1. Misalkan \(N(t)\) menyatakan banyaknya kejadian sampai waktu \(t\) yang mengikuti proses Poisson dengan intensitas konstan \(J\mu\) dan \(X\) menyatakan waktu terjadinya kejadian pertama. Tunjukkan \[P(X>t)=P(N(t)=0)=e^{-J\mu t}\] Berdistribusi apakah \(X\)? Dengan menggunakan \(P(X>t)=e^{-J\mu t}\), kita peroleh fungsi kepadatan peluang (pdf) dari \(X\) berikut: \[f(x)=J\mu e^{-J\mu t}\] Fungsi di atas meruakan pdf dari variabel acak yang berdistribusi eksponensial dengan laju \(J\mu\). Kita juga peroleh fungsi hazard dari \(X\) sebagai berikut: \[\frac{f(x)}{P(X>t)}=J\mu.\] Dengan mengintegralkan dikedua ruas persamaan di atas kita peroleh \[-\ln (1-F(X))=J\mu X\] atau \[X=-\frac{\ln (1-F(X))}{J\mu}=-\frac{\ln U}{J\mu},\] dengan \(U\) variabel acak yang berdistribusi seragam (0,1). Dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat membangkitkan \(X\) dari distribusi \(U\).
m<- 1000000
mu <- 0.005
J=100
U=runif(m)
X=log(U)/(J*mu)
plot(density(X,from=0))

Misalkan \(S_k=X_1+X_2+...+X_k\), dengan \(X_i\) saling bebas dan berdistribusi sama. Menggambarkan apakah \(S_i\) dalam proses Poisson ini?

m=1000
J=100
mu=0.01

S1=rexp(m,J*mu)
S2=S1+rexp(m,J*mu)

plot(S1,S2)

Misalkan \(S_0=0\). Tunjukkan \[P(S_i\leq t< S_{i+1})=P(N(t)=i).\]

  1. Misalkan \(N(t)\) mengikuti proses Poisson dengan intensitas klaim \(J\mu(t)\). Jika \(X\) menyatakan waktu terjadinya klaim pertama, simpulkan \[P(X>t)=P(N(t)=0)=\exp\{-J\int_0^t\mu(s)ds\}\] Pdf dari \(X\) adalah \[f(x)=J\mu(x) \exp\{-J\int_0^x \mu(s)ds\}\] Sehingga \[\frac{f(x)}{1-F(x)}=J\mu (x).\] Misalkan \(\mu(t)=\mu_0e^{\theta t}\), maka \[\int_0^X\mu(s)ds=\int_0^X \mu_0 e^{\theta s}ds=\frac{1}{\theta}\mu_0 (e^{\theta X}-1).\] Kita mempunyai \[\int_0^X \frac{f(s)}{1-F(s)}ds=\int \frac{dF(s)}{1-F(s)}=-\ln(1-F(X))\] Sehingga kita peroleh hubungan berikut \[X=\ln \left( 1-\frac{\theta}{J\mu_0} \ln (1-F(X))\right)= \ln \left( 1-\frac{\theta}{J\mu_0} \ln (U)\right),\] dengan \(U\sim\) seragam \((0,1)\). Hubungan \(X\) dan \(U\) ini memberikan kemudahan bagi kita untuk membangkitkan nilai-nilai variabel acak \(X\) dengan menggunakan nilai yang dibangkitkan dari variabel acak seragam \(U\).

Kita bangkitkan sebanyak \(m=1000000\) simulasi untuk \(X\) dengan menggunakan parameter \(\mu_0=0.005\), \(\theta=0.1\) dan \(J=100\). Kita estimasi fungsi kepadatan dari \(X\) sebagai berikut:

m<- 1000000
mu0 <- 0.005
theta <- 0.1
J=100
U=runif(m); a=theta/(J*mu0)
X=log(1-a*log(U))/theta
plot(density(X,from=0))

  1. Misalkan terdapat \(J\) polis dengan besar klaim yang saling bebas dan \(N(t)\) mengikuti proses Poisson dengan intensitas \(\mu (t)=\mu_0 e^{\theta t}\). Misalkan \(N_k\) menyatakan banyaknya kejadian diantara \((k-1)T\) dan \(kT\), \(k=1,2,...,K\).

  1. Tunjukkan \(N_k\) berditribusi Poisson dengan parameter \(\lambda_k=\lambda_0 e^{\theta kT}\), dengan \(\lambda_0=J\mu_0 (1-e^{-\theta T})/\theta\).

  2. Kita dapat simulasikan \(N_1,\) \(N_2,\)…\(N_K\) sebagai berikut:

m=100
J=1000
mu0=0.005
theta=0.1
T=1
K=20
lambda=J*mu0*(1-exp(-theta*T))/theta*exp(1:K*theta)
N=matrix(rpois(m*K,lambda),K,m)
matplot(1:K,N,type="l")

Terlihat dari hasil simulasi ini, banyaknya kejadian klaim menunjukkan tren yang positif.

  1. Misalkan \(N_1, N_2,...,N_n\) variabel-variabel banyaknya klaim saling bebas yang masing-masing berdistribusi Poisson dengan parameter \(\mu T_1, \mu T_2, ...,\mu T_n\), dan misalkan \(A=T_1+...+T_n\).
  1. Tunjukkan bahwa \(\hat{u}=\frac{\sum_{j=1}^n N_j}{A}\) adalah estimasi tak bias dari \(\mu\) dengan standar deviasi \(\sqrt{\mu/A}\).
  2. Hitung \(E[\hat{\mu}]\) jika \(N_i\sim\) Poisson(\(\mu_i T_i)\). Bandingkan dengan hasil sebelumnya
  3. Bagaiman bila kita gunakan \(T_1=T_2=...=T_n\) untuk menghitung \(E[\hat{\mu}]\) ?