Idea intuitiva del ANOVA

La técnica de análisis de varianza (ANOVA) también conocida como análisis factorial y desarrollada por Fisher en 1930, constituye la herramienta básica para el estudio del efecto de uno o más factores (cada uno con dos o más niveles) sobre la media de una variable continua.

Es por lo tanto el test estadístico a emplear cuando se desea comparar las medias de dos o más grupos. Esta técnica puede generalizarse también para estudiar los posibles efectos de los factores sobre la varianza de una variable.

La hipótesis nula de la que parten los diferentes tipos de ANOVA es que la media de la variable estudiada es la misma en los diferentes grupos, en contraposición a la hipótesis alternativa de que al menos dos medias difieren de forma significativa.

ANOVA permite comparar múltiples medias, pero lo hace mediante el estudio de las varianzas. En todo el esquema de las cosas, somos realmente tan diferentes?

El funcionamiento básico de un ANOVA consiste en calcular la media de cada uno de los grupos para a continuación comparar la varianza de estas medias (varianza explicada por la variable grupo, intervarianza) frente a la varianza promedio dentro de los grupos (la no explicada por la variable grupo, intravarianza).

Bajo la hipótesis nula de que las observaciones de los distintos grupos proceden todas la misma población (tienen la misma media y varianza), la varianza ponderada entre grupos será la misma que la varianza promedio dentro de los grupos.

Conforme las medias de los grupos estén más alejadas las unas de las otras, la varianza entre medias se incrementará y dejará de ser igual a la varianza promedio dentro de los grupos. Mas varianza mas diferente la muestra

Análisis de la Varianza (ANOVA)

Ya que los procedimientos ANOVA de dos muestras permiten comparar las medias de dos poblaciones o las respuestas medias a dos tratamientos de un experimento. Sin embargo, en ocasiones necesitamos comparar más de 2 grupos. El modelo del Análisis de la Varianza (ANOVA), nos permitirá abordar este tipo de situaciones. Lo vemos con un ejemplo:

Estamos interesados en conocer si hay colores más atractivos para los insectos. Para ello se diseñaron trampas con los siguientes colores: amarillo, azul, blanco y verde. Se cuantificó el número de insectos que quedaban atrapados:

Organización de los datos

Generamos dos variables: insectos es la variable respuesta y colores es la variable factor (establece los grupos de interés):

insectos <- c(16,11,20,21,14,7,37,32,15,25,39,41,21,12,14,17,13,17,45,59,48,46,38,47)
colores <- as.factor(c(rep(c("azul", "verde", "blanco", "amarillo"), each =6)))

Exploramos los datos de la muestra:

boxplot(insectos ~ colores, col = c("yellow", "blue", "white","green"), ylab = "Número de insectos atrapados") #el signo de la ñ porque es factor #amarillo tiene dos datos atipicos

#
tapply(insectos, colores, mean) #aplique la media en tales cosas = tapply
## amarillo     azul   blanco    verde 
## 47.16667 14.83333 15.66667 31.50000

ANOVA y pruebas post-hoc

Esta es la forma de pedir un ANOVA en R:

fm = aov( lm(insectos ~ colores) ) #modelo lineal que busca la relacion entre las variables (tipo continua y tipo factor)

Pedimos un resumen de la tabla del ANOVA

summary(fm)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## colores      3   4218    1406   30.55 1.15e-07 ***
## Residuals   20    921      46                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Elementos generados en el ANOVA:

names(fm)
##  [1] "coefficients"  "residuals"     "effects"       "rank"         
##  [5] "fitted.values" "assign"        "qr"            "df.residual"  
##  [9] "contrasts"     "xlevels"       "call"          "terms"        
## [13] "model"

Identifica en la tabla ANOVA los grados de libertad del factor, los grados de libertad residuales, la suma de cuadrados de los grupos, la suma de cuadrados del error, las medias correspondientes de las sumas de cuadrados de los grupos y del error, el valor del estadístico F. Describe cómo obtenemos cada uno de ellos.

¿Cuál es el valor crítico de F bajo la hipótesis nula con un nivel de significación alfa = 0.05? (Este valor nos delimitará la región de aceptación y rechazo)

Bajo la Ho el estadístico de contraste F se distribuye como una F de grados de libertad (I-1), (n-I) donde I es el número de grupos que disponemos y n el tamaño total de la muestral. Así obtenemos el cuantil buscado:

qf(0.05, 3-1, 18-3, lower.tail = F) #qf nivel de significacia n-1 y el i-1 y si tiene cola inferior se pone F 
## [1] 3.68232

Valores del estadístico > 3.68232 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 30.55 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.

¿Qué valor de la tabla ANOVA nos proporciona la varianza muestral común (pooled variance en inglés)? ¿Para qué es útil?

La raíz cuadrada de la media de los cuadrados del error, además de proporcionarnos una estimación de la varianza muestral de todos los datos, se utiliza en la obtención de los intervalos de confianza de las medias en cada uno de los grupos de interés.

Por ejemplo, este sería el intervalo de confianza de la media de los insectos capturados para las trampas amarillas, con un nivel de confianza del 95%:

media <- mean(insectos[colores =="amarillo"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 18 - 3) #prueba t (nivel de confianza.. como tiene dos colas dividimos para dos, y el grado de libertad)
sp <- sqrt(46)  #desviación t�pica de la varianza muestral común #46 media
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(6))  #error de estimación #6 es el n de cada grupo
media
## [1] 47.16667

El intervalo de confianza me sirve para hacer predicciones

límite superior del intervalo de confianza de la media de insectos capturados para las trampas amarillas

media + ee 
## [1] 48.57826

límite inferior del intervalo de confianza de la media de insectos capturados para las trampas amarillas

media - ee 
## [1] 45.75507

Si hemos detectado diferencias significativas entre las medias de las poblaciones. ¿Será posible saber cuáles son los grupos que generan estas diferencias?

intervals = TukeyHSD(fm) #Prueba de Turkey  #cercano a 1 estadisticamente iguales
intervals
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = lm(insectos ~ colores))
## 
## $colores
##                        diff        lwr       upr     p adj
## azul-amarillo   -32.3333333 -43.296330 -21.37034 0.0000004
## blanco-amarillo -31.5000000 -42.462996 -20.53700 0.0000006
## verde-amarillo  -15.6666667 -26.629663  -4.70367 0.0036170
## blanco-azul       0.8333333 -10.129663  11.79633 0.9964823
## verde-azul       16.6666667   5.703670  27.62966 0.0020222
## verde-blanco     15.8333333   4.870337  26.79633 0.0032835
plot(intervals)

Explica las diferencias existentes por parejas de trampas según el color. ¿Algunas de estas diferencias son significativas? Si el objetivo es atrapar un mayor número de insectos, ¿con qué tipo de trampas te quedarías?

Validación del modelo ANOVA

A partir de los residuos del modelo comprobaremos si el modelo ANOVA es adecuado. Los supuestos que se deben cumplir son tres: independencia, homocedasticidad y normalidad.

Independencia

plot(fm$residuals)

Normalidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

summary(fm$residuals)
##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
## -16.5000  -2.9167   0.1667   0.0000   5.2083  11.8333
boxplot(fm$residuals)

hist(fm$residuals)#para ver si se paproxima a la campana ed gauuss

qqnorm(fm$residuals) 
qqline(fm$residuals)

El test de Shapiro-Wilk ca que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (normalidad de los residuos)

shapiro.test(fm$residuals)  #p valor es mayor que 0,05 es normal 
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  fm$residuals
## W = 0.97337, p-value = 0.75

Homocedasticidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

boxplot(fm$residuals~colores, col = c("yellow", "blue", "white","green"))  #La varianza de los grupos se la obtiene a traves de los residuos

desviaciones <- tapply(fm$residuals, colores, sd)

Comparando la desviación máxima con la mínima obtenemos una orientación sobre la falta de homocedasticidad (>2 aproximadamente) # extrictamente >2 no hay hocedasticidad

max(desviaciones) / min(desviaciones)    
## [1] 2.980357

El test de Bartlett indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (las varianzas son iguales)

bartlett.test(fm$residuals ~ colores) #p > 0,05 varianzas diferentes.. se rechaza la hipotesis 
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  fm$residuals by colores
## Bartlett's K-squared = 5.2628, df = 3, p-value = 0.1535

Kruskal-Wallis y pruebas post-hoc

¿Qué hipótesis contrasta el test ANOVA?

Ho: las medias son iguales en todas las poblaciones

Ha: hay alguna media distinta

¿Qué hipótesis contrasta la prueba de Kruskal-Wallis? anova multivariante?

Ho: la variable respuesta es la misma en todas las poblaciones valoradas (esto es cuando tenemos mas de un variable independiente)

Ha: la variable respuesta es mayor en alguna de las poblaciones

Cuando no se cumplen las hipótesis exigidas por el modelo ANOVA, es posible utilizar la prueba no paramétrica Kruskal-Wallis: ¿hay diferencias significativas entre las poblaciones?

kruskal.test(insectos, colores) #acepto la alternativa
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  insectos and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

Indica cuál es el estadístico de contraste, los grados de libertad, el p-valor correspondiente y cuál sería el valor crítico que definiría las regiones de aceptación y rechazo con un nivel de significación alfa = 0.05. el p valor se contrasta con el valor teorico es con el chi-cuadrado

Bajo la Ho el estadístico de contraste H del test de Kruskal-Wallis se distribuye como una Chi-cuadrado de grados de libertad (I-1) (donde I es el número de grupos que disponemos). Así obtenemos el cuantil buscado:

qchisq(0.05, 3-1, lower.tail = F)
## [1] 5.991465

Valores del estadístico > 5.991465 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 16.9755 es mucho mayor que el valor crítico obtenido. aqui el valor empirico es chi-cuadrado y el teorico 5.991 se rechaza la hipotesis nula

Si transformáramos los datos de la variable respuesta, utilizando logaritmos y después aplicáramos el test de KrusKal-Wallis al logaritmo del número de insectos atrapados, ¿variarían los resultados del test estadístico?

kruskal.test(log(insectos), colores) 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  log(insectos) and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

Los resultados son exactamente los mismos. No se producen variaciones porque el test de Kruskal-Wallis trabaja sobre rangos, es decir, sobre ordenaciones de los valores de la variable en cada uno de los grupos. Aunque realicemos una transformación logarítmica, el orden entre los valores de la variable se mantiene y por lo tanto la transformación no afecta a los resultados del test.

Si hemos detectado diferencias significativas en la variable respuesta para las distintas poblaciones. ¿Sería posible saber cuáles son los grupos que generan estas diferencias?

library(PMCMR)
## PMCMR is superseded by PMCMRplus and will be no longer maintained. You may wish to install PMCMRplus instead.
posthoc.kruskal.nemenyi.test(insectos, colores, method = "Chisq")
## Warning in posthoc.kruskal.nemenyi.test.default(insectos, colores, method =
## "Chisq"): Ties are present, p-values are not corrected.
## 
##  Pairwise comparisons using Tukey and Kramer (Nemenyi) test  
##                    with Tukey-Dist approximation for independent samples 
## 
## data:  insectos and colores 
## 
##        amarillo azul   blanco
## azul   0.0022   -      -     
## blanco 0.0039   0.9985 -     
## verde  0.4068   0.1878 0.2559
## 
## P value adjustment method: none

Ejercicios

Relaciones sexuales entre universitarios

El departamento de Psicología de una Universidad de Castilla-La Mancha ha realizado un estudio sobre hábitos, preferencias y satisfacción sexual en estudiantes universitarios. Hemos utilizado los datos que recogieron en sus encuestas y queremos conocer si existen diferencias entre la frecuencia mensual de relaciones sexuales de estudiantes universitarios pertenecientes a tres titulaciones universitarias diferentes:

T1: 11 14 7 15 11 13 11 16 10 15 18 12 9 9 10 10 15 10 14 10 10 12 14 12 15 7 13 6 10 15 20 10 13 10 6 14 8 10 8 11

T2: 13 10 12 7 5 10 10 16 9 7 7 2 6 9 9 8 8 10 3 6 5 2 9 3 4 5 10 8 5 9 10 8 13 10 0 2 1 1 0 4

T3: 6 7 3 5 9 6 1 6 0 2 5 6 11 6 7 0 5 7 5 4 7 4 2 8 9 6 1 4 7 7 8 9 7 5 1 6 9 4 7 6

Contesta las siguientes preguntas:

freq <- c(11,14,7,15,11,13,11,16,10,15,18,12,9,9,10,10,15,10,14,10,10,12,14,12,15,7,13,6,10,15,20,10,13,10,6,14,8,10,8,11,13,10,12,7,5,10,10,16,9,7,7,2,6,9,9,8,8,10,3,6,5,2,9,3,4,5,10,8,5,9,10,8,13,10,0,2,1,1,0,4,6,7,3,5,9,6,1,6,0,2,5,6,11,6,7,0,5,7,5,4,7,4,2,8,9,6,1,4,7,7,8,9,7,5,1,6,9,4,7,6)

 titulaciones <- as.factor(c(rep(c("T1", "T2", "T3"), each =40)))
boxplot(freq ~ titulaciones,col = c("yellow", "blue","green"), ylab = "Frecuencia mensual de relaciones sexuales") 

tapply(freq, titulaciones, mean) 
##    T1    T2    T3 
## 11.60  6.90  5.45
anov = aov( lm(freq ~ titulaciones) )
summary(anov)
##               Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## titulaciones   2  826.9   413.4   38.98 1.07e-13 ***
## Residuals    117 1241.1    10.6                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
anov
## Call:
##    aov(formula = lm(freq ~ titulaciones))
## 
## Terms:
##                 titulaciones Residuals
## Sum of Squares      826.8667 1241.1000
## Deg. of Freedom            2       117
## 
## Residual standard error: 3.256945
## Estimated effects may be unbalanced

Ho: Las medias son iguales H1: Las medias son difeentes

F value = 38.98 gl factor = 2 gl residuals = 117 Pr(>F) = 1.07e-13

Bajo la Ho el estadÃ?stico de contraste F se distribuye como una F de grados de libertad (I-1), (n-I) donde I es el número de grupos que disponemos y n el tamaño total de la muestral. Asi obtenemos el cuantil buscado:

qf(0.05, 2-1, 80-2, lower.tail = F) 
## [1] 3.963472

Valores del estadistico > 4.098172 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 38.98 es mucho mayor que el valor crítico obtenido. Se rechaza la Hipótesis nula.

media <- mean(freq[titulaciones =="T1"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80-2) 
sp <- sqrt(10.6)  
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))
media
## [1] 11.6
media +ee 
## [1] 11.86251
media -ee 
## [1] 11.33749
media <- mean(freq[titulaciones =="T2"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80-2) 
sp <- sqrt(10.6)  
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))
media
## [1] 6.9
media +ee 
## [1] 7.162508
media -ee 
## [1] 6.637492
media <- mean(freq[titulaciones =="T3"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80-2) 
sp <- sqrt(10.6)  
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))
media
## [1] 5.45
media +ee 
## [1] 5.712508
media -ee 
## [1] 5.187492

T1: lim sup 11.86251 lim inf 11.33749 T2: lim sup 7.162508 lim inf 6.637492 T3: lim sup 5.712508 lim inf 5.187492

intervals = TukeyHSD(anov) #Prueba de Turkey  #cercano a 1 estadisticamente iguales
intervals
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = lm(freq ~ titulaciones))
## 
## $titulaciones
##        diff       lwr        upr     p adj
## T2-T1 -4.70 -6.428861 -2.9711395 0.0000000
## T3-T1 -6.15 -7.878861 -4.4211395 0.0000000
## T3-T2 -1.45 -3.178861  0.2788605 0.1189269
plot(intervals)

El cero ‘’0’’ se encuentra dentro de la comparacioon T3 y T2 por tanto son similares.

Independencia

plot(anov$residuals)

### Normalidad

summary(anov$residuals)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -6.900  -1.900   0.400   0.000   2.175   9.100
boxplot(anov$residuals)

hist(anov$residuals)

qqnorm(anov$residuals) 
qqline(anov$residuals)

shapiro.test(anov$residuals) 
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  anov$residuals
## W = 0.98473, p-value = 0.1945

No tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula ### Homocedasticidad

boxplot(anov$residuals~titulaciones, col = c("yellow", "blue", "pink")) 

desviaciones <- tapply(anov$residuals, titulaciones, sd)
max(desviaciones) / min(desviaciones) 
## [1] 1.45217

Si hay homocedasticidad.

bartlett.test(anov$residuals ~ titulaciones)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  anov$residuals by titulaciones
## Bartlett's K-squared = 5.3467, df = 2, p-value = 0.06902
  • Si NO se verificaran estas condiciones, ¿hay alguna prueba no paramétrica para abordar los datos? Pruebalo y comenta los resultados obtenidos.
kruskal.test(freq, titulaciones) 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  freq and titulaciones
## Kruskal-Wallis chi-squared = 51.504, df = 2, p-value = 6.547e-12
library(PMCMR)
posthoc.kruskal.nemenyi.test(freq, titulaciones, method = "Chisq")
## 
##  Pairwise comparisons using Tukey and Kramer (Nemenyi) test  
##                    with Tukey-Dist approximation for independent samples 
## 
## data:  freq and titulaciones 
## 
##    T1      T2  
## T2 1.5e-06 -   
## T3 1.4e-11 0.14
## 
## P value adjustment method: none
qchisq(0.05, 2-1, lower.tail = F)
## [1] 3.841459

51.504 > 3.841 S e rechaza la hipótesis nula.