Idea intuitiva del ANOVA

La técnica de análisis de varianza (ANOVA) también conocida como análisis factorial y desarrollada por Fisher en 1930, constituye la herramienta básica para el estudio del efecto de uno o más factores (cada uno con dos o más niveles) sobre la media de una variable continua.

Es por lo tanto el test estadístico a emplear cuando se desea comparar las medias de dos o más grupos. Esta técnica puede generalizarse también para estudiar los posibles efectos de los factores sobre la varianza de una variable.

La hipótesis nula de la que parten los diferentes tipos de ANOVA es que la media de la variable estudiada es la misma en los diferentes grupos, en contraposición a la hipótesis alternativa de que al menos dos medias difieren de forma significativa.

ANOVA permite comparar múltiples medias, pero lo hace mediante el estudio de las varianzas. En todo el esquema de las cosas, somos realmente tan diferentes?

El funcionamiento básico de un ANOVA consiste en calcular la media de cada uno de los grupos para a continuación comparar la varianza de estas medias (varianza explicada por la variable grupo, intervarianza) frente a la varianza promedio dentro de los grupos (la no explicada por la variable grupo, intravarianza).

Bajo la hipótesis nula de que las observaciones de los distintos grupos proceden todas la misma población (tienen la misma media y varianza), la varianza ponderada entre grupos será la misma que la varianza promedio dentro de los grupos.

Conforme las medias de los grupos estén más alejadas las unas de las otras, la varianza entre medias se incrementará y dejará de ser igual a la varianza promedio dentro de los grupos.

Si las medias de los grupos son diferentes puedo seccionar la base de datos.

Análisis de la Varianza (ANOVA)

Ya que los procedimientos ANOVA de dos muestras permiten comparar las medias de dos poblaciones o las respuestas medias a dos tratamientos de un experimento. Sin embargo, en ocasiones necesitamos comparar más de 2 grupos. El modelo del Análisis de la Varianza (ANOVA), nos permitirá abordar este tipo de situaciones. Lo vemos con un ejemplo:

Estamos interesados en conocer si hay colores más atractivos para los insectos. Para ello se diseñaron trampas con los siguientes colores: amarillo, azul, blanco y verde. Se cuantificó el número de insectos que quedaban atrapados:

Organización de los datos

Generamos dos variables: insectos es la variable respuesta(variable continua) y colores es la variable factor (establece los grupos de interés):

insectos <- c(16,11,20,21,14,7,37,32,15,25,39,41,21,12,14,17,13,17,45,59,48,46,38,47)
colores <- as.factor(c(rep(c("azul", "verde", "blanco", "amarillo"), each =6)))
#variable factor utilizo rep cada 6

Exploramos los datos de la muestra:

#varias variables
boxplot(insectos ~ colores, col = c("yellow", "blue", "white","green"), ylab = "Número de insectos atrapados")

tapply(insectos, colores, mean)#aplique la media a insectos 
## amarillo     azul   blanco    verde 
## 47.16667 14.83333 15.66667 31.50000

ANOVA y pruebas post-hoc

Esta es la forma de pedir un ANOVA en R:

fm = aov( lm(insectos ~ colores) )
#modelo lineal con var tipo cont y tipo factor asi genera un analisis anova
#si aplicamos continua en funion de continua no sigue la misma idea

Pedimos un resumen de la tabla del ANOVA

summary(fm)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## colores      3   4218    1406   30.55 1.15e-07 ***
## Residuals   20    921      46                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Uno dos o tres asteriscos es la variable estadisticamente significativa, en este caso colores , lo que significa que no son las mismas.

Elementos generados en el ANOVA:

names(fm)
##  [1] "coefficients"  "residuals"     "effects"       "rank"         
##  [5] "fitted.values" "assign"        "qr"            "df.residual"  
##  [9] "contrasts"     "xlevels"       "call"          "terms"        
## [13] "model"

Identifica en la tabla ANOVA los grados de libertad del factor, los grados de libertad residuales, la suma de cuadrados de los grupos, la suma de cuadrados del error, las medias correspondientes de las sumas de cuadrados de los grupos y del error, el valor del estadístico F. Describe cómo obtenemos cada uno de ellos.

¿Cuál es el valor crítico de F bajo la hipótesis nula con un nivel de significación alfa = 0.05? (Este valor nos delimitará la región de aceptación y rechazo)

Bajo la Ho el estadístico de contraste F se distribuye como una F de grados de libertad (I-1), (n-I) donde I es el número de grupos que disponemos y n el tamaño total de la muestral. Así obtenemos el cuantil buscado:

qf(0.05, 3-1, 18-3, lower.tail = F)#cola inferior, sigue una distribusion x^2
## [1] 3.68232

Valores del estadístico > 3.68232(valor teórico) estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 30.55 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.

¿Qué valor de la tabla ANOVA nos proporciona la varianza muestral común (pooled variance en inglés)? ¿Para qué es útil?

La raíz cuadrada de la media de los cuadrados del error, además de proporcionarnos una estimación de la varianza muestral de todos los datos, se utiliza en la obtención de los intervalos de confianza de las medias en cada uno de los grupos de interés. Con este modelo se puede realizar predicciones, de acuerdo a la información en el intervalo de confianza.

Por ejemplo, este sería el intervalo de confianza de la media de los insectos capturados para las trampas amarillas, con un nivel de confianza del 95%:

media <- mean(insectos[colores =="amarillo"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 18 - 3) 
sp <- sqrt(46)  #desviación típica de la varianza muestral común
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(6))  #error de estimación 
#n de cada grupo en 6
media
## [1] 47.16667

límite superior del intervalo de confianza de la media de insectos capturados para las trampas amarillas

media + ee 
## [1] 48.57826

límite inferior del intervalo de confianza de la media de insectos capturados para las trampas amarillas

media - ee 
## [1] 45.75507

Si hemos detectado diferencias significativas entre las medias de las poblaciones. ¿Sería posible saber cuáles son los grupos que generan estas diferencias?

intervals = TukeyHSD(fm)
intervals
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = lm(insectos ~ colores))
## 
## $colores
##                        diff        lwr       upr     p adj
## azul-amarillo   -32.3333333 -43.296330 -21.37034 0.0000004
## blanco-amarillo -31.5000000 -42.462996 -20.53700 0.0000006
## verde-amarillo  -15.6666667 -26.629663  -4.70367 0.0036170
## blanco-azul       0.8333333 -10.129663  11.79633 0.9964823
## verde-azul       16.6666667   5.703670  27.62966 0.0020222
## verde-blanco     15.8333333   4.870337  26.79633 0.0032835

Si los valores son cercanos a 1 son iguales y si se acercana 0 sucede lo contrario.

plot(intervals)

Explica las diferencias existentes por parejas de trampas según el color. ¿Algunas de estas diferencias son significativas? Si el objetivo es atrapar un mayor número de insectos, ¿con qué tipo de trampas te quedarías?

Validación del modelo ANOVA

A partir de los residuos del modelo comprobaremos si el modelo ANOVA es adecuado. Los supuestos que se deben cumplir son tres: independencia, homocedasticidad y normalidad. ´Los residuos no deben estar correlacionados, si estan correlacionados no son estadísticamente creibles. ### Independencia

plot(fm$residuals)#la grafica mientras m dipersa mejor

Normalidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

summary(fm$residuals)
##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
## -16.5000  -2.9167   0.1667   0.0000   5.2083  11.8333
boxplot(fm$residuals)

hist(fm$residuals)

qqnorm(fm$residuals) 
qqline(fm$residuals)

Buen indicador de que los datos son normales.

El test de Shapiro-Wilk indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (normalidad de los residuos)

shapiro.test(fm$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  fm$residuals
## W = 0.97337, p-value = 0.75

Si el P_valor es mayor a 0.5 podemos afirmar que son normales.

Homocedasticidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

boxplot(fm$residuals~colores, col = c("yellow", "blue", "white","green"))

Nos fijamos en el ancho de cada caja. La varianza de los grupos se la obtiene a través de los residuos.

desviaciones <- tapply(fm$residuals, colores, sd)

Comparando la desviación máxima con la mínima obtenemos una orientación sobre la falta de homocedasticidad (>2 aproximadamente)

max(desviaciones) / min(desviaciones)    
## [1] 2.980357

El test de Bartlett indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (las varianzas son iguales)

bartlett.test(fm$residuals ~ colores)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  fm$residuals by colores
## Bartlett's K-squared = 5.2628, df = 3, p-value = 0.1535

Kruskal-Wallis y pruebas post-hoc

¿Qué hipótesis contrasta el test ANOVA?

Ho: las medias son iguales en todas las poblaciones

Ha: hay alguna media distinta

¿Qué hipótesis contrasta la prueba de Kruskal-Wallis?

Ho: la variable respuesta es la misma en todas las poblaciones valoradas

Ha: la variable respuesta es mayor en alguna de las poblaciones

Cuando no se cumplen las hipótesis exigidas por el modelo ANOVA, es posible utilizar la prueba no paramétrica Kruskal-Wallis: ¿hay diferencias significativas entre las poblaciones?

kruskal.test(insectos, colores)
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  insectos and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

Indica cuál es el estadístico de contraste, los grados de libertad, el p-valor correspondiente y cuál sería el valor crítico que definiría las regiones de aceptación y rechazo con un nivel de significación alfa = 0.05.

Bajo la Ho el estadístico de contraste H del test de Kruskal-Wallis se distribuye como una Chi-cuadrado de grados de libertad (I-1) (donde I es el número de grupos que disponemos). Así obtenemos el cuantil buscado:

qchisq(0.05, 3-1, lower.tail = F)#VALOR TEORICO
## [1] 5.991465

Valores del estadístico > 5.991465 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 16.9755 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.

Si transformáramos los datos de la variable respuesta, utilizando logaritmos y después aplicáramos el test de KrusKal-Wallis al logaritmo del número de insectos atrapados, ¿variarían los resultados del test estadístico?

kruskal.test(log(insectos), colores) 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  log(insectos) and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

Los resultados son exactamente los mismos. No se producen variaciones porque el test de Kruskal-Wallis trabaja sobre rangos, es decir, sobre ordenaciones de los valores de la variable en cada uno de los grupos. Aunque realicemos una transformación logarítmica, el orden entre los valores de la variable se mantiene y por lo tanto la transformación no afecta a los resultados del test.

Si hemos detectado diferencias significativas en la variable respuesta para las distintas poblaciones. ¿Sería posible saber cuáles son los grupos que generan estas diferencias?

library(PMCMR)
## PMCMR is superseded by PMCMRplus and will be no longer maintained. You may wish to install PMCMRplus instead.
posthoc.kruskal.nemenyi.test(insectos, colores, method = "Chisq")
## Warning in posthoc.kruskal.nemenyi.test.default(insectos, colores, method =
## "Chisq"): Ties are present, p-values are not corrected.
## 
##  Pairwise comparisons using Tukey and Kramer (Nemenyi) test  
##                    with Tukey-Dist approximation for independent samples 
## 
## data:  insectos and colores 
## 
##        amarillo azul   blanco
## azul   0.0022   -      -     
## blanco 0.0039   0.9985 -     
## verde  0.4068   0.1878 0.2559
## 
## P value adjustment method: none

Ejercicios

Relaciones sexuales entre universitarios

El departamento de Psicología de una Universidad de Castilla-La Mancha ha realizado un estudio sobre hábitos, preferencias y satisfacción sexual en estudiantes universitarios. Hemos utilizado los datos que recogieron en sus encuestas y queremos conocer si existen diferencias entre la frecuencia mensual de relaciones sexuales de estudiantes universitarios pertenecientes a tres titulaciones universitarias diferentes:

T1: 11 14 7 15 11 13 11 16 10 15 18 12 9 9 10 10 15 10 14 10 10 12 14 12 15 7 13 6 10 15 20 10 13 10 6 14 8 10 8 11

T2: 13 10 12 7 5 10 10 16 9 7 7 2 6 9 9 8 8 10 3 6 5 2 9 3 4 5 10 8 5 9 10 8 13 10 0 2 1 1 0 4

T3: 6 7 3 5 9 6 1 6 0 2 5 6 11 6 7 0 5 7 5 4 7 4 2 8 9 6 1 4 7 7 8 9 7 5 1 6 9 4 7 6

Contesta las siguientes preguntas:

estudiantes <- c(11, 14, 7, 15, 11, 13, 11, 16, 10, 15, 18, 12, 9, 9, 10, 10, 15, 10, 14, 10, 10, 12, 14, 12, 15, 7, 13, 6, 10, 15, 20, 10, 13, 10, 6, 14, 8, 10, 8, 11, 13, 10, 12, 7, 5, 10, 10, 16, 9, 7, 7, 2, 6, 9, 9, 8, 8, 10, 3, 6, 5, 2, 9, 3, 4, 5, 10, 8, 5, 9, 10, 8, 13, 10, 0, 2, 1, 1, 0, 4, 6, 7, 3, 5, 9, 6, 1, 6, 0, 2, 5, 6, 11, 6, 7, 0, 5, 7, 5, 4, 7, 4, 2, 8, 9, 6, 1, 4, 7, 7, 8, 9, 7, 5, 1, 6, 9, 4, 7, 6)
titulacion <- as.factor(c(rep(c("T1", "T2", "T3"), each =40)))
#varias variables
boxplot(estudiantes ~ titulacion , col = c("green","skyblue","magenta"), ylab = "frecuencias de actividad sexual")

tapply(estudiantes,titulacion, mean)
##    T1    T2    T3 
## 11.60  6.90  5.45
es = aov( lm(estudiantes ~ titulacion) )
#modelo lineal con var tipo cont y tipo factor asi genera un analisis anova

Tenemos que las variables nula y alternativa son:

Ho:la variable frecuencia es la misma en todas las pobraciones Ha:la variable frecuencia es mayor en alguna de las poblaciones.

summary(es)
##              Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## titulacion    2  826.9   413.4   38.98 1.07e-13 ***
## Residuals   117 1241.1    10.6                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
kruskal.test(estudiantes, titulacion)
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  estudiantes and titulacion
## Kruskal-Wallis chi-squared = 51.504, df = 2, p-value = 6.547e-12

El valor de contraste F es 38.98 Los grados de libertad del factor es 2 y la de los residuales es de 117 El valor p 6.547e-12 La variable titulación es estadisticamente significativa,lo que significa que no son los mismos.

qf(0.05, 2-1, 120-2, lower.tail = F)#cola inferior, sigue una distribusion x^2
## [1] 3.921478

Valores del estadístico > 4.098172(valor teórico) estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 38.98 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.Se rechaza la hipotesis nula.

La varianza comun de los datos es 10.6

boxplot(es$residuals~titulacion, col = c("yellow", "blue", "green"))

Notamos que la variable titulacion es estadisticamente significativa puesto que Pr(>F) es de 1.07e-13.Por tanto observamos que los grupos son estadisticamente diferentes y asi su dispersión es diferente.

Intervalo de confianza para T1

media1 <- mean(estudiantes[titulacion =="T1"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 120 - 2) 
sp <- sqrt( 10.6 )  #desviación típica de la varianza muestral común
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(3))  #error de estimación 
#n de cada grupo en 6
media1
## [1] 11.6

ímite superior del intervalo de confianza de la media de iestudiantes en T1.

media1 + ee 
## [1] 12.55856

límite inferior del intervalo de confianza de la media de de iestudiantes en T1.

media1 - ee 
## [1] 10.64144

Intervalo de confianza para T2

media2 <- mean(estudiantes[titulacion =="T2"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 120 - 2) 
sp <- sqrt( 10.6 )  #desviación típica de la varianza muestral común
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(3))  #error de estimación 
#n de cada grupo en 6
media2
## [1] 6.9

ímite superior del intervalo de confianza de la media de estudiantes en T2.

media2 + ee 
## [1] 7.858564

límite inferior del intervalo de confianza de la media de estudiantes en T2.

media2 - ee 
## [1] 5.941436

Intervalo de confianza para T3

media3 <- mean(estudiantes[titulacion =="T3"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 120 - 2) 
sp <- sqrt( 10.6 )  #desviación típica de la varianza muestral común
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(3))  #error de estimación 
#n de cada grupo en 6
media3
## [1] 5.45

ímite superior del intervalo de confianza de la media de estudiantes en T3.

media3 + ee 
## [1] 6.408564

límite inferior del intervalo de confianza de la media de estudiantes en T3.

media3 - ee 
## [1] 4.491436
intervalos = TukeyHSD(es)
intervalos
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = lm(estudiantes ~ titulacion))
## 
## $titulacion
##        diff       lwr        upr     p adj
## T2-T1 -4.70 -6.428861 -2.9711395 0.0000000
## T3-T1 -6.15 -7.878861 -4.4211395 0.0000000
## T3-T2 -1.45 -3.178861  0.2788605 0.1189269

Si los valores son cercanos a 1 son iguales y si se acercan a 0 sucede lo contrario.Y en este ejemplo los valores son cercanos a 0.

plot(intervalos)

plot(es$residuals)

Como existe una gran dispersidad de datos notamos que existe menos correlacion entre los grupos.

Normalidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

summary(es$residuals)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -6.900  -1.900   0.400   0.000   2.175   9.100
boxplot(es$residuals)

hist(es$residuals)

qqnorm(es$residuals) 
qqline(es$residuals)

El test de Shapiro-Wilk indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula.

shapiro.test(es$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  es$residuals
## W = 0.98473, p-value = 0.1945

Homocedasticidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

boxplot(es$residuals~titulacion, col = c("skyblue", "purple", "grey"))

Observamos que la desviación de los residuos no es la misma.

desviaciones1 <- tapply(es$residual, titulacion, sd)

Comparando la desviación máxima con la mínima obtenemos una orientación sobre la falta de homocedasticidad (>2 aproximadamente)

max(desviaciones1) / min(desviaciones1)    
## [1] 1.45217

El test de Bartlett indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (las varianzas son iguales)

bartlett.test(es$residuals ~ titulacion)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  es$residuals by titulacion
## Bartlett's K-squared = 5.3467, df = 2, p-value = 0.06902

Cuando no se cumplen las hipótesis exigidas por el modelo ANOVA, es posible utilizar la prueba no paramétrica Kruskal-Wallis:

kruskal.test(log(estudiantes), titulacion) 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  log(estudiantes) and titulacion
## Kruskal-Wallis chi-squared = 51.504, df = 2, p-value = 6.547e-12

Bajo la Ho el estadístico de contraste H del test de Kruskal-Wallis se distribuye como una Chi-cuadrado de grados de libertad (I-1) (donde I es el número de grupos que disponemos). Así obtenemos el cuantil buscado:

qchisq(0.05, 2-1, lower.tail = F)
## [1] 3.841459

chi-squared = 51.504>3.841459 por tanto se rechaza Ho y se acepta H1

Si transformáramos los datos de la variable respuesta, utilizando logaritmos y después aplicáramos el test de KrusKal-Wallis al logaritmo de la frecuencia mensual de relaciones sexuales de estudiantes universitarios.

kruskal.test(log(insectos), colores)
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  log(insectos) and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

No se producen variaciones porque el test de Kruskal-Wallis trabaja sobre rangos, es decir, sobre ordenaciones de los valores de la variable en cada uno de los grupos. Aunque realicemos una transformación logarítmica, el orden entre los valores de la variable se mantiene y por lo tanto la transformación no afecta a los resultados del test.

Observemos qué grupos generan diferencias.

posthoc.kruskal.nemenyi.test(estudiantes, titulacion , method = "Chisq")
## 
##  Pairwise comparisons using Tukey and Kramer (Nemenyi) test  
##                    with Tukey-Dist approximation for independent samples 
## 
## data:  estudiantes and titulacion 
## 
##    T1      T2  
## T2 1.5e-06 -   
## T3 1.4e-11 0.14
## 
## P value adjustment method: none

¿Hay diferencias de salario en función del lugar de trabajo?

Nos gustaría saber si el salario varía en alguna de las 3 provincias del Ecuador. Para ello, se realizó un estudio con 50 personas por provincia a las que se preguntó su salario en euros por semana.

Quito: 299 313 300 321 308 312 300 310 281 308 309 300 303 303 311 308 291 298 276 290 310 308 295 310 286 295 289 293 291 297 297 287 297 302 298 301 313 290 306 313 294 308 295 303 316 299 313 296 290 299

Cuenca: 252 248 232 229 256 233 240 237 248 232 230 246 236 250 238 243 245 241 235 249 238 231 230 239 261 243 242 245 249 258 245 236 244 242 229 246 244 244 255 247 236 252 237 259 248 237 236 252 236 239

Guayaquil: 272 268 285 274 278 287 297 275 269 281 270 284 282 281 280 286 265 283 281 272 269 286 268 288 284 282 304 280 283 281 281 286 287 288 278 272 268 287 269 272 270 271 291 265 280 280 275 294 269 277

Contesta las siguientes preguntas: