TAREA 5
ARITZEL GONZALEZ SAUCEDO
library(TSA)##
## Attaching package: 'TSA'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## acf, arima## The following object is masked from 'package:utils':
##
## tarlibrary(ggplot2)
library(forecast)Ejercicio 1.
Encontrar la funcion de autocorrelacion para el proceso definido por
\[ Y_t=5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2} \]
Solucion
Media y Varianza
\[ E(Y_t)=0 \\ .............................................................\\ Var(Y_t)=Var(5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2})\\ .............................................................\\ =\sigma^2+\frac14\sigma^2+\frac1{16}\sigma^2\\ .............................................................\\ =\frac{21}{16}\sigma^2 \]
Covarianza
\[ Cov(y_t,y_{t-1})=Cov(5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2},e_{t-1}-\frac12e_{t-2}+\frac14e_{t-3})\\ .............................................................\\ =-\frac12cov(e_{t-1},e_{t-1})+(-\frac12)(\frac14)cov(e_{t-2}.e_{t-2})\\ .............................................................\\ =-\frac12\sigma^2-\frac18\sigma^2\\ .............................................................\\ =-\frac58\sigma^2\\ .............................................................\\ Cov(y_t,y_{t-2})=Cov(5+e_t-\frac12e_{t-1}+\frac14e_{t-2},e_{t-2}-\frac12e_{t-3}+\frac14e_{t-4})\\ .............................................................\\ =\frac14cov(e_{t-2},e_{t-2})\\ .............................................................\\ =\frac14\sigma^2 \]
Autocorrelacion
\[ \rho_0=1\\ .............................................................\\ \rho_1=\frac{\frac58\sigma^2}{\frac{21}{16}\sigma^2}=-{\frac{10}{21}}\\ .............................................................\\ \rho_2=\frac{\frac14\sigma^2}{\frac{21}{16}\sigma^2}=\frac4{21}\\ .............................................................\\ \rho_3=0 \]
Ejercicio 2.
Graficar la funci??n de autocorrelaci??n para los siguientes modelos MA(2) con los par??metros especificados:
\[ a)\theta=-0.5\text{ y }\theta_2=-0.4\\ .............................................................\\ b)\theta_1=-1.2\text{ y }\theta_2=0.7\\ .............................................................\\ c)\theta_1=1\text{ y }\theta_2=0.6 \]
ma2.1 <- arima.sim(model=list(ma = c(-0.5,-0.4)), n=100)
plot(ma2.1,col="red",type='l', main='a);theta1=-0.5, theta2=-0.4')
ma2.2 <- arima.sim(model=list(ma = c(-1.2,0.7)), n=100)
plot(ma2.2,col="green",type='l', main='b);theta1=-1.2, theta2=0.7')
ma2.3 <- arima.sim(model=list(ma = c(1,0.6)), n=100)
plot(ma2.3,col="blue",type='l', main='c);theta1=1, theta2=0.6')
Ejercicio 3.
Mostrar que cuando theta se reemplaza por 1/theta, la funcion de autocorrelaci??n de un MA(1) no cambia.
ma1<- arima.sim(model=list(ma = 0.7), n=100)
plot(ma1,col="orange",type='l', main='MA(1); theta=0.5')
ma1.2 <- arima.sim(model=list(ma = 1/0.7), n=100)
plot(ma1.2,col="magenta",type='l', main='MA(1); theta=1/0.5')
Ejercicio 4.
Calcular y graficar las funciones de autocorrelacion para los siguientes modelos AR(1). Graficar con un numero suficientes de rezagos para que la funci?n de autocorrelacion decrezca a casi cero.
\[ a)\phi_1=0.6\\ .............................................................\\ b)\phi_1=-0.6\\ .............................................................\\ c)\phi_1=0.95\text{(hacerlo para 20 rezagos)}\\\ .............................................................\\ d)\phi_1=0.3 \]
par(mfrow=c(2,2))
ACF1 <- ARMAacf(ar=0.6,lag.max=10)
ACF2 <- ARMAacf(ar=-0.6,lag.max=10)
ACF3 <- ARMAacf(ar=-0.95,lag.max=20)
ACF4 <- ARMAacf(ar=-0.3,lag.max=10)
plot(y=ACF1[-1],x=1:10,main='phi=0.6',col="darkgoldenrod4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF2[-1],x=1:10,main='phi=-0.6',col="darkblue",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF3[-1],x=1:20,main='phi=-0.95',col="darkmagenta",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF4[-1],x=1:10,main='phi=-0.3',col="darkslategray",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
Ejercicio 5.
Describa las caracteristicas generales de la funcion de autocorrelacion para los siguientes procesos:
a) MA(1),
b) MA(2),
c) AR(1),
d) AR(2)
e) ARMA(1,1)
RESPUESTAS
a) El proceso MA(1) no mantiene una correlacion despues de primero rezago o del rezago 1
b) El proceso MA(1) no mantiene una correlacion despues del segundo rezago
c) El proceso de un AR(1) sinula identicamente al de un MA(1)
d) El proceso de un AR(2) sinula identicamente al de un MA(2)
e) La funci?n de autocorrelacion decae cada que el rezago se incrementa. Su ca??da inicia desde el valor inicial.
Ejercicio 6.
\[ \text{Usar la formula recursiva } \rho_k=\phi_1\rho_{k-1}+\phi_2\rho_{k-2}\text{ 2 (ecuacion Yule-Walker) para calcular y gr??ficar las funciones}\\ \text{de autocorrelacion para los siguientes procesos AR(2)con los par??metros especificados.}\\ \text{En cada caso especifique si las ra??ces de la ecuacion caracter??stica son reales o complejas.} \]
\[ a)\phi_1=0.6\text{ y }\phi_2=0.3\\ .............................................................\\ b)\phi_1=-0.4\text{ y }\phi_2=0.5\\ .............................................................\\ c)\phi_1=1.2\text{ y }\phi_2=-0.7\\ .............................................................\\ d)\phi_1=-1\text{ y }\phi_2=-0.6\\ .............................................................\\ e)\phi_1=0.5\text{ y }\phi_2=-0.9\\ .............................................................\\ f)\phi_1=-0.5\text{ y }\phi_2=-0.6\\ .............................................................\\ \] \[ a)\\ 0.6+\frac{\sqrt(0.6)^2+4(0.3)}{-2(0.3)}=-3.08\\ 0.6-\frac{\sqrt(0.6)^2+4(0.3)}{-2(0.3)}=1.08\\ .............................................................\\ b)\\ -0.4+\frac{\sqrt(-0.4)^2+4(0.5)}{-2(0.5)}=-1.06\\ -0.4-\frac{\sqrt(-0.4)^2+4(0.5)}{-2(0.5)}=1.86\\ .............................................................\\ c)\\ 1.2+\frac{\sqrt(1.2)^2+4(-0.7)}{-2(-0.7)}=1.2+\frac{\sqrt(-1.36)}{1.4}\\ 1.2-\frac{\sqrt(1.2)^2+4(-0.7)}{-2(-0.7)}=1.2-\frac{\sqrt(-1.36)}{1.4}\\ .............................................................\\ d)\\ -1+\frac{\sqrt(-1)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-1+\frac{\sqrt(-1.4)}{1.2}\\ -1-\frac{\sqrt(-1)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-1-\frac{\sqrt(-1.4)}{1.2}\\ .............................................................\\ e)\\ 0.5+\frac{\sqrt(0.5)^2+4(-0.9)}{-2(-0.9)}=0.5+\frac{\sqrt(-3.35)}{1.8}\\ 0.5-\frac{\sqrt(0.5)^2+4(-0.9)}{-2(-0.9)}=0.5-\frac{\sqrt(-3.35)}{1.8}\\ .............................................................\\ f)\\ -0.5+\frac{\sqrt(-0.5)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-0.5+\frac{\sqrt(-2.15)}{1.2}\\ -0.5-\frac{\sqrt(-0.5)^2+4(-0.6)}{-2(-0.6)}=-0.5-\frac{\sqrt(-2.15)}{1.2} \]
par(mfrow=c(3,3))
ACF.a <- ARMAacf(ar=c(0.6,0.3),lag.max=15)
ACF.b <- ARMAacf(ar=c(-0.4,0.5),lag.max=15)
ACF.c <- ARMAacf(ar=c(1.2,-0.7),lag.max=15)
ACF.d <- ARMAacf(ar=c(-1,-0.6),lag.max=15)
ACF.e <- ARMAacf(ar=c(0.5,-0.9),lag.max=15)
ACF.f <- ARMAacf(ar=c(-0.5,-0.6),lag.max=15)
plot(y=ACF.a[-1],x=1:15,main='phi1=0.6, phi2=0.3',col="deeppink4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.b[-1],x=1:15,main='phi1=-0.4, phi2=0.5',col="indianred4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.c[-1],x=1:15,main='phi1=1.2,phi2=--0.7',col="mediumorchid4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.d[-1],x=1:15,main='phi1=-1, phi2=-0.6',col="red4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.e[-1],x=1:15,main='phi1=0.5, phi2=-0.9',col="magenta",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
plot(y=ACF.f[-1],x=1:15,main='phi1=-0.5,phi2=-0.6',col="palevioletred4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
Ejercicio 7.
Graficar las funciones de autocorrelacion para cada uno de los siguientes procesos ARMA:
\[ a)\text{ARMA}(1,1)\text{ con }\phi=0.7\text{ y }\theta=-0.4\\ .............................................................\\ b)\text{ARMA}(1,1)\text{ con }\phi=0.7\text{ y }\theta=0.4 \]
par(mfrow=c(2,2))
ACF.a2 <- ARMAacf(ar=c(0.7,-0.4),lag.max=15)
plot(y=ACF.a2[-1],x=1:15,main='phi1=0.7, theta=-0.4',xlab='Lag',col="red",ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
ACF.b2 <- ARMAacf(ar=c(0.7,0.4),lag.max=15)
plot(y=ACF.a2[-1],x=1:15,main='phi1=0.7, theta=0.4',xlab='Lag',col="turquoise4",ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
Ejercicio 8.
\[ \text{Considere el proceso MA(2), uno con }\theta_1=\theta_2=-{\frac16}\text{ y otro con }\theta_1=1\text{ y }\theta_2=-6 \]
a) Mostrar que estos procesos tienen la misma funcion de autocorrelacion
b) ??Como se comparan las raices de los polinomios caracteristicos?
RESPUESTAS
a)
par(mfrow=c(2,2))
ACF.a3 <- ARMAacf(ar=c(-(1/6),-(1/6)),lag.max=15)
plot(y=ACF.a3[-1],x=1:15,main='theta1=-(1/6),theta2=-(1/6)',col="slateblue4",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
ACF.b3 <- ARMAacf(ar=c(1,-6),lag.max=15)
plot(y=ACF.b3[-1],x=1:15,main='theta1=1,theta2=-6',col="orangered2",xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)