Funciones para la automatizacion del calculo de probabilidades para los estadisticos visto en Estadistica II

Función llamada Chi que permite automatizar el cálculo de probabilidades usando la distribución \(\chi^2\).(pendiente)

.
.
.
.
.

Función plot_F que permite graficar la función de densidad de cualquier distribución \(F\) de Fisher.

plot_F=function(gla,glb)
{
  li = qf(0.00001, gla, glb, lower.tail=TRUE)
  ls = qf(0.99999, gla, glb, lower.tail=TRUE)
  curve(df(x, gla, glb), from=li, to=ls,
        ylab = "Probabilidad",
        xlab = "Valores de X",
        main = "Distribución F de Fisher",
        col="blue")
}

Donde,

\(gla\) son los grados de libertad del numerador.
\(glb\) son los grados de libertad del denominar.

plot_F(100000,100000)

La distribución muestral de \(\overline{X}-\overline{Y}\) cuando las varianzas poblacionales son conocidas.

ddmm_1=function(ux,uy,ox,oy,n,m,dd)
  {de_media=sqrt((((ox)^2)/n)+((oy)^2)/m)
  z=((dd-(ux-uy))/de_media)
  p=pnorm(z,0,1,lower.tail = TRUE)
  cat("considerando las muestras de tamaño n","=",n,"y m","=",m,"para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de",dd,"es",p,"lo equivalente a un",p*100,"%","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de",dd,"es",1-p,"lo equivalente a un",(1-p)*100,"%","\n")}

Donde,

\(ux\) es la media poblacional de la primera distribucion.
\(uy\) es la media poblacional de la segunda distribucion.
\(ox\) es la desviacion estandar poblacional de la primera distribucion.
\(oy\) es la desviacion estandar poblacional de la segunda distribucion.
\(n\) es el tamaño de la muestra de la primera distribucion.
\(m\) es el tamaño de la muestra de la segunda distribucion.
\(dd\) es la diferencia de las medias muestrales esperadas.

Ejemplo:

En un estudio para comparar los pesos promedio de niños y niñas de sexto grado en una escuela primaria se usará una muestra aleatoria de \(20\) niños y otra de \(25\) niñas. Se sabe que tanto para niños como para niñas los pesos siguen una distribución normal. El promedio de los pesos de todos los niños de sexto grado de esa escuela es de \(100\) libras y su desviación estándar es de \(14.142\), mientras que el promedio de los pesos de todas las niñas del sexto grado de esa escuela es de \(85\) libras y su desviación estándar es de \(12.247\) libras. Si representa el promedio de los pesos de \(20\) niños y es el promedio de los pesos de una muestra de \(25\) niñas, encuentre la probabilidad de que el promedio de los pesos de los \(20\) niños sea al menos \(20\) libras más grande que el de las \(25\) niñas.

\(Solución.\)

Datos

\(ux\) = 100 libras
\(uy\) = 85 libras
\(ox\) = 14.142 libras
\(oy\) = 12.247 libras
\(n\) = 20 niños
\(m\) = 25 niñas
\(dd\) = 20

ddmm_1(100,85,14.142,12.247,20,25,20)

## considerando las muestras de tamaño n = 20 y m = 25 para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que 
##   
## La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de 20 es 0.8943547 lo equivalente a un 89.43547 % 
##   
## La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de 20 es 0.1056453 lo equivalente a un 10.56453 %

La distribución muestral de \(\overline{X}-\overline{Y}\) cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

ddmm_2=function(ux,uy,sx,sy,n,m,dd)
  {sp=sqrt((((n-1)*(sx)^2)+((m-1)*(sy)^2))/(n+m-2))
  z=((dd-(ux-uy))/(sp*sqrt((1/n)+(1/m))))
  p=pt(z,n+m-2,lower.tail = TRUE)
  cat("Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion t-student, con",(n+m-2),"grados de libertad.","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("Ahora, Considerando las muestras de tamaño n","=",n,"y m","=",m,"para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que,","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de",dd,"es",p,"lo equivalente a un",p*100,"%","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como minimo de",dd,"es",(1-p),"lo equivalente a un",(1-p)*100,"%","\n")}

Donde

\(ux\) es la media poblacional de la primera distribucion.
\(uy\) es la media poblacional de la segunda distribucion.
\(ox\) es la desviacion estandar muestral de la primera distribucion.
\(oy\) es la desviacion estandar muestral de la segunda distribucion.
\(n\) es el tamaño de la muestra de la primera distribucion.
\(m\) es el tamaño de la muestra de la segunda distribucion.
\(dd\) es la diferencia dmedias muestrales.

EJEMPLO:

Se está realizando un estudio sobre la calidad del aire en dos zonas \(A\) y \(B\). Un indicador de la calidad es el número de microgr. de partículas en suspensión por m3 de aire, que suponemos siguen distribuciones Normales independientes de media \(62.237\) en \(A\), \(61.022\) en \(B\) y varianzas iguales. En la zona \(A\) se realizan \(12\) mediciones, obteniéndose una cuasi-varianza de \(8.44\) microgr2 y en la \(B\) \(15\) mediciones, con una cuasi-varianza de \(9.44\) microgr2. Obtener la probabilidad de que la media muestral de \(A\) sea como mínimo \(tres\) unidades superior a la media muestral de \(B\).

\(Solucion.\)

DATOS

\(ux\) = 62.237
\(uy\) = 61.022
\(sx\) = sqrt(8.44)
\(sy\) = sqrt(9.44)
\(n\) = 12
\(m\) = 15
\(dd\) = 3

ddmm_2(62.237,61.022,sqrt(8.44),sqrt(9.44),12,15,3)

## Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion t-student, con 25 grados de libertad. 
##   
## Ahora, Considerando las muestras de tamaño n = 12 y m = 15 para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que, 
##   
## La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de 3 es 0.9314852 lo equivalente a un 93.14852 % 
##   
## La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como minimo de 3 es 0.06851485 lo equivalente a un 6.851485 %

La distribución muestral de \(\overline{X}-\overline{Y}\) cuando las varianzas poblacionales son desconocidas y no necesariamente iguales.

ddmm_3=function(ux,uy,sx,sy,n,m,dd)
    {z=((dd-(ux-uy))/sqrt((((sx)^2)/n)+((sy)^2)/m))
    gl=(((((sx)^2)/n)+((sy)^2)/m)^2)/((((((sx)^2)/n)^2)/(n-1))+(((((sy)^2)/m)^2)/(m-1)))
    p=pt(z,gl,lower.tail = TRUE)
    cat("Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion t-student, con",gl,"grados de libertad.","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("Ahora, Considerando las muestras de tamaño n","=",n,"y m","=",m,"para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que,","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de",dd,"es",p,"lo equivalente a un",p*100,"%","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como minimo de",dd,"es",(1-p),"lo equivalente a un",(1-p)*100,"%","\n")}

ddmm_3(0,0,sqrt(3.7),sqrt(9.2),20,20,2.5)

## Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion t-student, con 32.15489 grados de libertad. 
##   
## Ahora, Considerando las muestras de tamaño n = 20 y m = 20 para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que, 
##   
## La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como maximo de 2.5 es 0.998063 lo equivalente a un 99.8063 % 
##   
## La probabilidad de que la diferencia entre la media muestral de la distribucion uno y la media muestral de la distribucion dos sea como minimo de 2.5 es 0.001937023 lo equivalente a un 0.1937023 %

Distribución muestral de \(\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\).

Caso “Varianza muestral igual a”

SS_1=function(o,n,dd){
  X=(n-1)*((dd)^2)/((o)^2)
  gl=(n-1)
  p=pchisq(X,(n-1),lower.tail = TRUE)
    cat("Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion Chi cuadrado, con",gl,"grados de libertad.","\n")
  cat(" ","\n")
    cat("La probabilidad de que la varianza muestral no supere",dd,"unidades es",p,"lo equivalente a un",p*100,"%","\n")
    cat(" ","\n")
    cat("La probabilidad de que la varianza muestral supere",dd,"unidades es",(1-p),"lo equivalente a un",(1-p)*100,"%","\n")
    }

Donde,

\(o\) es la desviacion estandar poblacional.
\(n\) es el tamaño de la muestra.
\(dd\) desviacion estandar muestral esperada.

Ejemplo:

Para un gerente de planta es muy importante controlar la variación del espesor de un material plástico. Se sabe que la distribución del espesor del material es normal con una desviación estándar de \(0,01 cm\). Una muestra aleatoria de \(25\) piezas de este material da como resultado una desviación estándar muestral de \(0,015 cm\)“. Si la varianza de la población es de \((0,01)^2\) \(cm^2\) , ¿cuál es la probabilidad de que la varianza muestral sea igual o superior a \((0,015)^2\) \(cm^2\) ?

\(solucion.\)

Datos

\(o\) = 0.01
\(n\) = 25
\(dd\) = 0.015

SS_1(0.01,25,0.015)

## Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion Chi cuadrado, con 24 grados de libertad. 
##   
## La probabilidad de que la varianza muestral no supere 0.015 unidades es 0.9995738 lo equivalente a un 99.95738 % 
##   
## La probabilidad de que la varianza muestral supere 0.015 unidades es 0.0004262433 lo equivalente a un 0.04262433 %

para el caso “la varianza muestral supera a la poblacional por \("dd"\) veces su valor”

SS_1a=function(n,dd){
    X=(n-1)*(1+dd)
    gl=(n-1)
    p=pchisq(X,(n-1),lower.tail = TRUE)
    cat("Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion Chi cuadrado, con",gl,"grados de libertad.","\n")
  cat(" ","\n")
    cat("La probabilidad de que la varianza muestral no supere a la poblacional por mas de ",dd,"veces su valor es",p,"lo equivalente a un",p*100,"%","\n")
    cat(" ","\n")
    cat("La probabilidad de que la varianza muestral supere a la poblacional por mas de",dd,"veces su valor es",(1-p),"lo equivalente a un",(1-p)*100,"%","\n")
    }

donde,

\(dd\) es la proporcion por la que la varianza muestral supera a la poblacional.
\(n\) es el tamaño de la muestra.

Ejemplo:

Suponiendo que una variable aleatoria sigue una distribuccion normal, calcular la probabilidad de que en una muestra aleatoria simple de tamaño \(10\), la cuasivarianza muestral supere a la varianza poblacional en más de un cuarto de su valor

\(Solucion.\)

datos

\(n\) = 10
\(dd\) = 1/4 = 0.25

SS_1a(10,0.25)

## Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion Chi cuadrado, con 9 grados de libertad. 
##   
## La probabilidad de que la varianza muestral no supere a la poblacional por mas de  0.25 veces su valor es 0.7410387 lo equivalente a un 74.10387 % 
##   
## La probabilidad de que la varianza muestral supere a la poblacional por mas de 0.25 veces su valor es 0.2589613 lo equivalente a un 25.89613 %

Distribución muestral de \(\dfrac{s^2_X/\sigma^2_X}{s^2_Y/\sigma^2_Y}\)

ecvm_a1=function(ox,oy,n,m,dd){
    f=dd*((oy)^2/(ox)^2)
    gl_n=(n-1)
    gl_m=(m-1)
    p=pf(f,gl_n,gl_m,lower.tail = TRUE)
    cat("Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion F de Fisher, con",gl_n,"grados de libertad en el numerador y",gl_m,"en el denominador","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("Ahora, Considerando las muestras de tamaño n","=",n,"y m","=",m,"para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que,","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que el cuociente entre la varianza muestral uno y la dos no supere el valor",dd,"es",p,"lo equivalente a un",p*100,"%","\n")
  cat(" ","\n")
  cat("La probabilidad de que el cuociente entre la varianza muestral uno y la dos supere el valor",dd,"es",(1-p),"lo equivalente a un",(1-p)*100,"%","\n")}

Donde,

\(ox\) es la media poblacional de la distribucion muestral uno.
\(oy\) es la media poblacional de la distribucion muestral dos.
\(n\) es el tamaño muestral de la distribucion uno,
\(m\) es el tamaño muestral de la distribucion dos.
\(dd\) es el cuociente entre las varianzas que se espera o no superar.

Ejemplo:

Se seleccionan dos muestras aleatorias simples de tamaños \(12\) y \(16\) de dos poblaciones distribuidas normalmente. Sabiendo que en la primera poblacion la media es \(50\) y la varianza \(15\), y que en la segunda poblacion la media es \(60\) y la varianza \(20\):

Hallar la probabilidad de que la varianza de la primera muestra tome un valor que sea como minimo \(1.5\) veces la varianza de la segunda.

\(Solucion.\)

datos

\(ox\) = \(\sqrt(15)\)
\(oy\) = \(\sqrt(20)\)
\(n\) = 12
\(m\) = 16
\(dd\) = 1.5

ecvm_a1(sqrt(15),sqrt(20),12,16,1.5)

## Bajo estas condiciones, podremos calcular dicha probabilidad usando una distribucion F de Fisher, con 11 grados de libertad en el numerador y 15 en el denominador 
##   
## Ahora, Considerando las muestras de tamaño n = 12 y m = 16 para las distribuciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que, 
##   
## La probabilidad de que el cuociente entre la varianza muestral uno y la dos no supere el valor 1.5 es 0.8942966 lo equivalente a un 89.42966 % 
##   
## La probabilidad de que el cuociente entre la varianza muestral uno y la dos supere el valor 1.5 es 0.1057034 lo equivalente a un 10.57034 %

Funciones para la automatizacion del calculo de probabilidades para los estadisticos visto en Estadistica II

Diego Hernandez

24 de agosto de 2018

Función plot_F que permite graficar la función de densidad de cualquier distribución \(F\) de Fisher.

La distribución muestral de \(\overline{X}-\overline{Y}\) cuando las varianzas poblacionales son conocidas.

La distribución muestral de \(\overline{X}-\overline{Y}\) cuando las varianzas poblacionales son desconocidas pero iguales.

La distribución muestral de \(\overline{X}-\overline{Y}\) cuando las varianzas poblacionales son desconocidas y no necesariamente iguales.

Distribución muestral de \(\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\).

Distribución muestral de \(\dfrac{s^2_X/\sigma^2_X}{s^2_Y/\sigma^2_Y}\)