Introdução

Neste experimento, será realizado o cálculo do poder do teste T através da simulação de Monte Carlo utilizando 10000 réplicas. O nível de significância será de \(\alpha = 0.05\). Serão utilizados 2 tamanhos amostrais para fins de comparação, \(n_1 = 20\) e \(n_2 = 50\).

Neste projeto, a hipótese alternativa do teste é a de que \(H_1: \mu > \mu_0\), e a diferença entre \(\mu\) e \(\mu_0\) será de \(\frac{1}{2}\).

Simulação

Abaixo, os algoritmos utilizados para fazer as simulações para o tamanho da amostra n = 20 e n = 50:

# Simulação para n1 = 20

# Cauchy
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pc1 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- rcauchy(20,0.5,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pc1 <- mean(id)


# Exponencial
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pe1 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- rexp(20,2)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pe1 <- mean(id)


# Normal
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pn1 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- rnorm(20,0.5,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pn1 <- mean(id)


# Uniforme
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pu1 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- runif(20,0,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pu1 <- mean(id)


# Log-Normal
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
plg1 = numeric()


for(i in 1:10000){
  dist <- rlnorm(20,0.5,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

plg1 <- mean(id)



# Simulação para n2 = 50

# Cauchy
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pc2 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- rcauchy(50,0.5,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pc2 <- mean(id)


# Exponencial
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pe2 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- rexp(50,2)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pe2 <- mean(id)


# Normal
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pn2 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- rnorm(50,0.5,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pn2 <- mean(id)


# Uniforme
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
pu2 = numeric()

for(i in 1:10000){
  dist <- runif(50,0,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

pu2 <- mean(id)


# Log-Normal
dist = numeric()
m = numeric()
id = numeric()
plg2 = numeric()


for(i in 1:10000){
  dist <- rlnorm(50,0.5,1)
  m[i] <- mean(dist) - 0.5
  teste <- t.test(dist,alternative = "g",mu = m[i])
  id[i] <- ifelse(teste$p.value<0.05,1,0)
}

plg2 <- mean(id)



# Gráficos

# Cauchy 
plot(c(20,50),c(pc1,pc2),
     xlab = "n",ylab = "Poder",
     main = "Distribuição Cauchy", pch = 20,lwd = 3)
abline(h = c(pc1,pc2), lty = 3)

# Exponencial
plot(c(20,50),c(pe1,pe2),
     xlab = "n",ylab = "Poder",
     main = "Distribuição Exponencial", pch = 20,lwd = 3)
abline(h = c(pe1,pe2), lty = 3)

# Normal
plot(c(20,50),c(pn1,pn2),
     xlab = "n",ylab = "Poder",
     main = "Distribuição Normal", pch = 20,lwd = 3)
abline(h = c(pn1,pn2), lty = 3)

# Uniforme
plot(c(20,50),c(pu1,pu2),
     xlab = "n",ylab = "Poder",
     main = "Distribuição Uniforme", pch = 20,lwd = 3)
abline(h = c(pu1,pu2), lty = 3)

# Lognormal
plot(c(20,50),c(plg1,plg2),
     xlab = "n",ylab = "Poder",
     main = "Distribuição Lognormal", pch = 20,lwd = 3)
abline(h = c(plg1,plg2), lty = 3)

Conclusão

Observa-se que o poder do teste T é bem significativo para as distribuições exponencial, normal e uniforme. Já para as distribuições cauchy e log-normal, o teste nao se mostrou poderoso. Para melhor compreensão, analisemos o resultado do poder do teste T em cada uma das distribuições individualmente.

1 - Distribuição Cauchy

Nota-se que o tamanho da amostra utilizada, não influencia no resultado do poder do teste T.

2 - Distribuição Exponêncial

Conforme o tamanho da amostra aumenta, o poder do teste T atinge o seu máximo.

3- Distribuição Normal

É fácil ver que da mesma forma que que o poder do teste T aumenta de acordo com o aumento do tamanho da amostra na distribuição exponencial, o mesmo ocorre na distribuição normal.

4 - Distribuição Uniforme

O teste é poderoso e não altera conforme o tamanho da amostra aumenta.

5 - Distribuição Log-Normal

Observa-se que o poder do teste T é considerado baixo mesmo que tenha apresentado um pequeno aumento no resultado de acordo com a amostra de tamanho n2 = 50.