Sejam \(Y_1,\ldots,Y_n\) variáveis aleatórias independentes, cada uma com função densidade ou função de probabilidades na forma dada abaixo
\[f(y_i,\theta_i,\phi)=\exp{[\phi\{y_i\theta_i-b(\theta_i)\}+c(y_i,\phi)]}.\]
Podemos mostrar sob as condições usuais de regularidade
\[E\left \{\frac{\partial\log f(Y_i,\theta_i,\phi)}{\partial\theta_i} \right\}=0\]
e
\[E\left \{\frac{\partial^2\log f(Y_i,\theta_i,\phi)}{\partial\theta_i^{2}} \right\}=-E\left \{\frac{\partial\log f(Y_i,\theta_i,\phi)}{\partial\theta_i} \right\}^2.\]
Para a primeira condição de regularidade temos,
\[=E\left \{\frac{\partial\log f(Y_i,\theta_i,\phi)}{\partial\theta_i} \right\}\\ =E\left \{\frac{\partial\log \exp{[\phi\{y_i\theta_i-b(\theta_i)\}+c(y_i,\phi)]}}{\partial\theta_i} \right\}\]
derivando parcialmente em \(\theta\), temos
\[=E\left\{ \phi[y_i\theta_i-b(\theta_i)] \right\}=\phi E[Y_i-b'(\theta_i)]\\ =\phi \{E[Y_i]-E[b'(\theta_i)]\}=\phi\{\mu_i-b'(\theta_i)\}\]
Por definição, \(b'(\theta_i)=\mu_i\), então temos
\[\phi\{\mu_i-\mu_i\}=\phi\{0\}=0_{(zero)}. C.Q.D.\]
Para segunda condição de regularidade temos
\[E\left \{\frac{\partial^2\log f(Y_i,\theta_i,\phi)}{\partial\theta_i^{2}} \right\}=E\left \{\frac{\partial\phi[y_i\theta_i-b(\theta_i)]}{\partial\theta_i} \right\}\\ E[-\phi b''(\theta_i)]=-\phi E\{b''(\theta_i)\}=-\phi b''(\theta_i)\]
Por definição, \(b''(\theta_i)=V(\mu_i)\), então temos
\[-\phi b''(\theta_i)=-\phi V(\mu_i).\]
Seguindo
\[=-E\left \{\frac{\partial [\phi\{y_i\theta_i-b(\theta_i)\}+c(y_i,\phi)]}{\partial\theta_i} \right\}^2\\ =-E\left \{(\phi(y_i-b'(\theta_i))^2 \right\}\\ =-(\phi^2E(y_i^2)-2\phi b'(\theta_i)E(y_i)+\phi^2b'(\theta_i)^2)\\ \]
Como \(E(y_i^2)=\sigma^2+\mu^2\), ou seja,\(\phi^{-2}+\mu^2\) temos
\[ =-(\phi^2(\phi^{-2}+\mu^2)-2b'(\theta_i)\mu_i+b'(\theta_i)^2))\\ \ldots \]