Probabilidades

Contando los posibles resultados (eventos) de un hecho (suceso o fenómeno)

La acción de tirar una moneda (el hecho) produce dos tipos de eventos o resultados: cara (C) o sello (S).

Tirar un dado produce seis posibles resultados: 1, 2, 3, 4, 5, o 6.

Al tirar una moneda y un dado, al mismo tiempo, podemos tener los siguientes resultados:

C,1 C,2 C,3 C,4 C,5 C,6 S,1 S,2 S,3 S,4 S,5 S,6

12 posibles resultados, es decir: 2 de la moneda multiplicados por 6 del dado.

Si tiramos dos dados, tendremos: (6)x(6) = 36 posibles reultados.

Ejemplo biológico

¿Por qué son necesarios codones de tres nucleótidos (A,G,C,U), en el mRNA y tRNA, para tener un código que permita sintetizar proteínas, a partir de los 20 aminoácidos comunes?

Veamos que ocurre si los codones fueran de dos nucleótidos (tomar en cuenta que el orden de los nucleótidos es importante en el código):

AA, AG, AC, AU, GA, GG, GC, GU, CA, CG, CC, CU, UA, UG, UC, UU

Obtenemos 16 posibles resultados; esto no es suficiente para codificar 20 aminoácidos diferentes.

Con tres nucleótidos por codón, obtenemos 64 secuencias diferentes de los mismos, lo que es más que suficiente para codificar los 20 aminoácidos (ver tabla)

Tabla de Codones

Permutaciones

Es un arreglo de objetos (de un número limitado de los mismos, o muestra), en una secuencia ordenada.

Objetos diferentes, tomándolos a todos

Tenemos tres objetos: vaca (V), caballo (C), oveja (O) para crear arreglos de los tres, en los que es importante el orden de colocación en la secuencia:

CVO, COV, VCO, VOC, OVC, OCV

Se pueden producir 6 resultados diferentes.

La fórmula correspondiente es:

\[_nP_n = n!\] es decir:

\[_3P_3 = 3! = 3*2*1 = 6\]

Algunos objetos repetidos e indistinguibles, tomándolos a todos

Tenemos en este caso dos caballos, una vaca y una oveja. Si los tomamos a todos, el número de posibles secuencias sería:

\[_4P_4 = 4! = 24\] Pero los dos caballos son indistinguibles, asi que tendríamos dos CCOV, dos OCCV, dos OVCC, y et c., por lo tanto en este caso nuestros resultados serían la mitad de los esperados, en comparación con una muestra de cuatro objetos diferentes. La fórmula en estos casos es:

\[nP_{n_{1},n_{2},n_{3},...,n_{k}} = \frac{n!}{n_{1}!n_{2}!n_{3}!...n_{k}!}\] En nuestro ejemplo tenemos: \(n = 4\), caballos: \(n_1 = 2\), vaca: \(n_2 = 1\), oveja: \(n_3 = 1\). Por lo tanto:

\[_4P_{2,1,1} = \frac{4!}{2!1!1!} = 12\]

Tomando menos objetos que el total de la muestra de objetos diferentes

Tenemos una muestra de caballo, yegua, vaca y oveja, de la cual tomaremos tres de ellos, y queremos saber cuantas secuencias ordenadas podemos obtener de resultado:

CY, CV, CO, YC, YV, YO, VC, VY, VO, OC, OY, OV es decir, 12 permutaciones de dos objetos tomados de una muestra de cuatro objetos diferentes.

En este caso la fórmula es la siguiente:

\[_nP_X = \frac {n!}{(n-X)!} \quad X:objetos\ tomados\] Para nuestro ejemplo:

\[_4P_2 = \frac {4!}{(4-2)!} = 12\]

Combinaciones

Una combinación es un agrupamiento de X objetos de una muestra de n objetos diferentes, en el cual no importa el orden o secuencia de los objetos tomados.

En el ejemplo de caballo, vaca y oveja: CVO, COV, OCV, et c. representan un mismo resultado o evento. Si seleccionamos dos objetos: CV y VC, un mismo evento; CO y OC, un mismo evento; VO y OV, un mismo evento, por lo tanto hay tres combinaciones posibles.

La fórmula para combinaciones es:

\[_nC_X = \frac {n!}{X!(n-X)!}\] En nuestros ejemplos:

\[_3C_3 = \frac {3!}{3!(3-3)!} = \frac {6}{6*1} = 1\] (NOTA: 0! = 1, por definición operacional)

\[_3C_2 = \frac {3!}{2!(3-2)!} = \frac {6}{2*1} = 3\]

Ejercicio: calcular los posibles resultados de una loto, con 49 números de donde sacar, y 6 números para combinar.

En R tenemos la función factorial y choose para cálcular el número de permutaciones y combinaciones.

#permutaciones de 4 objetos tomando 2
n = 4
X = 2
perm42 <- factorial(n)/factorial(n-X)
perm42

## [1] 12

#combinaciones de 4 objetos tomando 2
choose(n,X)

## [1] 6

#combinaciones para la loto:
nl = 49
Xl = 6
choose(nl,Xl)

## [1] 13983816

Probabilidad de un evento

La probabilidad de ocurrencia o frecuencia relativa de un evento (resultado esperado) se define:

\[probabilidad\ del\ evento = \frac{frecuencia\ del\ evento}{número\ total\ de\ eventos}\]

Probabilidad de eventos excluyentes entre sí

Si tiramos un dado, ¿cuál es la probabilidad de tener un número par? Cómo son eventos excluyentes usamos una extensión de esta fórmula:

\[P(A\ o\ B) = P(A) + P(B)\] En nuestro ejemplo sería:

\[P(2,4,6) = P(2)+P(4)+P(6) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 1/2\]

Probabilidad de eventos que se intersectan o independientes

Si por ejemplo, lanzamos dos dados, queremos saber cuál es la probabilidad de que salga par en uno y el número 2 en el otro. Como entre los eventos posibles hay una intersección de par y el número dos, las probabilidades individuales de los eventos, se multiplican:

\[P(A\ y\ B) = [P(A)][P(B)]\] En nuestro ejemplo:

\[P(par\ y\ 2) = 1/2 * 1/6 = 1/12\] Ejercicio: Calcular la probabilidad de tener el número ganador (6 aciertos) de la loto local.

Para uso general: Cálculo de probabilidad de sacarte la lotería

moRdizco

En algunos experimentos puede ser necesario tomar una muestra de un conjunto de objetos (o valores), identificados. Para esto se puede usar la función sample:

#queremos obtener una muestra al azar de 5 objetos de una población de 1200 numerados.
sample(1:1200, 5)

## [1]  734 1101  339  332 1171

#se pueden seleccionar y devolverlos (con reemplazo)
#podrían salir escogidos más de una vez
sample(1:1200, 5, replace = TRUE)

## [1] 773 900  55 137 349