Me foi perguntado nas redes sociais se era ‘normal’ o Cruzeiro Esporte Clube, nos últimos 16 sorteios de mando de campo, decidir 14 destes confrontos jogando em casa.

Ora, vejamos:

  1. Um sorteio, para ser ‘honesto’, precisa ter chances iguais
  2. para se ter chances iguais, a probabilidade de A decidir em casa um confronto contra B DEVERÁ ser a mesma de B decidir em casa um confronto contra A. Ou seja: 1/2 ou 50% para cada um.

É meio óbvio que dado o cenário explicado, se espera, em um sorteio justo, que se ocorra 8 decisões em casa e 8 decisões fora. Mas Estatística não é algo determinístico. Sempre existe o acaso envolvido.

Para verificar tal premissa, devemos explicar que o Número de vezes que ocorre um evento em n tentativas segue uma distribuição de probabilidade que recebe o nome de binomial.

A distribuição binomial é a distribuição de probabilidade discreta do número de sucessos numa sequência de n tentativas tais que:

  1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso (binomial, a que se chama de tentativa de Bernoulli), e;
  2. Cada tentativa é independente das demais, e;
  3. A probabilidade de sucesso p a cada tentativa permanece constante independente das demais, e;
  4. A variável de interesse, ou pretendida, é o número de sucessos k nas n tentativas.

A figura abaixo é a distribuição binomial para 16 sorteios, tendo igaldade de condições (p=1/2)

Na figura a seguir, tivemos a liberdade de dividir o gráfico em duas regiões: uma, contendo as situações não favoráveia à equipe do Cruzeiro EC e, na cor azul, a região onde o resultado do sorteio lhe seria favorável.

Como curiosidade, a região em azul representa uma proporção de 0.0020905, ou

é um valor muito baixo, convenhamos. Partiremos então para a simulação, para termos uma idéia mais segura do quão difícil (ou fácil) seria, em um sorteio justo, conseguirmos 14 sucessos dentre 16 tentativas.

Faremos, nesta simulação, 1 milhão de pacotes de sorteio

trials <- 1000000
tentativas <- 16
result <- rbinom(trials,16,1/2)
simula <- data.frame(result, sucesso = (result >=14))
Rmisc::CI(simula$result)
   upper     mean    lower 
8.005162 8.001240 7.997318 
Rmisc::CI(simula$sucesso)
      upper        mean       lower 
0.002132521 0.002044000 0.001955479

O que confirma, também por meio de simulações, que 1. Em um sorteio honesto, se esperaria uma média entre 7 e 9 ocorrencias de mando decidindo em casa 2. O evento ’Mais de 14 das 16 decidindo em casa tem uma probabilidade próxima a 0.2% de ocorrer.

estes fatos, por si só corroboram com a suspeita de que o sorteio tem uma ‘bola quente’ para a equipe do Cruzeiro EC

Como algumas pessoas AINDa não acreditaram, vamos fazer uma OUTRA simulação, agora verificando os limites de ci=onfiança

trials <- 10000

xmin <- 
  numeric(trials)
xmed <- 
  numeric(trials)
xmax <- 
  numeric(trials)

for (i in 1:trials) {
  xtemp <- Rmisc::CI(rbinom(16,16,1/2))
  xmax[i] <- xtemp[1]
  xmed[i] <- xtemp[2]
  xmin[i] <- xtemp[3]
}

Teremos, no pior cenário, em 16 sorteios o seguinte comportamento:

Rmisc::CI(xmin)
   upper     mean    lower 
6.960451 6.949998 6.939544 
Rmisc::CI(xmed)
   upper     mean    lower 
8.008916 7.999150 7.989384 
Rmisc::CI(xmax)
   upper     mean    lower 
9.058724 9.048302 9.037881

Ficando o limite superior do intervalo de 95% por volta de 9 ocorrências.

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