Ejercicio 5:Modelos estacionarios
Dulce Abigail De Paz Maya
- 1. Encontrar la función de autocorrelación para el proceso definido por
- 2.Graficar la función de autocorrelación para los siguientes modelos MA(2) con los parámetros especificados:
- 3.Mostrar que cuando \(\theta\) se reemplaza por \(\frac{1}\theta\), la función de autocorrelación de un MA(1) no cambia.
- 4.Calcular y graficar las funciones de autocorrelación para los siguientes modelos AR(1). Graficar con un número suficientes de rezagos para que la funci´on de autocorrelación decrezca a casi cero.
- 5.Describa las características generales de la función de autocorrelación para los siguientes procesos: a) MA(1), b) MA(2), c) AR(1), d) AR(2) y e) ARMA(1,1)
- 6.Usar la fórmula recursiva \({\phi_{k}=\rho_1\phi_{k-1} + \rho_2\phi_{k-2}}\) (ecuación Yule-Walker) para calcular y graficar las funciones de autocorrelación para los siguientes procesos AR(2) con los parámetros especificados. En cada caso especifique si las raíces de la ecuación característica son reales o complejas.
- 7.Graficar las funciones de autocorrelación para cada uno de los siguientes procesos ARMA:
- 8.Considere dos procesos MA(2), uno con \(\theta_1 = \theta_2 =-1/6\) y otro con \(\theta_1=1\) y \(\theta_2=-6\)
- 9.Considere un proceso AR(1) \({Y_{t}= Y_{t-1}+ e_t.}\) Mostrar que si \({|\rho| = 1}\) el proceso no puede ser estacionario. (Pista: Tomar varianzas de ambos lados).
- 10.Considere un proceso MA(6) con \(\theta_1=-0.5, \theta_2=0.25, \theta_3=-0.125,\) \(\theta_4=0.0625, \theta_5=-0.0325\) y \(\theta_6=0.015625.\) Encontrar un modelo más simple que tenga casi los mismos \(\psi\) -pesos.
library(TSA)##
## Attaching package: 'TSA'## The following objects are masked from 'package:stats':
##
## acf, arima## The following object is masked from 'package:utils':
##
## tar1. Encontrar la función de autocorrelación para el proceso definido por
\[ Y_t = 5 + e_t - \frac{1} 2 e_{t-1} +\frac{1}4 e_{t-2} \]
\(var(Y_t)=Var(5+e_t -\frac{1}2 e_{t-1} +\frac{1}4 e_{t-2})=[1+(\frac{1}2^2 + \frac{1}4^2)\sigma^2 _e]\)
\(Cov(Y_t,Y_{t-1})=cov(e_t-\frac{1}2 e_{t-1} +\frac{1}4 e_{t-2}, e_(t-1) - \frac{1}2 e_{t-2}+\frac{1}4 e_{t-3}= Cov(-\frac{1}2 e_{t-1}+\frac{1}4 e_{t-2},e{t-1} -\frac{1}2 e_{t-2})\)
\(=Cov(-\frac{1}2 e_{t-1}, e_{t-1})+ Cov(\frac{1}4 e_{t-2}, -\frac{1}2 e_{t-2})=[-\frac{1}2(\frac{1}4)-\frac{1}2] \sigma^2_e = -\frac{5}8 \sigma^2_e\)
\(Cov(Y_t, Y{t_2})=Cov(e_t -\frac{1}2e_{t-1}+\frac{1}4 e_{t-2},e_{t-2}-\frac{1}2 e_{t-3}+\frac{1}4 e_{t-4})= Cov(\frac{1}4 e_{t-2},e_{t-2})=\frac{1}4 \sigma^2_e, y\)
\(Cov(Y_t, Y{t_3})= Cov(e_t - \frac{1}2 e_{t-1}+\frac{1}4 e_{t-2} , e_{t-3}-\frac{1}2 e_{t-4}+\frac{1}4 e_{t-5})=0\)
Para:
\[\rho_k\]
\(\rho_k=1....k=0\)
\(\rho_k= \frac{{-\frac{5}8\sigma^2_e}}{\frac{21}16\sigma^2_e} = -\frac{10}{21}.... k=1\)
\(\rho_k= \frac{{-\frac{1}4\sigma^2_e}}{\frac{21}16\sigma^2_e} = -\frac{4}{21} .... k=2\)
\(\rho_k=0 .... k>2\)
2.Graficar la función de autocorrelación para los siguientes modelos MA(2) con los parámetros especificados:
\[a.\theta_1 =-0.5 y \theta_2=-0.4\]
ACF1 <-ARMAacf(ma=list(-.5,-.4))ma1 <-arima.sim(model = list(ma=c(-.5,-.4)), n=120)
plot(ma1, type = "o", main='MA(2); theta1=-.5, theta2=-.4')
\[b. \theta_1=-1.2 y \theta_2=0.7\]
ARMAacf(ma=list(-1.2,.7))## 0 1 2 3
## 1.0000000 -0.6962457 0.2389078 0.0000000ma2 <-arima.sim(model = list(ma=c(-1.2,.7)), n=120)
plot(ma2, type = "o", main='MA(2); theta1=-1.2, theta2=.7')
\[c. \theta_1=1 y \theta_2=0.6\]
ARMAacf(ma=list(1,.6))## 0 1 2 3
## 1.0000000 0.6779661 0.2542373 0.0000000ma3 <-arima.sim(model = list(ma=c(1,.6)), n=120)
plot(ma3, type = "o", main='MA(2); theta1=1, theta2=.6')
3.Mostrar que cuando \(\theta\) se reemplaza por \(\frac{1}\theta\), la función de autocorrelación de un MA(1) no cambia.
\[ \frac{{-\frac{1}\theta}}{1+(\frac{1}\theta)^2} = \frac{{-\theta}}{1-\theta^2} \]
4.Calcular y graficar las funciones de autocorrelación para los siguientes modelos AR(1). Graficar con un número suficientes de rezagos para que la funci´on de autocorrelación decrezca a casi cero.
\[a. \phi=0.6\]
ACF=ARMAacf(ar=.6,lag.max=8)
plot(y=ACF[-1],x=1:8,xlab='Lag',ylab='ACF',type='h'); abline(h=0)
\[b. \phi=-0.6\]
ACF1=ARMAacf(ar=-0.6,lag.max=8)
plot(y=ACF1[-1],x=1:8,xlab='Lag',ylab='ACF',type='h',ylim=c(-1,1)); abline(h=0)
\[c. \phi=0.95\]hacerlo para 20 rezagos \[.\]
ACF2=ARMAacf(ar=.95,lag.max=20)
plot(y=ACF2[-1],x=1:20,xlab='Lag',ylab='ACF',type='h',ylim=c(0,1)); abline(h=0)
\[d. \phi=0.3\]
ACF4=ARMAacf(ar=.3,lag.max=20)
plot(y=ACF4[-1],x=1:20,xlab='Lag',ylab='ACF',type='h',ylim=c(0,1)); abline(h=0)
5.Describa las características generales de la función de autocorrelación para los siguientes procesos: a) MA(1), b) MA(2), c) AR(1), d) AR(2) y e) ARMA(1,1)
a. Tiene una correlación distinta de cero solo en el retraso 1. Puede ser positivo o negativo, pero debe estar entre -0.5 y +0.5.
b. Tiene correlación distinta de cero solo en los retrasos 1 y 2.
c. Tiene autocorrelaciones en descomposición exponencial a partir del retraso 0. Si \(\phi> 0\), todas las autocorrelaciones son positivas. Si \(\phi<0\), entonces las autocorrelaciones alternan entre negativo, positivo negativo, etc.
d. Las autocorrelaciones pueden tener varios patrones, pero si las raíces de la ecuación característica son números complejos, entonces el patrón será un coseno con una magnitud decadente.
e.Tiene autocorrelaciones en descomposición exponencial a partir del retardo 1, pero no desde el retardo cero.
6.Usar la fórmula recursiva \({\phi_{k}=\rho_1\phi_{k-1} + \rho_2\phi_{k-2}}\) (ecuación Yule-Walker) para calcular y graficar las funciones de autocorrelación para los siguientes procesos AR(2) con los parámetros especificados. En cada caso especifique si las raíces de la ecuación característica son reales o complejas.
\[a)\phi1=0.6 *y* \phi2=0.3\]
rho=NULL; phi1=0.6; phi2=0.3; max.lag=20
rho1=phi1/ (1-phi2); rho2= (phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] 0.8571429 0.8142857 0.7457143 0.6917143 0.6387429 0.5907600 0.5460789
## [8] 0.5048753 0.4667488 0.4315119 0.3989318 0.3688126 0.3409671 0.3152241
## [15] 0.2914246 0.2694220 0.2490806 0.2302749 0.2128891 0.1968159plot(y=rho, x=1:max.lag, type="h", ylab="ACF", xlab="lag", ylim= c (-1,+1)); abline(h=0)
polyroot(c(1, -phi1, -phi2))## [1] 1.081666-0i -3.081666+0iLas raices son reales lo que indica que esta muy cerca del límite de estacionariedad (+1).
library(forecast)
library(ggplot2)ar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit<-arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
\[b)\phi1=-0.4 *y* \phi2=0.5\]
rho=NULL; phi1=-0.4; phi2=0.5; max.lag=20
rho1=phi1/ (1-phi2); rho2= (phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] -0.8000000 0.8200000 -0.7280000 0.7012000 -0.6444800 0.6083920
## [7] -0.5655968 0.5304347 -0.4949723 0.4632063 -0.4327687 0.4047106
## [13] -0.3782686 0.3536627 -0.3305994 0.3090711 -0.2889281 0.2701068
## [19] -0.2525068 0.2360561plot(y=rho, x=1:max.lag, type="h", ylab="ACF", xlab="lag", ylim= c (-1,+1)); abline(h=0)
polyroot(c(1, -phi1, -phi2))## [1] -1.069694+0i 1.869694-0iLas raices son reales tambien en este caso.
ar2.r<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit<-arima(ar2.r, order=c(2,0,0))
autoplot(fit)
\[c) \phi1=1.2 *y* \phi2=-0.7\]
rho=NULL; phi1=1.2; phi2=-0.7; max.lag=20
rho1=phi1/ (1-phi2); rho2= (phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] 0.70588235 0.14705882 -0.31764706 -0.48411765 -0.35858824
## [6] -0.09142353 0.14130353 0.23356071 0.18136038 0.05413996
## [11] -0.06198431 -0.11227915 -0.09134596 -0.03101975 0.02671848
## [16] 0.05377599 0.04582826 0.01735071 -0.01125892 -0.02565621plot(y=rho, x=1:max.lag, type="h", ylab="ACF", xlab="lag", ylim= c (-1,+1)); abline(h=0)
polyroot(c(1, -phi1, -phi2))## [1] 0.8571429+0.8329931i 0.8571429-0.8329931iEn este caso las raices son complejas
ar2.c<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit.c<-arima(ar2.c, order=c(2,0,0))
autoplot(fit.c)
Damp=sqrt(-phi2)
Freq= acos(phi1/(2*Damp))
Phase=atan((1-phi2)/(1+phi2))
Damp;Freq;Phase## [1] 0.83666## [1] 0.7711105## [1] 1.396124\[d) \phi1=-1 *y* \phi2=-0.6\]
rho=NULL; phi1=-1; phi2=-0.6; max.lag=20
rho1=phi1/ (1-phi2); rho2= (phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] -0.6250000000 0.0250000000 0.3500000000 -0.3650000000 0.1550000000
## [6] 0.0640000000 -0.1570000000 0.1186000000 -0.0244000000 -0.0467600000
## [11] 0.0614000000 -0.0333440000 -0.0034960000 0.0235024000 -0.0214048000
## [16] 0.0073033600 0.0055395200 -0.0099215360 0.0065978240 -0.0006449024plot(y=rho, x=1:max.lag, type="h", ylab="ACF", xlab="lag", ylim= c (-1,+1)); abline(h=0)
polyroot(c(1, -phi1, -phi2))## [1] -0.8333333+0.9860133i -0.8333333-0.9860133iEn este caso las raices son complejas
ar2.c<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit.c<-arima(ar2.c, order=c(2,0,0))
autoplot(fit.c)
Damp=sqrt(-phi2)
Freq= acos(phi1/(2*Damp))
Phase=atan((1-phi2)/(1+phi2))
Damp;Freq;Phase## [1] 0.7745967## [1] 2.27247## [1] 1.325818\[e)\phi1=0.5 *y* \phi2=-0.9\]
rho=NULL; phi1=0.5; phi2=-0.9; max.lag=20
rho1=phi1/ (1-phi2); rho2= (phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] 0.26315789 -0.76842105 -0.62105263 0.38105263 0.74947368
## [6] 0.03178947 -0.65863158 -0.35792632 0.41380526 0.52903632
## [11] -0.10790658 -0.53008597 -0.16792707 0.39311384 0.34769128
## [16] -0.17995682 -0.40290056 -0.03948914 0.34286593 0.20697320plot(y=rho, x=1:max.lag, type="h", ylab="ACF", xlab="lag", ylim= c (-1,+1)); abline(h=0)
polyroot(c(1, -phi1, -phi2))## [1] 0.277778+1.016834i 0.277778-1.016834iEn este caso las raices tambien son complejas
ar2.c<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit.c<-arima(ar2.c, order=c(2,0,0))
autoplot(fit.c)
Damp=sqrt(-phi2)
Freq= acos(phi1/(2*Damp))
Phase=atan((1-phi2)/(1+phi2))
Damp;Freq;Phase## [1] 0.9486833## [1] 1.304124## [1] 1.518213\[f)\phi1=-0.5 *y* \phi2=-0.6\]
rho=NULL; phi1=-0.5; phi2=-0.6; max.lag=20
rho1=phi1/ (1-phi2); rho2= (phi2*(1-phi2)+phi1^2)/(1-phi2)
rho[1]=rho1; rho[2]=rho2
for (k in 3:max.lag) rho[k]=phi1*rho[k-1]+phi2*rho[k-2]
rho## [1] -0.3125000000 -0.4437500000 0.4093750000 0.0615625000 -0.2764062500
## [6] 0.1012656250 0.1152109375 -0.1183648437 -0.0099441406 0.0759909766
## [11] -0.0320290039 -0.0295800840 0.0340074443 0.0007443282 -0.0207766307
## [16] 0.0099417184 0.0074951192 -0.0097125907 0.0003592238 0.0056479425plot(y=rho, x=1:max.lag, type="h", ylab="ACF", xlab="lag", ylim= c (-1,+1)); abline(h=0)
polyroot(c(1, -phi1, -phi2))## [1] -0.416667+1.221907i -0.416667-1.221907iEn este caso las raices son complejas
ar2.c<-arima.sim(model=list(ar=c(phi1, phi2)), n=100)
fit.c<-arima(ar2.c, order=c(2,0,0))
autoplot(fit.c)
Damp=sqrt(-phi2)
Freq= acos(phi1/(2*Damp))
Phase=atan((1-phi2)/(1+phi2))
Damp;Freq;Phase## [1] 0.7745967## [1] 1.899428## [1] 1.325818En conclusión, para el caso AR(2), su correspondiente \(\rho_k\) será una combinación lineal de términos que caen exponencialmente (raices reales de la ecuación caracteristica) y términos que caen como ondas “senos” (raices complejas de la ecuación caracteristica).
7.Graficar las funciones de autocorrelación para cada uno de los siguientes procesos ARMA:
a) ARMA(1,1) con \(\phi=0.7\) y \(\theta=-0.4\)
ACF=ARMAacf(ar=0.7, ma=0.4, lag.max = 20)
plot(y= ACF[-1], x=1:20, xlab="lag", ylab="ACF", type = "h"); abline(h=0)
Se debe tomar en cuenta que para graficar las betas, R usa valores negativos.
b) ARMA(1,1) con \(\phi=0.7\) y \(\theta=0.4\)
ACF=ARMAacf(ar=0.7, ma=-0.4, lag.max = 20)
plot(y= ACF[-1], x=1:20, xlab="lag", ylab="ACF", type = "h"); abline(h=0)
8.Considere dos procesos MA(2), uno con \(\theta_1 = \theta_2 =-1/6\) y otro con \(\theta_1=1\) y \(\theta_2=-6\)
a) Mostrar que estos procesos tienen la misma función de autocorrelación.
ARMAacf(ma=c(1,-6))## 0 1 2 3
## 1.0000000 -0.1315789 -0.1578947 0.0000000ARMAacf(ma=c(-1/6,-1/6))## 0 1 2 3
## 1.0000000 -0.1315789 -0.1578947 0.0000000Se observa como tienen la misma función de autocorrelación.
b) ¿Cómo se comparan las raíces de los polinomios característicos?
Todas las raices de los polinomios son recíprocas entre sí. Sólo el MA(2)cuando \(\theta_1=\theta_2=-\frac{1}{6}\) es invertible.
9.Considere un proceso AR(1) \({Y_{t}= Y_{t-1}+ e_t.}\) Mostrar que si \({|\rho| = 1}\) el proceso no puede ser estacionario. (Pista: Tomar varianzas de ambos lados).
\[ \] si \(y_t\) es estacionario. Entonces \(Var(Y_t)=\phi^2Var(Y_{t-1})+\sigma^2_e\) o \(Var(Y_t)=\sigma^2_e/(1/\phi^2)\). Si \(|\phi|=1\) esto seria imposible.
10.Considere un proceso MA(6) con \(\theta_1=-0.5, \theta_2=0.25, \theta_3=-0.125,\) \(\theta_4=0.0625, \theta_5=-0.0325\) y \(\theta_6=0.015625.\) Encontrar un modelo más simple que tenga casi los mismos \(\psi\) -pesos.
\[ \] Estos coeficientes disminuyen exponencialmente en magnitud a una tasa de 0.5 mientras alternan en el signo. Además,los coeficientes casi han desaparecido en \(\theta_6\). Por lo tanto, un proceso AR (1) con \(\phi=0.5\) sería casi el mismo proceso.