Intervalo de confianza para \(\mu\)

Como sabemos, si \(X\) es una v.a. que sigue una distribución normal \(N(\mu,\sigma)\), entonces \(Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)\). Luego, podemos plantear por ejemplo, que la probabilidad de que \(Z\) quede entre dos valores simétricos sea \(1-\alpha\): \[ P\left(z_{\frac{\alpha}{2}}<Z<z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha \] donde la probabilidad \(\alpha\) ha sido repartida de manera simétrica en ambas colas de la distribución \(N(0,1)\). Nótese además que no es necesario que la probabilidad \(\alpha\) se reparta de forma simétrica.

Ahora bien, como \(Z=\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\), podemos escribir: \[ P\left(z_{\frac{\alpha}{2}}<\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)=1-\alpha \]

Operando algebraicamente dentro del paréntesis,

\[ \begin{aligned} P\left(z_{\frac{\alpha}{2}}<\dfrac{\overline{X}-\mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}<z_{1-\frac{\alpha}{2}}\right)&=1-\alpha\\ P\left(z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\overline{X}-\mu<z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&=1-\alpha\\ P\left(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu-\overline{X}<-z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&=1-\alpha\\ P\left(\overline{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}-z_{\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&=1-\alpha\\ \end{aligned} \]

Aprovechando la simetría de la distribución normal, podemos concluir que \[z_{\frac{\alpha}{2}}=-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\]

Con lo que finalmente podemos concluir que \[ \begin{aligned} P\left(\overline{X}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}<\mu<\overline{X}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)&=1-\alpha\\ \end{aligned} \]

De esta forma, un intervalo de confianza del \(\left(1-\alpha\right)100\%\) para la media poblacional \(\mu\) viene dado por: \[ \left(\overline{x}-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\;\;,\;\;\overline{x}+z_{1-\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \] siempre que \(X\sim N(\mu,\sigma)\).

Implementación del intervalo de confianza anterior

Usando funciones de R podemos construir la función intervalo_media que nos permite construir un intervalo de confianza para \(\mu\) cuando \(X\sim N(\mu,\sigma)\), siendo \(\sigma\) un valor conocido. A continuación se presenta el código de la función intervalo_media:

intervalo_media=function(n,m_muestra,de,alpha)
{
p = 1-(alpha/100)/2
z = qnorm(p,mean=0,sd=1,lower.tail=TRUE) 
e = z*(de/sqrt(n))
cat("Un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del ", 100-alpha, "% es \n") 
cat("(", m_muestra-e,",",m_muestra+e,")\n")
}

Ejemplo

Supongamos que el consumo, en gramos, de un cierto producto sigue una distribución con varianza 225 \(g^2\). A partir de una muestra de tamaño 25 se ha obtenido una media muestral igual a 175 g. Usemos la función intervalo_media para construir un intervalo de confianza del 95% para la media poblacional \(\mu\):

intervalo_media(n=25,m_muestra=175,de=sqrt(225),alpha=5)
## Un intervalo de confianza para la media poblacional con un nivel de confianza del  95 % es 
## ( 169.1201 , 180.8799 )

Ejercicios

En R implemente un intervalo de confianza para:

  • La diferencia de medias poblacionales para los casos: varianzas conocidas y varianzas desconocidas pero iguales.
  • La varianza poblacional.
  • El cuociente de varianzas poblacionales.