0.1 Teoremas básicos de probabilidad

Sean \((\Omega, \mathcal{A},P)\) un espacio de probabilidad y \(A_1,A_2,...\in\mathcal{A}\).

0.1.1 Teorema aditivo

Suponga dos lanzamientos consecutivo de una moneda justa, en la cual el resultado del primer lanzamiento no altera al segundo.

El evento de interés es la probabilidad de que al menso una cara

Los eventos \(A\)= 1 si el resultado resultado del primer lanzamiento es cara, y cero si es sello \(B\) es 1 si el resultado resultado del segundo lanzamiento es cara, y cero si es sello

Note que de la suma directa de ambos eventos resultaría la suma de la intersección dos veces, por lo cual el teorema aditivo señala que deben restarse una vez dichas intersecciones.

A <- rbinom(100000, 1, .5)
B <- rbinom(100000, 1, .5)
mean(A|B)
## [1] 0.75047

\(P(A O B)=P(A)+P(B)-P(A Y B)\)

0.5+0.5-0.5*0.5
## [1] 0.75
A <- rbinom(100000, 1, .2)
B <- rbinom(100000, 1, .6)
mean(A|B)
## [1] 0.67774

\(P(A O B)=P(A)+P(B)-P(A Y B)\)

0.2+0.6-0.2*0.6
## [1] 0.68

El teorema aditivo está relacionado con la probabilidad de la unión de eventos, así:

\[P\left(\bigcup_{i=1}^{m} A_i\right)=\sum_{i=1}^{m}P(A_i)-\sum_{i>j}P(A_i\cap A_j)+\sum_{i>j>k}P(A_i\cap A_j\cap A_k)-...-(-1)^{m-1}P\left(\bigcap_{i=1}^{m} A_i \right)\]

En particular, para \(m=2\):

\[P(A_1\cup A_2)=P(A_1)+P(A_2)-P(A_1\cap A_2)\]

o para \(m=3\):

\[P(A_1\cup A_2\cup A_3)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)-P(A_1\cap A_2)-P(A_1\cap A_3)-P(A_2\cap A_3)+P(A_1\cap A_2\cap A_3)\]

Ejercicio En la facultad de medicina hay 200 estudiantes:

  • 10 ven simultáneamente anatomía y bioquímica
  • 13 ven investigación y anatomía
  • 3 ven investigación y bioquímica
  • 20 ven investigación
  • 20 bioquímica
  • 23 anatomía
  • 1 ve las tres materias

Con base en esta información dibuje el diagrama de Venn y calcule la probabilidad de que:

  1. Un estudiante esté inscrito en sólo una de estas tres materias

  2. Un estudiante esté inscrito solamente en investigación

  3. Un estudiante esté inscrito solamente en investigación y anatomía

  4. No esté inscrito en una de´estas materias

Ejercicio Si E1 es el evento “de una baraja se extrae un as” y E2 es el evento “de una baraja se extrae un rey”, calcule la probabilidad de que al extraer una carta esta sea un as o un rey Ejercicio - Si las monedas A y B son independientes, y A tiene un 60% de probabilidad de aparecer, y el evento B tiene un 10% de posibilidades de aparecer, ¿cuál es la probabilidad de que A o B salgan cara? - Confirme la respuesta anterior usando simulación.

Ejercicio Supongamos que X es una variable aleatoria Binomial(10, .6) (10 lanzamientos de una moneda con 60% de probabilidad de cara), Y es una variable aleatoria de Binomial(10, .7), y son independientes.

¿Cuál es la probabilidad de que cualquiera de las variables sea menor o igual que 4?

Ejercicio Si E1 es el evento “extraer un as” y E2 es el evento “extraer una espada” de una baraja, E1 y E2 no son mutuamente excluyentes (interseccion de eventos no es vacía), pues se puede extraer el as de espadas. Calcule la probabilidad de extraer un as o una espada o ambas condiciones (as de espadas)

0.2 Multiplicando variables aleatorias

Analicemos el comportamiento de una variable aleatoria con distribución binomial al afectarla por una constante.

Suponga que se lanza una moneda justa 10 veces y anotamos el número de caras, además la multiplicamos por 3, que puede suceder al valor esperado del número de caras?

\(X~Binomial(10, .5)\) \(Y=3X\)

x<-rbinom(10000, 10, .5)
mean(x)
## [1] 4.9964
par(mfrow=c(2,1))
plot(table(x),xlim = c(0,30), main="X", ylab="Frec")
plot(table(3*x), main="3X", ylab="Frec")

mean(3*x)
## [1] 14.9892

\[E(kX)=kE(X)\]

Y la varianza?

x<-rbinom(10000, 10, .5) mean(x)

var(x)
## [1] 2.453032
var(3*x)
## [1] 22.07729

La variable se vuelve k veces más amplia, de las propiedades de la varianza tenemos que \[V(kX)=k^2V(X)\]

Ejercicio

Si X tiene distribución Binomial con tamaño 50 y p = .4, ¿cuál es el valor esperado de 3 * X?

0.3 Sumando dos variables aleatorias

Suponga que tenemos dos distribuciones binomiales y \(Z\) se define como la suma \(X~Binomial(10, .5)\) \(Y~Binomial(10, .2)\)

\[Z=X+Y\] La suma NO se distribuye binomial, pero aún podemos analizar algunas propiedades sobre Z

X<-rbinom(100000, 10, .5)
Y<-rbinom(100000, 10, .2)
Z=X+Y
cat(paste0("Media de X ", mean(X), "\n", "media de Y ",
                 mean(Y),"\n", "Media de la suma Z= X+Y ", mean(X+Y)))
## Media de X 5.0026
## media de Y 1.99935
## Media de la suma Z= X+Y 7.00195

Encuentra alguna relación entre \(X\), \(Y\), y \(Z=X+Y\)?

\[E(X+Y)=E(X)+E(V)\] Sí son independientes!!!!

cat(paste0("Varianza de X ", var(X), "\n", "Varianza de Y ",  var(Y),"\n", "Varianza de la suma Z= X+Y ", var(X+Y)))
## Varianza de X 2.50863832638327
## Varianza de Y 1.60486562615626
## Varianza de la suma Z= X+Y 4.11700736757368

\[VAR(X+Y)=VAR(X)+VAR(V)\]

Pregunta - Si \(X\) se distribuye binomial con tamaño 20 y p = .3, \(Y\) del tamaño 40 yp = .1, ¿cuál es el valor esperado (media) de \(X + Y\)? - Use simulación para verificar el punto anterior rbinom()

  • A que es igual la varianza de X+Y? analíticamente o por simulación
  • A que es igual la varianza de 3X+Y? analíticamente o por simulación

0.3.1 Teorema multiplicativo

0.3.1.1 Independencia de Eventos

Suponga dos lanzamientos consecutivo de una moneda justa, en la cual el resultado del primer lanzamiento no altera al segundo Los eventos \(A\)= 1 si el resultado resultado del primer lanzamiento es cara, y cero si es sello \(B\) es 1 si el resultado resultado del segundo lanzamiento es cara, y cero si es sello

En R

A <- rbinom(100000, 1, .5)
B <- rbinom(100000, 1, .5)
head(A&B)
## [1] FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE FALSE
mean(A&B)
## [1] 0.25047

Que coincide con el producto de las probabilidades de éxito, en este caso de obtener cara

0.5*0.5
## [1] 0.25

Pregunta Si los eventos A y B son independientes, y A tiene un 40% de probabilidades de suceder, y el evento B tiene un 20% de probabilidad de ocurrir, ¿cuál es la probabilidad de que ambos sucedan?

El teorema multiplicativo está relacionado con la probabilidad de la intersección de eventos, así:

  • Si \(A_1\) y \(A_2\) son eventos independientes: \[P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)\]
  • Si no son indeoendientes: \[P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2|A_1)=P(A_2)P(A_1|A_2)\] dónde \(P(A_2|A_1)\), es la probabilidad condicional del evento \(A_2\) dado que es \(A_1\), es decir es la proporción de elementos que son \(A_1\) entre los elementos que son \(A_2\).

0.3.2 Teorema de la probabilidad total

El terorema de la probabilidad total se utiliza cuando se quiere encontrar la probabilidad de un evento que se encuentra repartido en las partes de una patición. Sea \(E_1, E_2,..., Em\) una partición de \(\Omega\), es decir, \(E_1, E_2,..., Em\) es una colección de subconjuntos de \(\Omega\) tales que: \[\bigcup_{i=1}^m E_i=\Omega\] \[E_j\cap E_k=\phi, j\neq k\]

Entonces, la probabilidad de ocurrencia de un evento \(A\) se reparte en la partición de la siguiente forma:

\[\begin{align*} P(A)&=P(A\cap E_1)+P(A\cap E_2)+...+P(A\cap E_m)\\ &=P(A|E_1)P(E_1)+P(A|E_2)P(E_2)+...+P(A|E_m)P(E_m)\\ &=\sum_{i=1}^{m}P(A|E_i)P(E_i) \end{align*}\]