Regresión con Matrices en R

https://youtu.be/KIniq3H-lHk

Modelo Lineal Simple:

\[Y=X\beta+U\] se puede expresar como \[Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+U_i\]

Práctica 1 (Pta 8). Con la siguiente información

y <- c(2, 3, 5, 6, 8, 9, 10) #creando un vector con 7 elementos
y

## [1]  2  3  5  6  8  9 10

x <- c(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) #creando un vector con 7 elementos
x

## [1] 1 2 3 4 5 6 7

1. Relice el gráfico de dispersión

plot(x,y)

2. Encuentre el modelo estimado

   Primero Creamos la matriz de datos X

x<-cbind(c(1:1),x);x#aumentamos una columna de unos que hacen referencia a 

##        x
## [1,] 1 1
## [2,] 1 2
## [3,] 1 3
## [4,] 1 4
## [5,] 1 5
## [6,] 1 6
## [7,] 1 7

#la variable x1 i.e. a la constante del modelo 

Encontrando el vector \(\beta\) de coeficientes

t(x)#hallando la transpuesta

##   [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7]
##      1    1    1    1    1    1    1
## x    1    2    3    4    5    6    7

(t(x)%*%x)#hallando la matrix XTX, como es producto de matrices usamos %*%

##        x
##    7  28
## x 28 140

solve(t(x)%*%x)#calculando la inversa de XTX

##                        x
##    0.7142857 -0.14285714
## x -0.1428571  0.03571429

t(x)%*%y#hallando XTY como x es una matriz se usa el producto %*%

##   [,1]
##     43
## x  211

b<-(solve(t(x)%*%x))%*%(t(x)%*%y)#aplicando la formula de b por mco
b

##        [,1]
##   0.5714286
## x 1.3928571

\[\beta=\begin{pmatrix}0.57\\1.39 \end{pmatrix}\]

Asi entonces el modelo estimado es: \[ \widehat{Y}_i=0.57+1.39X_i\]

• Valores de \(\widehat{Y}_i\)

#y estimado
yest<-x%*%b#determinando y estimado con el vector de parametros estimados b
yest

##           [,1]
## [1,]  1.964286
## [2,]  3.357143
## [3,]  4.750000
## [4,]  6.142857
## [5,]  7.535714
## [6,]  8.928571
## [7,] 10.321429

• Error del modelo

e<-y-yest
e

##             [,1]
## [1,]  0.03571429
## [2,] -0.35714286
## [3,]  0.25000000
## [4,] -0.14285714
## [5,]  0.46428571
## [6,]  0.07142857
## [7,] -0.32142857

3. Interprete los estimadores

4. Encontrando el coeficiente de determinación \(R^2\)

scne<-t(e)%*%e;scne

##           [,1]
## [1,] 0.5357143

t(y)%*%y

##      [,1]
## [1,]  319

t(b)%*%(t(x)%*%y)

##          [,1]
## [1,] 318.4643

ete<-(t(y)%*%y)-(t(b)%*%(t(x)%*%y));ete

##           [,1]
## [1,] 0.5357143

sce<-(t(b)%*%(t(x)%*%y))-7*(mean(y))^2;sce

##          [,1]
## [1,] 54.32143

sct<-(t(y)%*%y)-7*(mean(y))^2;sct

##          [,1]
## [1,] 54.85714

R2<-sce/sct;R2

##           [,1]
## [1,] 0.9902344

4. Realizar la prueba de hipotesis \(t\) y \(F\)

• Encontrando el estadístico \(F\)

mce<-sce/(2-1);mce#k-1, donde k es el numero de parametros a estimar 

##          [,1]
## [1,] 54.32143

mcne<-scne/(7-2);mcne#n-k

##           [,1]
## [1,] 0.1071429

Fs<-mce/mcne;Fs

##      [,1]
## [1,]  507

• Encontrando \(t_{\beta_1}\) para el Modelo lineal simple

tb1<-sqrt(Fs);tb1

##          [,1]
## [1,] 22.51666

Tarea: Para consolidar esta parte, sugiero realizar los siguientes incisos

1.- Realiza el mismo modelo pero sin la constante

2.- Realiza el mismo modelo con desvios

3.-Realiza lo mismo con los siguientes datos produccion: 3 1 8 3 5 y la ventas: 3 1 5 2 4

4.-Realiza lo mismo, con los datos produccion: 3 1 8 3 5 , las ventas: 3 1 5 2 4 y la inversion: 5 4 6 4 6