A continuación presentamos algunos ejemplos de fenómenos aleatorios:
Pero, qué es lo que tienen en común los anteriores ejemplos?
A continuación presentamos una caracterización de los fenómenos aleatorios.
# - Todos los posibles resultados del fenómeno son conocidos.
# - Antes de observar o medir el fenómeno es imposible determinar cuál va a ser el resultado.Revisemos si los anteriores ejemplos se ajustan a la caracterización de un fenómeno aleatorio.
Tu turno
Plantea dos fenómenos: uno aleatorio y otro no.
Al conjunto de todos los posibles resultados de un fenómeno aleatorio se llama Espacio Muestral, y se denota por \(\Omega\).
A cualquier subconjunto A de un espacio muestral \(\Omega\) se llama Evento.
Si \(\Omega = \{1,2,3,4,5,6 \}\). Entonces, \(A = \{2,4,6 \}\) es un evento de los números pares.
Si \(\Omega = \{Alberto, Bernardo, Carlos, Daniel, Eliana \}\). Entonces, \(A = \{Alberto, Eliana \}\) es un evento de los nombres que inician con vocal.
Es posible considerar el conjunto vacío como un evento.
Tu turno
Plantea un fenómeno aleatorio. Encuentra su espacio muestral y algunos eventos de tu interés.
En muchos casos, debemos ser capaces de resolver un problema de probabilidad por conteo del número de puntos muestrales tanto en el espacio muestral como en los eventos de interés. El objetivo de las técnicas de conteo es contar sin necesidad de hacer una lista de cada uno de los casos.
Un principio fundamental del conteo es la Regla de Multiplicación.
# REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
# Si una decisión puede ser hecha en n1 formas, y si por cada una de esas formas una segunda decisión puede ser hecha en n2 formas, entonces las dos decisiones pueden ser hechas conjuntamente en n1*n2 formas. 1- Si un salón de clase con 25 alumnos necesita elegir un representante y un tesorero. De cuántas formas pueden ser electos?
2- Cuántos puntos muestrales hay en el espacio muestral si dos dados son lanzados simultaneamente?
Tu turno
3- De una baraja de Póker se extraen dos cartas. Cuántas manos posibles pueden resultar? La extracción es sin reemplazamiento.
La regla de multiplicación puede ser extendida a cualquier número finito de decisiones.
# REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN GENERALIZADA
# Si una decisión puede ser hecha en n1 formas, y si por cada una de esas decisiones una segunda decisión puede ser hecha en n2 formas, y si por cada par de esas dos decisiones anteriores una tercera decisión puede ser hecha en n3 formas, y así sucesivamente hasta tomar k decisiones, entonces las k decisiones pueden ser hechas conjuntamente en n1*n2*...*nk formas. 1- De cuántas maneras se puede formar un número par con los dígitos 8,7,6,3,2 y 9? Cada dígito es usado una sóla vez.
2- De cuántas maneras se puede formar un número par con los dígitos 8,7,6,3,2 y 9? Se permite repetir dígitos.
Tu turno
3- De cuántas maneras se puede formar un número impar con los dígitos 5,7,6,3,0 y 9? Cada dígito es usado una sóla vez.
4- De cuántas maneras se puede formar un número impar con los dígitos 5,7,6,3,0 y 9? Se permite repetir dígitos.
Existen situaciones en donde estamos interesados en todos los posibles arreglos u ordenes de n objetos diferentes.
# PERMUTACIONES
# A cada posible arreglo de un conjunto de objetos diferentes se le llama Permutación. Considere las letras e,c,i. Todas las posibles permutaciones son:
# cei
# cie
# eci
# eic
# ice
# iecEn general, si estamos considerando todos los posibles ordenes de n objetos distintos existen:
# n*(n-1)*...*2*1 El anterior producto se denota por \(n!\) y see lee n factorial.
1- Una familia compuesta por un padre, una madre, un hijo y una hija va al cine. Si la familia se quiere sentar en una misma fila y unidos. De cuántas formas pueden hacerlo?
2- Un presidente y un vicepresidente deben ser escogidos de 30 estudiantes. De cuántas maneras pueden ser elegidos si:
a- No hay ninguna restricción.
b- A estará sólo si es presidente.
c- B y C participan sólo si están juntos, de lo contrario no.
d- D y E no puden estar juntos.
Tu turno