Datos de las pólizas Distribuciones discretas

datos<-c(rep(1,6),rep(2,180),rep(3,462),rep(4,594),rep(5,741),
         rep(6,831),rep(7,701),rep(8,229),rep(9,80),rep(10,74),rep(11,67)
         ,rep(12,57),rep(13,50),rep(14,43),rep(15,34),rep(16,27),
         rep(17,19),rep(18,11),rep(19,2),rep(20,0))

la Esperanza y varianza observadas son:

esperanza_obs<-mean(datos)
varianza_obs<-var(datos)
esperanza_obs
## [1] 5.986692
varianza_obs
## [1] 7.708404
x<-c(1:20)
probas<-c(6/4208, 180/4208, 462/4208, 594/4208, 741/4208, 831/4208, 
          701/4208, 229/4208, 80/4208, 74/4208, 67/4208, 57/4208, 
          50/4208, 43/4208, 34/4208, 27/4208, 19/4208, 11/4208, 2/4208, 0)

El VaR y TVaR observados al 0.95 son

var_observado<-quantile(datos, 0.95)
tvar_observado<- sum(x[c(13:20)]*probas[(c(13:20))])/(1-0.95)
var_observado
## 95% 
##  12
tvar_observado
## [1] 13.0846
hist(datos)
abline(v=esperanza_obs, col="blue")
text(esperanza_obs,0, "esperanza obs", col="blue")
abline(v=var_observado, col="red")
text(var_observado,0, "VaR obs", col="red")
abline(v=tvar_observado, col="yellow")
text(tvar_observado,0, "TVaR obs", col="yellow")

Ajuste Binomial negativa

require(fitdistrplus)
## Loading required package: fitdistrplus
## Loading required package: MASS
## Loading required package: survival
## Loading required package: npsurv
## Loading required package: lsei
binom_neg<-fitdist(datos,distr="nbinom", method=c("mle"),start = NULL )

La esperanza y varianza teóricas son

mu_nbinom<-binom_neg$estimate[2]
p<-binom_neg$estimate[1]/(mu_nbinom+binom_neg$estimate[1])
var_nbinom<-binom_neg$estimate[1]*(1-p)/(p*p)
mu_nbinom
##       mu 
## 5.986313
var_nbinom
##     size 
## 7.309887

El VaR teórico

VaR_Nbinom<-quantile(binom_neg, 0.95)
VaR_Nbinom
## Estimated quantiles for each specified probability (non-censored data)
##          p=0.95
## estimate     11
denscomp(binom_neg)
abline(v=mu_nbinom, col="blue")
text(mu_nbinom,0, "esperanza nbinom", col="blue")
abline(v=11, col="red")
text(11,0, "VaR nbinom", col="red")

El VaR observado es 12, mientras que el teórico con el ajuste binomial negativa es 11, tomando en cuenta que la variable toma valores del 1 al 20 es una diferencia considerable, además notamos que el ajuste binomial negativo no es muy bueno, por lo que se debería de tomar el VaR observado. En cuanto a la esperanza en ambos casos es la misma.

Ajuste Poisson

pois<-fitdist(datos,distr="pois", method=c("mle"),start = NULL )

La esperanza y varianza teórica en la distribución poisson, es el parámetro lambda que es:

lambda<-pois$estimate
lambda
##   lambda 
## 5.986692

El VaR y TVaR teóricos de la distribución Poisson

VaR_Poisson<-quantile(pois, 0.95)
j<-10-2
s<-c()
for(i in 0:j){
s[i+1]=lambda^i/factorial(i)
}
s
## [1]  1.000000  5.986692 17.920241 35.760987 53.522504 64.084550 63.942410
## [8] 54.686217 40.923692
TVaR_Poisson<-lambda*exp(-lambda)*(exp(lambda)-sum(s))/0.05
VaR_Poisson
## Estimated quantiles for each specified probability (non-censored data)
##          p=0.95
## estimate     10
TVaR_Poisson
##   lambda 
## 18.12667
denscomp(pois)
abline(v=lambda, col="blue")
text(lambda,0, "esperanza Poisson", col="blue")
abline(v=10, col="red")
text(10,0, "VaR Poisson", col="red")
abline(v=TVaR_Poisson, col="yellow")
text(TVaR_Poisson,0, "TVaR Poisson", col="yellow")

El VaR observado es 12, mientras que el teórico con el ajuste Poisson es 10, es una diferencia mayor y el ajuste poisson tampoco bueno, por lo que se debería de tomar el VaR observado. En cuanto a la esperanza en ambos casos sigue siendo la misma.

Distribuciones continuas

datos_2<-read.csv("montos.csv", header = TRUE)

Esperanza y varianza observadas:

esp_obs_2<-mean(datos_2$Ordenados)
var_obs2<-var(datos_2$Ordenados)
esp_obs_2
## [1] 104866257
var_obs2
## [1] 6.842819e+12

VaR y TVaR observados:

VaR_obs_2<-quantile(datos_2$Ordenados, 0.95)
TVaR_obs_2<-sum(datos_2$Ordenados[9484:10000]*datos_2$Probabilidades[9484:10000])/(1-0.95)
VaR_obs_2
##       95% 
## 109181761
TVaR_obs_2
## [1] 114114649
hist(datos_2$Ordenados)
## Warning in n * h: NAs produced by integer overflow
abline(v=esp_obs_2, col="blue")
text(esp_obs_2,0, "esperanza obs", col="blue")
abline(v=VaR_obs_2, col="red")
text(VaR_obs_2,0, "VaR obs", col="red")
abline(v=TVaR_obs_2, col="yellow")
text(TVaR_obs_2,0, "TVaR obs", col="yellow")

Ajuste Normal

normal<-fitdist(datos_2$Ordenados,distr="norm", method=c("mle"),start = NULL )

Esperanza y varianza teóricos del ajuste normal

mu_normal<-normal$estimate[1]
desv_est<-normal$estimate[2]
var_norm<-desv_est^2
mu_normal
##      mean 
## 104866257
var_norm
##           sd 
## 6.842135e+12

VaR y TVaR del ajuste Normal

VaR_normal<-quantile(normal, 0.95)
TVaR_normal<-mu_normal+desv_est*(dnorm(qnorm(0.95, 0,1), 0,1))/(0.05)
VaR_normal
## Estimated quantiles for each specified probability (non-censored data)
##             p=0.95
## estimate 109168779
TVaR_normal
##      mean 
## 110261793
denscomp(normal, xlim=c(95126645.79
,115571013.6), ylim=c(0,0.0000002))
## Warning in n * h: NAs produced by integer overflow

## Warning in n * h: NAs produced by integer overflow
abline(v=mu_normal, col="blue")
text(mu_normal,0, "esperanza Normal", col="blue")
abline(v=109168779, col="red")
text(109168779,0, "VaR Normal", col="red")
abline(v=TVaR_normal, col="yellow")
text(TVaR_normal,0, "TVaR Normal", col="yellow")

El VaR observado es 109181761 , mientras que el teórico con el ajuste normal es 109168779. La esperanza observada y con el ajuste normal con iguales:104866257. Recordamos que bajo el test K-S aceptamos la hipótesis de la distribución normal. Por lo que podríamos quedarnos con los valores teóricos ajustados.

Ajuste lognormal

Esperanza y Varianza teóricas del ajuste lognormal

lognormal<-fitdist(datos_2$Ordenados,distr="lnorm", method=c("mle"),start = NULL )
esp_log<-exp(lognormal$estimate[1]+lognormal$estimate[2]^2/2)
var_log<-(exp(lognormal$estimate[2]^2)-1)*exp(2*lognormal$estimate[1]+lognormal$estimate[2]^2)
esp_log
##   meanlog 
## 104866259
var_log
##        sdlog 
## 6.842874e+12

VaR y TVar del ajuste lognormal

VaR_lognorm<-quantile(lognormal, 0.95)
TVaR_Lognorm<-exp(lognormal$estimate[1]+0.5*lognormal$estimate[2]^2)*pnorm(lognormal$estimate[2]-qnorm(0.95, 0,1))/0.05
VaR_lognorm
## Estimated quantiles for each specified probability (non-censored data)
##             p=0.95
## estimate 109223831
TVaR_Lognorm
##   meanlog 
## 110372862
denscomp(lognormal, xlim=c(95126645.79
,115571013.6), ylim=c(0,0.0000002))
## Warning in n * h: NAs produced by integer overflow

## Warning in n * h: NAs produced by integer overflow
abline(v=esp_log, col="blue")
text(esp_log,0, "esperanza Noisson", col="blue")
abline(v=109223831, col="red")
text(109223831,0, "VaR Poisson", col="red")
abline(v=TVaR_Lognorm, col="yellow")
text(TVaR_Lognorm,0, "TVaR Poisson", col="yellow")

El VaR observado es 109181761 , mientras que el teórico con el ajuste lognormal es 109223831. La esperanza observada es 104866257 y con el ajuste lognormal es 104866259. Recordando que aceptamos la hipótesis de que la distribución de los datos puede ser lognormal nos quedamos con los valores teóricos.