Idea intuitiva del ANOVA

La técnica de análisis de varianza (ANOVA) también conocida como análisis factorial y desarrollada por Fisher en 1930, constituye la herramienta básica para el estudio del efecto de uno o más factores (cada uno con dos o más niveles) sobre la media de una variable continua.

Es por lo tanto el test estadístico a emplear cuando se desea comparar las medias de dos o más grupos. Esta técnica puede generalizarse también para estudiar los posibles efectos de los factores sobre la varianza de una variable.

La hipótesis nula de la que parten los diferentes tipos de ANOVA es que la media de la variable estudiada es la misma en los diferentes grupos, en contraposición a la hipótesis alternativa de que al menos dos medias difieren de forma significativa.

ANOVA permite comparar múltiples medias, pero lo hace mediante el estudio de las varianzas. En todo el esquema de las cosas, somos realmente tan diferentes?

El funcionamiento básico de un ANOVA consiste en calcular la media de cada uno de los grupos para a continuación comparar la varianza de estas medias (varianza explicada por la variable grupo, intervarianza) frente a la varianza promedio dentro de los grupos (la no explicada por la variable grupo, intravarianza).

Bajo la hipótesis nula de que las observaciones de los distintos grupos proceden todas la misma población (tienen la misma media y varianza), la varianza ponderada entre grupos será la misma que la varianza promedio dentro de los grupos.

Conforme las medias de los grupos estén más alejadas las unas de las otras, la varianza entre medias se incrementará y dejará de ser igual a la varianza promedio dentro de los grupos.

Análisis de la Varianza (ANOVA)

Ya que los procedimientos ANOVA de dos muestras permiten comparar las medias de dos poblaciones o las respuestas medias a dos tratamientos de un experimento. Sin embargo, en ocasiones necesitamos comparar más de 2 grupos. El modelo del Análisis de la Varianza (ANOVA), nos permitirá abordar este tipo de situaciones. Lo vemos con un ejemplo:

Estamos interesados en conocer si hay colores más atractivos para los insectos. Para ello se diseñaron trampas con los siguientes colores: amarillo, azul, blanco y verde. Se cuantificó el número de insectos que quedaban atrapados:

Organización de los datos

Generamos dos variables: insectos es la variable respuesta y colores es la variable factor (establece los grupos de interés):

insectos <- c(16,11,20,21,14,7,37,32,15,25,39,41,21,12,14,17,13,17,45,59,48,46,38,47)
colores <- as.factor(c(rep(c("azul", "verde", "blanco", "amarillo"), each =6)))

Exploramos los datos de la muestra:

boxplot(insectos ~ colores, col = c("yellow", "blue", "white","green"), ylab = "Número de insectos atrapados")

#amarillo dos datos atípicos, sin varianza #azul # en verde mayor varianza

tapply(insectos, colores, mean) 
## amarillo     azul   blanco    verde 
## 47.16667 14.83333 15.66667 31.50000
# aplicar la formula mean a los vectores insectos y col

ANOVA y pruebas post-hoc

Esta es la forma de pedir un ANOVA en R:

fm = aov( lm(insectos ~ colores) )
#guardado como objeto fm
#continua~categorica para realizar anova

Pedimos un resumen de la tabla del ANOVA

summary(fm)
##             Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## colores      3   4218    1406   30.55 1.15e-07 ***
## Residuals   20    921      46                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

****: Sí es significativo si colores fueran iguales pr(>F)=1*

Elementos generados en el ANOVA: (son 13)

names(fm)
##  [1] "coefficients"  "residuals"     "effects"       "rank"         
##  [5] "fitted.values" "assign"        "qr"            "df.residual"  
##  [9] "contrasts"     "xlevels"       "call"          "terms"        
## [13] "model"

Identifica en la tabla ANOVA los grados de libertad del factor, los grados de libertad residuales, la suma de cuadrados de los grupos, la suma de cuadrados del error, las medias correspondientes de las sumas de cuadrados de los grupos y del error, el valor del estadístico F. Describe cómo obtenemos cada uno de ellos.

¿Cuál es el valor crítico de F bajo la hipótesis nula con un nivel de significación alfa = 0.05? (Este valor nos delimitará la región de aceptación y rechazo)

Bajo la Ho el estadístico de contraste F se distribuye como una F de grados de libertad (I-1), (n-I) donde I es el número de grupos que disponemos y n el tamaño total de la muestral. Así obtenemos el cuantil buscado:

qf(0.05, 3-1, 18-3, lower.tail = F)
## [1] 3.68232
#test pophop?? qf(significancia, I-1,n-1, cola)

Valores del estadístico > 3.68232 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 30.55 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.

¿Qué valor de la tabla ANOVA nos proporciona la varianza muestral común (pooled variance en inglés)? ¿Para qué es útil?

La raíz cuadrada de la media de los cuadrados del error, además de proporcionarnos una estimación de la varianza muestral de todos los datos, se utiliza en la obtención de los intervalos de confianza de las medias en cada uno de los grupos de interés.

Por ejemplo, este sería el intervalo de confianza de la media de los insectos capturados para las trampas amarillas, con un nivel de confianza del 95%:

media <- mean(insectos[colores =="amarillo"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 18 - 3) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(46)  #desviación típica de la varianza muestral común
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(6))  #error de estimación
#N=18;namarillo=6
media
## [1] 47.16667

límite superior del intervalo de confianza de la media de insectos capturados para las trampas amarillas

media + ee 
## [1] 48.57826

límite inferior del intervalo de confianza de la media de insectos capturados para las trampas amarillas

media - ee 
## [1] 45.75507

Si hemos detectado diferencias significativas entre las medias de las poblaciones. ¿Sería posible saber cuáles son los grupos que generan estas diferencias?

intervals = TukeyHSD(fm) #ayuda a ver entre cuales hay mas diferencia
intervals
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = lm(insectos ~ colores))
## 
## $colores
##                        diff        lwr       upr     p adj
## azul-amarillo   -32.3333333 -43.296330 -21.37034 0.0000004
## blanco-amarillo -31.5000000 -42.462996 -20.53700 0.0000006
## verde-amarillo  -15.6666667 -26.629663  -4.70367 0.0036170
## blanco-azul       0.8333333 -10.129663  11.79633 0.9964823
## verde-azul       16.6666667   5.703670  27.62966 0.0020222
## verde-blanco     15.8333333   4.870337  26.79633 0.0032835

si val padj->cercanos a 0 son dif; cercanos a 1 más parecidos coincide con la gráfica

plot(intervals)

los que contienen al cero: entonces son estadísticamente iguales coincide con lo anterior

Explica las diferencias existentes por parejas de trampas según el color. ¿Algunas de estas diferencias son significativas? Si el objetivo es atrapar un mayor número de insectos, ¿con qué tipo de trampas te quedarías?

Validación del modelo ANOVA

A partir de los residuos del modelo comprobaremos si el modelo ANOVA es adecuado. Los supuestos que se deben cumplir son tres: independencia, homocedasticidad y normalidad.

Independencia

plot(fm$residuals)

#más dispersa:mejor¡ existe menos correlación

Normalidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

summary(fm$residuals)
##     Min.  1st Qu.   Median     Mean  3rd Qu.     Max. 
## -16.5000  -2.9167   0.1667   0.0000   5.2083  11.8333
boxplot(fm$residuals)

hist(fm$residuals)#ver si se aproxima curva de gauss

qqnorm(fm$residuals) 
qqline(fm$residuals)

#si sigue linea recta: bien..

El test de Shapiro-Wilk indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (normalidad de los residuos)

shapiro.test(fm$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  fm$residuals
## W = 0.97337, p-value = 0.75
#pval>0.05 ... son normales

Homocedasticidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

boxplot(fm$residuals~colores, col = c("yellow", "blue", "white","green"))

nos fijamos en el ancho de la caja: la varianza se ontiene a través d elos residuos

desviaciones <- tapply(fm$residuals, colores, sd)
#aplica sd a residuos~colores

Comparando la desviación máxima con la mínima obtenemos una orientación sobre la falta de homocedasticidad (>2 aproximadamente)

max(desviaciones) / min(desviaciones)    
## [1] 2.980357

ans=2.98>2 entonces no hay homocesdasticidad; la var es diferente El test de Bartlett indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (las varianzas son iguales)

bartlett.test(fm$residuals ~ colores)
## 
##  Bartlett test of homogeneity of variances
## 
## data:  fm$residuals by colores
## Bartlett's K-squared = 5.2628, df = 3, p-value = 0.1535

var son diferentes porque p_vaule=0.15>0.05; NO HAY HOMOCEDASTICIDAD

Kruskal-Wallis y pruebas post-hoc

¿Qué hipótesis contrasta el test ANOVA?

Ho: las medias son iguales en todas las poblaciones

Ha: hay alguna media distinta

¿Qué hipótesis contrasta la prueba de Kruskal-Wallis?

Ho: la variable respuesta es la misma en todas las poblaciones valoradas

Ha: la variable respuesta es mayor en alguna de las poblaciones

Cuando no se cumplen las hipótesis exigidas por el modelo ANOVA, es posible utilizar la prueba no paramétrica Kruskal-Wallis: ¿hay diferencias significativas entre las poblaciones?

kruskal.test(insectos, colores)
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  insectos and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

p-value y chi-squared son los calculados, comparamos con teóricos

Indica cuál es el estadístico de contraste, los grados de libertad, el p-valor correspondiente y cuál sería el valor crítico que definiría las regiones de aceptación y rechazo con un nivel de significación alfa = 0.05.

Bajo la Ho el estadístico de contraste H del test de Kruskal-Wallis se distribuye como una Chi-cuadrado de grados de libertad (I-1) (donde I es el número de grupos que disponemos). Así obtenemos el cuantil buscado:

qchisq(0.05, 3-1, lower.tail = F)
## [1] 5.991465

chi-squared = 16.975>5.999(val teórico); rechazo Ho y acepto H1

Valores del estadístico > 5.991465 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 16.9755 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.

Si transformáramos los datos de la variable respuesta, utilizando logaritmos y después aplicáramos el test de KrusKal-Wallis al logaritmo del número de insectos atrapados, ¿variarían los resultados del test estadístico?

kruskal.test(log(insectos), colores) 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  log(insectos) and colores
## Kruskal-Wallis chi-squared = 16.975, df = 3, p-value = 0.000715

nos da el mismo chi-squared = 16.975 anteior calculado

Los resultados son exactamente los mismos. No se producen variaciones porque el test de Kruskal-Wallis trabaja sobre rangos, es decir, sobre ordenaciones de los valores de la variable en cada uno de los grupos. Aunque realicemos una transformación logarítmica, el orden entre los valores de la variable se mantiene y por lo tanto la transformación no afecta a los resultados del test.

Si hemos detectado diferencias significativas en la variable respuesta para las distintas poblaciones. ¿Sería posible saber cuáles son los grupos que generan estas diferencias?

library(PMCMR)
## PMCMR is superseded by PMCMRplus and will be no longer maintained. You may wish to install PMCMRplus instead.
posthoc.kruskal.nemenyi.test(insectos, colores, method = "Chisq")
## Warning in posthoc.kruskal.nemenyi.test.default(insectos, colores, method =
## "Chisq"): Ties are present, p-values are not corrected.
## 
##  Pairwise comparisons using Tukey and Kramer (Nemenyi) test  
##                    with Tukey-Dist approximation for independent samples 
## 
## data:  insectos and colores 
## 
##        amarillo azul   blanco
## azul   0.0022   -      -     
## blanco 0.0039   0.9985 -     
## verde  0.4068   0.1878 0.2559
## 
## P value adjustment method: none
#posthoc.kruskal.nemenyi.test(...); hace todo el análisis anteriores, nos da las conclusiones, sirve para comprobar

funcion nos da una tabla de comparación 2 a 2 ayuda a saber si son iguales con -; entonces le consideramos como 1 solo, las varianzas y medias son similares

Ejercicios

Relaciones sexuales entre universitarios

El departamento de Psicología de una Universidad de Castilla-La Mancha ha realizado un estudio sobre hábitos, preferencias y satisfacción sexual en estudiantes universitarios. Hemos utilizado los datos que recogieron en sus encuestas y queremos conocer si existen diferencias entre la frecuencia mensual de relaciones sexuales de estudiantes universitarios pertenecientes a tres titulaciones universitarias diferentes:

T1: 11 14 7 15 11 13 11 16 10 15 18 12 9 9 10 10 15 10 14 10 10 12 14 12 15 7 13 6 10 15 20 10 13 10 6 14 8 10 8 11

T2: 13 10 12 7 5 10 10 16 9 7 7 2 6 9 9 8 8 10 3 6 5 2 9 3 4 5 10 8 5 9 10 8 13 10 0 2 1 1 0 4

T3: 6 7 3 5 9 6 1 6 0 2 5 6 11 6 7 0 5 7 5 4 7 4 2 8 9 6 1 4 7 7 8 9 7 5 1 6 9 4 7 6

Contesta las siguientes preguntas:

frec_sex <- c(11,14,7,15,11,13,11,16,10,15,18,12,9,9,10,10,15,10,14,10,10,12,14,12,15,7,13,6,10,15,20,10,13,10,6,14,8,10,8,11,13,10,12,7,5,10,10,16,9,7,7,2,6,9,9,8,8,10,3,6,5,2,9,3,4,5,10,8,5,9,10,8,13,10,0,2,1,1,0,4,6,7,3,5,9,6,1,6,0,2,5,6,11,6,7,0,5,7,5,4,7,4,2,8,9,6,1,4,7,7,8,9,7,5,1,6,9,4,7,6)
titulacion<- as.factor(c(rep(c("T1", "T2", "T3"), each =40)))
boxplot(frec_sex ~ titulacion, col = c("red", "blue", "white"), ylab = "Frecuencia de actividad sexual")

El grupo T1 tiene la mayor media de frecuencia en actividades sexuales, el blanco T3 posee la menor media, que se encuentra cercana a la delgrupo T2

Ho: uT1=uT2=uT3; medias iguales en los tres grupos H1¬Ho; una de las medias difiere alpha=0.05

univ = aov( lm(frec_sex ~ titulacion) )
univ
## Call:
##    aov(formula = lm(frec_sex ~ titulacion))
## 
## Terms:
##                 titulacion Residuals
## Sum of Squares    826.8667 1241.1000
## Deg. of Freedom          2       117
## 
## Residual standard error: 3.256945
## Estimated effects may be unbalanced
summary(univ)
##              Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## titulacion    2  826.9   413.4   38.98 1.07e-13 ***
## Residuals   117 1241.1    10.6                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

titulación pr(>F)=1.07***: Sí es significativo, por tanto las frecuencias de la actividad sexual entre los grupos NO son iguales

Si Fvalue=38.98 > val teorico rechazo Ho: uT1=uT2=uT3; medias iguales en los tres grupos. Pot lo tanto acepto

(en la anterior tabla Df=2=I-1 (gl), n=tam muestra de los grupos=2=Df)

qf(0.05, 2-1, 80-2, lower.tail = F)
## [1] 3.963472
# qf(significancia, I-1,n-1, cola)

si: Valores del estadístico > 3.963472 estarán incluidos en la región de rechazo. En este ejemplo el valor del estadistico Fvalue=38.98 > val teorico =3.963472,entonces rechazo Ho.Por tanto acepto H1¬Ho; una de las medias difiere

T1

u1 <- mean(frec_sex [titulacion =="T1"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80 - 2) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(10.6)  #desviación típica de la varianza muestral común: mean sq residual
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))  #error de estimación
#n=80, grupos=2
u1
## [1] 11.6

T2

u2 <- mean(frec_sex [titulacion =="T2"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80 - 2) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(10.6)  #desviación típica de la varianza muestral común: mean sq residual
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))  #error de estimación
#n=80, grupos=2
u2
## [1] 6.9

T3

u3 <- mean(frec_sex [titulacion =="T3"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80 - 2) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(10.6)  #desviación típica de la varianza muestral común: mean sq residual
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))  #error de estimación
#n=80, grupos=2
u3
## [1] 5.45
  • Tras evaluar la tabla ANOVA, ¿cuál sería tu conclusión en el contexto del problema?

Ho: uT1=uT2=uT3; medias iguales en los tres grupos H1¬Ho; una de las medias difiere alpha=0.05

univ = aov( lm(frec_sex ~ titulacion) )
univ
## Call:
##    aov(formula = lm(frec_sex ~ titulacion))
## 
## Terms:
##                 titulacion Residuals
## Sum of Squares    826.8667 1241.1000
## Deg. of Freedom          2       117
## 
## Residual standard error: 3.256945
## Estimated effects may be unbalanced

Rechazo Ho.Por tanto acepto H1¬Ho; una de las medias difiere * Determina los intervalos de confianza para las medias de frecuencia sexual en cada uno de las titulaciones descritas.

Intervalo de confianza media para el grupo T1

u1 <- mean(frec_sex [titulacion =="T1"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80 - 2) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(10.6)  #desviación típica de la varianza muestral común: mean sq residual
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))  #error de estimación
#n=80, grupos=2
u1
## [1] 11.6

limite superior del intervalo de confianza de la media de frecuancia de actividades sexuales en T1

u1 + ee 
## [1] 11.86251

límite inferior del intervalo de confianza de la media de frecuancia de actividades sexuales en T1

u1 - ee 
## [1] 11.33749

Intervalo de confianza media para el grupo T2

u2 <- mean(frec_sex [titulacion =="T2"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80 - 2) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(10.6)  #desviación típica de la varianza muestral común: mean sq residual
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))  #error de estimación
#n=80, grupos=2
u2
## [1] 6.9

limite superior del intervalo de confianza de la media de frecuancia de actividades sexuales en T2

u2 + ee 
## [1] 7.162508

límite inferior del intervalo de confianza de la media de frecuancia de actividades sexuales en T2

u2 - ee 
## [1] 6.637492

Intervalo de confianza media para el grupo T3

u3 <- mean(frec_sex [titulacion =="T3"]) 
valor_t <- pt(0.05/2, 80 - 2) #sacar intervalo de confianza, 
sp <- sqrt(10.6)  #desviación típica de la varianza muestral común: mean sq residual
ee  <- valor_t * (sp/ sqrt(40))  #error de estimación
#n=80, grupos=2
u3
## [1] 5.45

limite superior del intervalo de confianza de la media de frecuancia de actividades sexuales en T3

u3 + ee 
## [1] 5.712508

límite inferior del intervalo de confianza de la media de frecuancia de actividades sexuales en T3

u3 - ee 
## [1] 5.187492
  • Si se han obtenido diferencias significativas entre los grupos, determina dónde se muestran esas diferencias utilizando el test HSD de Tukey. Representa gráficamente las diferencias encontradas e intrepreta los resultados obtenidos.
intervalos = TukeyHSD(univ) #ayuda a ver entre cuales hay mas diferencia
intervalos
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = lm(frec_sex ~ titulacion))
## 
## $titulacion
##        diff       lwr        upr     p adj
## T2-T1 -4.70 -6.428861 -2.9711395 0.0000000
## T3-T1 -6.15 -7.878861 -4.4211395 0.0000000
## T3-T2 -1.45 -3.178861  0.2788605 0.1189269

si p adj>0.05 las medias son parecidas En las combinacionesT2-T1 y T3-T1 el p adj es cercano a 0 no supera el 0.05; por lo tanto podemos decir que la frecuancia de actividad sexual en cada titulación son diferentes, en cambio en t3-T2 donde p adj=0.11>0.05, las medias son parecidas

plot(intervalos)

la combinacion que contiene el 0 es t3-t2 por lo tanto las medias son similares

  • A partir de los residuos obtenidos y mediante procedimientos gráficos, confirma la validez del modelo comprobando el cumplimiento de las 3 condiciones asumidas al hacer el ANOVA. ¿Crees que el modelo ANOVA utilizado es válido para estos datos? ### Independencia
plot(univ$residuals)

#más dispersa:mejor¡ existe menos correlación

Sí es dispersa

Normalidad

Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

summary(univ$residuals)
##    Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
##  -6.900  -1.900   0.400   0.000   2.175   9.100
boxplot(univ$residuals)

hist(univ$residuals)#ver si se aproxima curva de gauss

qqnorm(univ$residuals) 
qqline(univ$residuals)

#si sigue linea recta: bien..

El test de Shapiro-Wilk indica que no tenemos evidencia suficiente para rechazar la hipótesis nula (normalidad de los residuos)

shapiro.test(univ$residuals)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  univ$residuals
## W = 0.98473, p-value = 0.1945
#pval>0.05 ... son normales

p-value = 0.1945>0.05 ; cumple normalidad ### Homocedasticidad Los gráficos y descriptivos nos informan si se verifica la igualdad de varianzas en los grupos descritos:

boxplot(univ$residuals~titulacion, col = c("red", "blue", "white"))

nos fijamos en el ancho de la caja: la varianza se ontiene a través d elos residuos

desviaciones <- tapply(univ$residuals, titulacion, sd)

Comparando la desviación máxima con la mínima obtenemos una orientación sobre la falta de homocedasticidad (>2 aproximadamente)

max(desviaciones) / min(desviaciones)    
## [1] 1.45217

ans= 1.45217>2 (F) entonces hay homocesdasticidad; la var NO es diferente

  • Si NO se verificaran estas condiciones, ¿hay alguna prueba no paramétrica para abordar los datos? Pruébalo y comenta los resultados obtenidos.
kruskal.test(frec_sex, titulacion)
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  frec_sex and titulacion
## Kruskal-Wallis chi-squared = 51.504, df = 2, p-value = 6.547e-12

p-value y chi-squared son los calculados, comparamos con teóricos

qchisq(0.05, 3-1, lower.tail = F)
## [1] 5.991465

chi-squared = 51.504>5.9914(val teórico); rechazo Ho y acepto H1

Valores del estadístico > 5.991465 estarán incluidos en la región de rechazo. En nuetro caso 16.9755 es mucho mayor que el valor crítico obtenido.

kruskal.test(log(frec_sex), titulacion) 
## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  log(frec_sex) and titulacion
## Kruskal-Wallis chi-squared = 51.504, df = 2, p-value = 6.547e-12

nos da el mismo chi-squared = 51.504 anteior calculado

library(PMCMR)
posthoc.kruskal.nemenyi.test(frec_sex, titulacion, method = "Chisq")
## Warning in posthoc.kruskal.nemenyi.test.default(frec_sex, titulacion,
## method = "Chisq"): Ties are present, p-values are not corrected.
## 
##  Pairwise comparisons using Tukey and Kramer (Nemenyi) test  
##                    with Tukey-Dist approximation for independent samples 
## 
## data:  frec_sex and titulacion 
## 
##    T1      T2  
## T2 1.5e-06 -   
## T3 1.4e-11 0.14
## 
## P value adjustment method: none
#posthoc.kruskal.nemenyi.test(...); hace todo el análisis anteriores, nos da las conclusiones, sirve para comprobar

funcion nos da una tabla de comparación 2 a 2 ayuda a saber si son iguales con -; entonces le consideramos como 1 solo, las varianzas y medias son similares