2}e_{t-2}+\frac{1}{4}e_{t-3})\]
\[cov(y_t, y_{t-1})=cov(5+e_t-\frac{1}{2}e_{t-1}+\frac{1}{4}e_{t-2}) + cov(5+e_{t-1}-\frac{1}{2}e_{t-2}+\frac{1}{4}e_{t-3})\]
\[cov(y_t, y_{t-1})=-cov(\frac{1}{2}e_{t-1},e_{t-1})-cov(\frac{1}{4}e_{t-2},\frac{1}{2}e_{t-2})\]
\[cov(y_t, y_{t-1})=-\frac{1}{2}var(e_{t_1})-cov(\frac{1}{4}e_{t-2},\frac{1}{2}e_{t-2})\]
\[cov(y_t, y_{t-1})=-\frac{1}{2}\sigma^2-\frac{1}{8}\sigma^2\]
\[cov(y_t, y_{t-1})=-\frac{5}{8}\sigma^2\]
EJERCICIO 2
A)
ma2<- arima.sim(model=list(ma=c(-0.5,-0.4)),n=120)
plot(ma2,type='o',main='MA(2); theta1=-0.5, theta2=-0.4')
B)
ma2<- arima.sim(model=list(ma=c(-1.2,0.7)),n=120)
plot(ma2,type='o',main='MA(2); theta1=-1.2, theta2=0.7')
C)
ma2<- arima.sim(model=list(ma=c(-1,0.6)),n=120)
plot(ma2,type='o',main='MA(2); theta1=1, theta2=0.6')
EJERCICIO 3
\[ \frac{\frac{1}{\theta}}{1+(\frac{1}{\theta})^2} = \frac{\theta}{(1+\theta^2)} \] falta de unicidad delmodelo MA.Esta falta de unicidad está relacionada con la siguiente cuestión Un proceso autorregresivo siemprepuede ser reexpresado como unproceso lineal general a través de los \(\psi\) coeficientes, tal que un procesoAR también puede pensarse como un proceso media móvil MA deordeninfinito.
EJERCICIO 4
AR(1)
par(mfrow=c(2,2))
ACF1<-ARMAacf(ar=0.6,lag.max=12)
ACF2<-ARMAacf(ar=-0.6,lag.max=12)
ACF3<-ARMAacf(ar=-0.95,lag.max=20)
ACF4<-ARMAacf(ar=0.3,lag.max=12)
plot(y=ACF1[-1],x=1:12,main='phi=0.6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h');abline(h=0)
plot(y=ACF2[-1],x=1:12,main='phi=-0.6',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h');abline(h=0)
plot(y=ACF3[-1],x=1:20,main='phi=-0.95',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h');abline(h=0)
plot(y=ACF4[-1],x=1:12,main='phi=0.3',xlab='Lag',ylab='ACF',type='h');abline(h=0)
EJERCICIO 5
MA(1)
La ecuacion de un MA(1) se basa en la idea: “La innovacion de ayer permanece hoy solo parcialmente”.
\[ y_t=a_t-\theta_1a_{t-1} <-> y_t=(1-\theta_1B)a_t \]
donde \(Y_t = Y_t - \mu, y (a_t)\) es ruido blanco con varianza \(\sigma^2\)
El MA(1) es suma de dos procesos estacionarios ? Es estacionario para cualquier valor de \(\theta_1\)
XSupondremos que \(\theta_1\) < 1 para que la innovacion pasada influya menos que la actual.
Invertibilidad : La propiedad de invertibilidadestablece que el valor presente de \(Y_t\) pueda expresarse como una combinación lineal convergente de observaciones pasadas. En elcaso concreto del modelo MA(1) esto significa que \(\theta_1\) < 1 1
La condicion \(\theta_1\) < 1 permite invertir el operador
\[ (1 - \theta_1B)^-1 = 1 + \theta_1B + \theta^2_1B^2 + · · · \]
-Por tanto, un proceso MA(1) estacionario es asintóticamente incorrelado (satisfacela propiedad de dependencia débil). -Representación gráfica del correlograma de un MA(1). Comparación con el de un AR(1) estacionario.
MA(2)
- siempre es estacionario, ya que es suma de q + 1 procesos estacionarios.
-su media es cero -su funcion de autocovarianza \[ Y_o= (1+\theta^2_1+\theta^2_2)\sigma^2 \] - las autocovarianzas de un son: \[ Y_k= Y_o=(1+\theta^2_1+\theta^2_2)\sigma^2 k=0 \] \[ Y_k= Y_1=(-\theta_1+\theta_1\theta_2)\sigma^2 k=1 \] \[ Y_k= Y_2=-\theta_2\sigma^2 k=2 \] \[ Y_k= Y_3=0 k>2 \] Invertibilidad: es invertible si podemos escribirlo como un AR(???) con coeficientes finitos. Definimos el operador inverso
AR(1)
En los proceso AR(1) la variable \(X_t\) está determinado únicamente por el valor pasado, esto es $X_{t-1}
\[ X_t= \phi X_{t-1}+E_t \] donde \(E_t\) es un proceso de ruido blanco con media cero y varianza constante \(\sigma^2\), \(\phi\), es el parámetro. Recuérdese además que suponemos que el proceso es no anticipante, es decir, el futuro no incluye en el pasado.
Para verificar que el modelo AR(1) es estacionario para cualquier valor del parámetro, es necesario probar las siguientes condiciones: a) Estacionario en media b) Estacionario en covarianza
De los resultados obtenidos podemos señalar como características más relevantes del modelo AR(1)
-El modelo AR(1) es siempre invertible.
-El modelo AR(1) es estacionario siempre que se cumpla \(\phi\) < 1.
-El correlograma, representación gráfica de la función de autocorrelación, tendrá un comportamiento amortiguado hacia cero con todos los valores positivos, en caso de que \(\phi\) > 0 , o bien alternando el signo, comenzando con negativo, si \(\phi\) < 0.
-La funcion de autocorrelación parcial se anula para retardos superiores a uno (el orden del modelo), coincidiendo, como es norma, este coeficiente de autocorrelación parcial.
-Las observaciones fluctúan alrededor de \(\mu\) que es la media de laserie.
AR(2)
su correspondiente \(\rho_k\) será una combinación lineal de términos que caen exponencialmente (raícesreales de la ecuación característica) y términos que caen como ondasseno (raíces complejas de la ecuación característica).
ARMA(1,1)
En modelos mixtos , se asume que no hay factores comúnes en lospolinomios AR y MA. Si hubieran, es posible cancelarlos y el modelose reduciría a un ARMA de más bajo orden. Para un ARMA(1,1), estosignificaque \(\theta\) es diferente de \(\phi\)
El factor de amortiguamiento(damping factor) es\(\phi\), pero la caída comienza en el valor inicial\(\rho_1\), elcual también depende de\(\theta\).
para el modelo general ARMA(p,q), se establece que:sujeto a la condición de que \(e_t\) es independiente de \(Y_{y???1},Y_{y???2},Y_{y???3}\), …,una solución estacionaria existe sí y sólo sí lasraíces de la ecuación característica del AR excede la unidad en elmódulo.
EJERCICIO 6
A
rho=NULL; phi1=0.6; phi2=0.3; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2);rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1;rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] 0.8571429 0.8142857 0.7457143 0.6917143 0.6387429 0.5907600 0.5460789
## [8] 0.5048753 0.4667488 0.4315119 0.3989318 0.3688126 0.3409671 0.3152241
## [15] 0.2914246 0.2694220 0.2490806 0.2302749 0.2128891 0.1968159plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1));abline(h=0)
library(forecast)
library(ggplot2)
ar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)),n=100)
fit<- Arima(ar2.r,order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
B
rho=NULL; phi1=-0.4; phi2=0.5; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2);rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1;rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] -0.8000000 0.8200000 -0.7280000 0.7012000 -0.6444800 0.6083920
## [7] -0.5655968 0.5304347 -0.4949723 0.4632063 -0.4327687 0.4047106
## [13] -0.3782686 0.3536627 -0.3305994 0.3090711 -0.2889281 0.2701068
## [19] -0.2525068 0.2360561plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1));abline(h=0)
ar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)),n=100)
fit<- Arima(ar2.r,order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
C
rho=NULL; phi1=1.2; phi2=-0.7; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2);rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1;rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] 0.70588235 0.14705882 -0.31764706 -0.48411765 -0.35858824
## [6] -0.09142353 0.14130353 0.23356071 0.18136038 0.05413996
## [11] -0.06198431 -0.11227915 -0.09134596 -0.03101975 0.02671848
## [16] 0.05377599 0.04582826 0.01735071 -0.01125892 -0.02565621plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1));abline(h=0)
polyroot(c(1,-phi1,-phi2))## [1] 0.8571429+0.8329931i 0.8571429-0.8329931iar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)),n=100)
fit<- Arima(ar2.r,order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
D
rho=NULL; phi1=-1; phi2=-0.6; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2);rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1;rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] -0.6250000000 0.0250000000 0.3500000000 -0.3650000000 0.1550000000
## [6] 0.0640000000 -0.1570000000 0.1186000000 -0.0244000000 -0.0467600000
## [11] 0.0614000000 -0.0333440000 -0.0034960000 0.0235024000 -0.0214048000
## [16] 0.0073033600 0.0055395200 -0.0099215360 0.0065978240 -0.0006449024plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1));abline(h=0)
polyroot(c(1,-phi1,-phi2))## [1] -0.8333333+0.9860133i -0.8333333-0.9860133iar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)),n=100)
fit<- Arima(ar2.r,order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
E
rho=NULL; phi1=0.5; phi2=-0.9; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2);rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1;rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] 0.26315789 -0.76842105 -0.62105263 0.38105263 0.74947368
## [6] 0.03178947 -0.65863158 -0.35792632 0.41380526 0.52903632
## [11] -0.10790658 -0.53008597 -0.16792707 0.39311384 0.34769128
## [16] -0.17995682 -0.40290056 -0.03948914 0.34286593 0.20697320plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1));abline(h=0)
ar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)),n=100)
fit<- Arima(ar2.r,order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
F
rho=NULL; phi1=-0.5; phi2=-0.6; max.lag=20
rho1=phi1/(1-phi2);rho2=(phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1;rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] -0.3125000000 -0.4437500000 0.4093750000 0.0615625000 -0.2764062500
## [6] 0.1012656250 0.1152109375 -0.1183648437 -0.0099441406 0.0759909766
## [11] -0.0320290039 -0.0295800840 0.0340074443 0.0007443282 -0.0207766307
## [16] 0.0099417184 0.0074951192 -0.0097125907 0.0003592238 0.0056479425plot(y=rho,x=1:max.lag,type='h',ylab='ACF',xlab='Lag',ylim=c(-1,+1));abline(h=0)
polyroot(c(1,-phi1,-phi2))## [1] -0.416667+1.221907i -0.416667-1.221907iar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)),n=100)
fit<- Arima(ar2.r,order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
EJERCICIO 7
A
ACF<-ARMAacf(ma=c(0.7,-0.4),lag.max =12)
plot(ACF,type='o',main='MA(1);theta=-0.4')
B
ACF<-ARMAacf(ma=c(0.7,0.4),lag.max =12)
plot(ACF,type='o',main='MA(1);theta=0.4')
EJERCICIO 8
A
ma2<-arima.sim(model=list(ma=c(-1,6)),n=120)
plot(ma2,type='o',main='MA(2); theta1=-1, theta2=6')
B
ma2<-arima.sim(model=list(ma=c(1, -6)),n=120)
plot(ma2,type='o',main='MA(2); theta1=1, theta2=-6')
EJERCICIO 10
ARMAacf(ma=c(-0.5,0.25,-0.125,0.0625,-0.0325,0.015625))## 0 1 2 3 4 5
## 1.00000000 -0.49995181 0.24987336 -0.12474625 0.06199227 -0.03023441
## 6 7
## 0.01171876 0.00000000ARMAacf(ar=-0.5,lag.max=7)## 0 1 2 3 4 5
## 1.0000000 -0.5000000 0.2500000 -0.1250000 0.0625000 -0.0312500
## 6 7
## 0.0156250 -0.0078125