Interpolación espacial

Maestría en Estadística Aplicada

Roberto Trespalacios

• Interpolación espacial
  • Clasificación de la interpolación espacial.
  • Proximidad por poligonos de Voronoi.
  • KNN.
  • Distancia inversa.
  • Spline de placa delgada (Thin plate spline).
  • Kriging

• Casi cualquier variable de interés tiene autocorrelación espacial.
• Eso puede ser un problema en las pruebas estadísticas, pero es una característica muy útil en la estimación y predicción espacial, ya que generalmente nos ocupamos de que los valores en ubicaciones cercanas sean similares.
• Existen múltiples técnicas de interpolación espacial. Mostraremos algunas de ellas.
• Pero antes, veamos su clasificación.

Las técnicas de interpolación pueden clasificarse en las siguientes cinco clases principales:

• Interpolación de punto/interpolación de área
• Interpolaciones globales/locales
• Interpolaciones exactas/aproximadas
• Interpolaciones estocástica/determinista
• Interpolaciones graduales/abruptas

• En la interpolación de puntos, dado un número de puntos cuyas ubicaciones y valores son conocidos, determine los valores de otros puntos en ubicaciones predeterminadas.
• La interpolación de puntos se usa para datos que se pueden recopilar en ubicaciones de puntos.
• Ejemplo: lecturas de estaciones meteorológicas, alturas de puntos, lecturas de pozos de petróleo, mediciones de porosidad.
• La interpolación punto a punto es el tipo de interpolación espacial que se realiza con más frecuencia en GIS(Sistema de informacion georeferencial).
  Datos de precipitaciones

• Los datos de entrada no necesariamente tienen que ser puntos. De hecho, puntos, líneas y/o áreas pueden ser interpoladas.
• A menudo, los mapas tienen la elevación representada como isolíneas, donde la elevación es la misma a lo largo de una línea particular.
• Si tales isolíneas se digitalizaran, podrían interpolarse para crear una superficie continua (DEM). Pero a menudo, las isolíneas son el resultado de una primera interpolación.
  Lineas de contornos para la elevación

• La tercera opción, la interpolación basada en áreas, no es muy común, pero existe sin embargo.
• En la interpolación por áreas, dado un conjunto de datos mapeados en un conjunto de zonas de origen, determina los valores de los datos para un conjunto diferente de zonas objetivo.
• Ejemplo: si se tiene un ráster poblacional, que muestra el número de personas por \( km^2 \) y se quiere estimar la población por municipio, se podría utilizar dicho método.
  Conteos de población para secciones censales, estimación de poblaciones para distritos electorales

• Los métodos de interpolación global aplican una única función(método) matemática a todos los puntos de datos observados y generalmente producen superficies lisas.
• Un cambio en un valor de entrada afecta todo el mapa.
• La interpolación global se usa cuando hay una hipótesis sobre la forma de los datos sobre la superficie en general.
• Los métodos locales aplican repetidamente una única función matemática a pequeños subconjuntos del conjunto total de puntos de datos observados y luego vinculan estas superficies regionales para crear una superficie compuesta que cubre todo el área de estudio.
• Un cambio en un valor de entrada solo afecta el resultado dentro de la ventana.
• Algunos interpoladores locales pueden ampliarse para incluir una gran proporción de los puntos de datos en el conjunto, lo que los hace en un sentido global.

• Los métodos exactos de interpolación de puntos respetan todos los puntos de datos observados para los cuales hay datos disponibles.
• Esto significa que la superficie producida pasa exactamente a través de los puntos de datos observados, y no debe suavizar o alterar sus valores.
• Los métodos exactos son más apropiados cuando hay un alto grado de apego a las mediciones realizadas en los puntos de datos observados.
• Interpoladores proximales, B-splines y el método Kriging, estiman sobre todos los puntos de datos dados
• Los métodos de interpolación aproximados no tienen que respetar los puntos de datos observados, pero pueden suavizarlos o modificarlos para que se ajusten a una tendencia general.
• Los métodos aproximados son más apropiados cuando existe un grado de incertidumbre en torno a las mediciones realizadas en el punto de muestra.

• Los métodos de interpolación gradual y abrupta se distinguen por la continuidad de la superficie producida.
• Los métodos graduales producen una superficie lisa entre los puntos de muestra, mientras que los métodos abruptos producen superficies con una apariencia escalonada.
• El modelo de terreno puede requerir ambos métodos, ya que puede ser necesario reproducir cambios graduales entre los puntos observados, por ejemplo en un terreno ondulado, y cambios abruptos en los que se producen acantilados y valles.
• Un ejemplo típico de un interpolador gradual es el promedio móvil ponderado por distancia.
• Usualmente produce una superficie interpolada con cambios graduales.
• Sin embargo, si el número de puntos usados en el promedio móvil se reduce a un número pequeño, o incluso uno, habría cambios abruptos en la superficie. Ejemplo: Frentes meteorológicos producirá valores rápidamente cambiantes pero continuos. Fallas geológicas producirá cambios abruptos.

• Vamos a interpolar (estimar las ubicaciones no muestreadas) los valores de precipitación.
• La forma más simple sería tomar la media de todas las observaciones.
• Podemos considerar ese “modelo básico” con el que podemos comparar otros enfoques.
• Utilizaremos el error mínimo cuadrático medio (EMCM) como estadística de evaluación.

EMCM <- function(observado, predicho) {
  sqrt(mean((predicho - observado)^2, na.rm=TRUE))
}

mod.bas <- EMCM(mean(dsp$prec), dsp$prec)

En la interpolación del vecino más cercano (KNN) tenemos los vecinos de interpolación más cercanos (k=5).

• Usaremos la librería gstat para esto.
• Primero nos ajustamos a un modelo con donde ~1 significa “interceptar solamente”.
• En el caso de los datos espaciales, eso sería solo coordenadas 'x' e 'y'.
• Establecemos el número máximo de puntos en 5, y la “potencia de distancia inversa” idp en cero (esto significa que todos los vecinos tienen igual peso).

library(gstat)
gs <- gstat(formula=prec~1, locations=dta, nmax=5, set=list(idp = 0))
nn <- interpolate(r, gs)
nnmsk <- mask(nn, vr)
nnmsk[] <- nnmsk[]
plot(nnmsk)

• Este método de distancia inversa ponderada es comúnmente utilizado.
• La única diferencia con el enfoque KNN, es que es más importante los que tienen un mayor peso(menor distancia).

library(gstat)
gs <- gstat(formula=prec~1, locations=dta, set=list(idp = 2))# p=2 por defecto
idw <- interpolate(r, gs)

idwr <- mask(idw, vr)
plot(idwr)

• Los splines de placa delgada (TPS) son una técnica basada en splines para la interpolación y el suavizado de datos.
• Fueron presentados al diseño geométrico por el matemático norte americano Dennis Duchon. Son un caso especial importante de un spline poliarmonico (\( \Delta^m f= 0 \)).
• El TPS surge de la consideración de la integral del cuadrado de la segunda derivada; esto forma su medida de suavidad.
• Para \( x \) bidimensional, la interpolación TPS ajusta una función de mapeo \( f(x) \) entre los conjuntos de puntos correspondientes \( \{y_i\} \) y \( \{x_i\} \) que minimiza la siguiente función: \[ E_{tps}(f) = \sum_{i=1}^K \|y_i - f(x_i) \|^2 \] La variante de suavizado, en consecuencia, usa un parámetro de penalización \( \lambda \) para el ajuste y para controlar la deformación (\( K \) es el número de nodos interiores), minimizando así: \[ E_{tps,suavisada}(f) = \sum_{i=1}^K \|y_i - f(x_i) \|^2 + \lambda \iint\left[\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}\right)^2 + 2\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}\right)^2 + \left(\frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2}\right)^2 \right] \textrm{d} x_1 \, \textrm{d}x_2 \]

library(fields)
m <- Tps(coordinates(aq), aq$OZDLYAV)
tps <- interpolate(r, m)
tps <- mask(tps, idw)
plot(tps)