### Inferência Estatística
## Lista de exercícios 3
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# Exercício 1 #
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# Dados do problema:
# Media da amostra ou estimativa: xbar 7.25
# Hipotese nula: mu0 6.7
# Significância do teste: Alfa 0.01
# Nível de confianca do teste: 1 - 0.01 = 99
xbar <- 7.25
n <- 200
dvpd <- 2.5
mu0 <- 6.7
alfa <- 0.01
nconf <- 1 - alfa
zcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
zcalc # 3.1112
## [1] 3.11127
# O resultado de Zcalc indica um valor de rejeição na calda superior.
# Deve-se calcular o Zcrit para indicar a aceitação ou não da hipótese nula.
zcrit <- qnorm(nconf)
zcrit # 2.3263
## [1] 2.326348
# Este calculo indica que Zcalc > Zcrit, por tanto, dentro da zona de rejeição da hipótese nula.
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# Exercício 2 #
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# Dados do problema:
# Media da amostra ou estimativa: xbar 27500
# Hipotese nula: mu0 28000
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Nível de confianca do teste: 1 - 0.05 = 95
xbar <- 27500
n <- 30
dvpd <- 1000
mu0 <- 28000
alfa <- 0.05
nconf <- 1 - alfa
zcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
zcalc # -2.7386
## [1] -2.738613
# O resultado de Zcalc indica um valor de rejeição na calda inferior.
# Deve-se calcular o Zcrit para indicar a aceitação ou não da hipótese nula.
zcrit <- qnorm(nconf)
-zcrit # -1.6448
## [1] -1.644854
# Este calculo indica que Zcalc > Zcrit, por tanto, dentro da zona de aceitação da hipótese nula.
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# Exercício 3 #
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# dados do exercício:
# Media da amostra ou estimativa: xbar 7
# Hipotese nula: mu0 8
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Nível de confianca do teste: 1 - 0.05 = 95
xbar <- 7
n <- 40
dvpd <- 3.2
mu0 <- 8
alfa <- 0.05
nconf <- 1 - alfa
zcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
zcalc # -1.9764
## [1] -1.976424
# O resultado de Zcalc indica um valor de rejeição na calda inferior.
# Deve-se calcular o Zcrit para indicar a aceitação ou não da hipótese nula.
zcrit <- qnorm(nconf)
-zcrit # -1.6448
## [1] -1.644854
pval <- pnorm(zcalc)
pval # 0.0240
## [1] 0.02405341
# a) Para rejeitarmos a hipótese nula, o resultado do Zcalc deverá estar dentro da zona de rejeição, ou menor que Zcrit.
# b) Analisando os resultados acima, concluímos que Zcalc < Zcrit. A hipótese nula está rejeitada.
# c) O P valor encontrado em R é 0.02, que é menor que a significância do teste 0.05.
# Este calculo indica que Zcalc < Zcrit, por tanto, fora da zona de aceitação da hipótese nula.
# O calculo do P valor também indica rejeição da hipótese nula.
# Os dois métodos utilizados dão consistência a rejeição da hipótese nula.
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# Exercício 4 #
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# dados do exercício:
# Media da amostra ou estimativa: xbar 7.5
# Hipotese nula: mu0 8
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Nível de confianca do teste: 1 - 0.05 = 95
xbar <- 7.5
mu0 <- 8
n <- 120
dvpd <- 3.2
alfa <- 0.05
zcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
zcalc # -1.9764
## [1] -1.711633
zcrit <- qnorm(1 - alfa/2)
-zcrit # -1.9599
## [1] -1.959964
pval <- pnorm(zcalc) * 2
pval # 0.0481
## [1] 0.08696432
# O teste da hipótese nula deve atentar-se para valores acima e abaixo do tempo médio de espera nesta loja.
# O que caracteriza duas caudas para zona de rejeição, e altera a fórmula de Zcrit.
# a) Analisando os resultados acima, observamos que Zcalc está dentro da zona de rejeição, pois -1.98 < -1.96,
# ou diferente dos 8 minutos estimados.
# b) O valor do P teste é 0.0481. O P valor é menor que a significância do teste, por isso deve ser rejeitado.
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# Exercício 5 #
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# dados do exercício:
# Hipotese nula: mu0 2.2
# Media da amostra ou estimativa: xbar 2.39
# Significância do teste: Alfa 0.02
# Nível de confianca do teste: 1 - 0.02 = 98
mu0 <- 2.2
xbar <- 2.39
n <- 45
dvpd <- 0.2
alfa <- 0.02
zcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
zcalc # 6.3727
## [1] 6.372794
zcrit <- qnorm(1 - alfa/2)
-zcrit # -2.3263
## [1] -2.326348
pval <- pnorm(zcalc) * 2
pval # 0.0481
## [1] 2
# O teste da hipótese nula deve atentar-se para valores acima e abaixo do tempo médio de fabricação.
# O valor de Zcalc está dentro da zona de rejeição, segundo cálculo do Zcrit de +/- 2.3263. Porém, realizando
# o teste o P valor, encontramos um fator de aceitação pois 0.048 é maior que o nível de significância.
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# Exercício 6 #
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# dados do exercício:
# Hipotese nula: mu0 61650
# Media da amostra ou estimativa: xbar 72800
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Nível de confianca do teste: 1 - 0.05 = 95
mu0 <- 61650
xbar <- 72800
n <- 36
dvpd <- 5000
alfa <- 0.05
# a) Para 95% de intervalo de confiança, temos 0.05% distribuidos nas duas caudas.
# 0.025 representa +/- 1.9599.
# b) O cálculo do teste de hipótese será:
zcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
zcalc # 13.38
## [1] 13.38
zcrit <- qnorm(1 - alfa/2)
-zcrit # -1.9599
## [1] -1.959964
# Zcalc > Zcrit, por tanto, o teste de hipótese nula deve ser rejeitado.
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# Exercício 7 #
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# dados do exercício:
# Hipotese nula: mu0 300
# Media da amostra ou estimativa: xbar 280
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Segundo informações de tabela, t = 1,796.
# Neste exercício será necessário utilizar T Student pela quantidade de amóstras.
mu0 <- 300
vetor <- c(290,275,310,260,270,275)
soma <- sum(vetor)
n <- 6
xbar <- (soma)/n
dvpd <- sd(vetor)
alfa <- 0.05
tcalc <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
tcalc # -0.9797
## [1] -2.782433
# O valor de t é inferior ao valor de tabela para 5% de t, dessa forma -0.98 < 1.80
# não podemos rejeitar esta hipótese.
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# Exercício 8 #
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# dados do exercício:
# Hipotese nula: mu0 2
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Segundo informações de tabela, t005 = 2.262
# Neste exercício será necessário utilizar T Student pela quantidade de amóstras.
mu0 <- 2
vetor <- c(1.9,1.7,2.8,2.4,2.6,2.5,2.8,3.2,1.6,2.5)
soma <- sum(vetor)
n <- 10
xbar <- (soma)/n
dvpd <- sd(vetor)
alfa <- 0.05
t <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
t # 2.4494
## [1] 2.44949
t005 <- 2.262 # Dados da tabela para bicaudal a 95%, trabalhando com 9 graus de liberdade.
# Para a aprovação da hipótese, estamos buscando valores P(-2.262 < t < 2.262). Como t ficou
# fora do intervalo, devemos rejeitar esta hipótese.
# Verifique a página: https://pt.wikipedia.org/wiki/Distribuição_t_de_Student
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# Exercício 9 #
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# dados do exercício:
# Hipotese nula: mu0 12
# Media da amostra ou estimativa: xbar 280
# Significância do teste: Alfa 0.05
# Segundo informações de tabela, t = 1,796.
# Neste exercício será necessário utilizar T Student pela quantidade de amóstras.
n <- 12
vetor <- c(2216,2237,2249,2204,2225,2301,2281,2263,2318,2255,2275,2295)
# a) Dado esta pequena amostra e observando apenas o gráfico de distribuição, não é possível
# afirmar que esta amostra seja normalmente distribuída.
plot(vetor, type = "b", xlab = "Quantidade de amostras", ylab = "Valor de resistência")
# b) Adicionando mais variáveis é possível calcular o t de Student. Utilizando o grau de
# liberdade 11, encontrando o valor em tabela de 2.201 para um gráfico bicaudal.
# Para a aprovação da hipótese, estamos buscando valores P(-2.201 < t < 2.201). Como t ficou
# dentro do intervalo, podemos aceitar esta hipótese.
mu0 <- 2250
alfa <- 0.05
soma <- sum(vetor)
dvpd <- sd(vetor)
xbar <- (soma)/n
t <- (xbar - mu0) / (dvpd / sqrt(n))
t # 0.9657
## [1] 0.9657866
t005 <- 2.201
# c) O intervalo bilateral de confiança de 95% será:
malfa <- qnorm(1 - alfa/2)
intbilatconf <- c(-malfa, malfa)
intbilatconf # -1.9599 1.9599
## [1] -1.959964 1.959964