Entonces se le acercó Pedro y le preguntó: “Señor, ¿cuántas veces he de perdonar a mi hermano si peca contra mí? ¿Hasta siete veces?” Dícele Jesús: “No digo yo hasta siete veces, sino hasta setenta veces siete”. (Mt. 18,21-22)

1. Presentación

En la cita evangélica del epígrafe, está claro que la respuesta de Jesús a Pedro no pretende establecer una cota numérica, sino enfatizar que el perdón debe otorgarse un número ilimitado de veces. Y está claro también que no habría querido oscurecer su respuesta con complicaciones aritméticas, incomprensibles para un pescador galileo de hace veintiún siglos.

Sin embargo, en otras circunstancias y con otro auditorio, ¿no habría empleado esos mismos números para obtener resultados que relievaran más el concepto? Concretamente, podía haber recurrido al uso de exponentes - ya Euclides, y también Arquímedes, más de doscientos años antes, los habían introducido - y haber dicho: “hasta 7 a la 70 veces”. O tal vez “hasta 70 a la 7 veces”. ¿O hay interpretaciones ocultas en su respuesta, reservadas a siglos posteriores? ¿Cuál es la alternativa más contundente para el efecto?.

El evangelio del XXIV domingo ordinario, del cual he tomado el epígrafe que motiva este artículo, siempre ha suscitado en mí esas preguntas. Ahora he tratado de elucubrar un poco al respecto, utilizando algo de Aritmética, de Análisis Matemático y la ayuda del MATLAB, ambiente de programación y visualización.

El planteamiento: hallar el mayor número expresable con setenta sietes, y no más de una operación elemental.

La interpretación de “setenta veces siete” que primero viene a la mente, 70 x 7, donde el sustantivo veces hace el papel del operador multiplicativo (al modo de times en inglés), vale 490, que como cota superior parece insuficiente. Si recordamos otro pasaje evangélico, esta vez de Lucas (Luc. 17,4): “Y si (tu hermano) peca siete veces al día contra ti, y siete veces vuelve a ti diciendo”Me arrepiento“, le perdonarás.”, cuatrocientos noventa perdones podrían otorgarse en setenta días, apenas poco más de dos meses, período insignificante en una relación entre hermanos, que puede prolongarse fácilmente por décadas y décadas.

Si en lugar del operador multiplicativo usamos el exponencial, hay dos alternativas que debemos comparar: \(7^{70}\) y \(70^7\). No es difícil, aún sin recurrir más que a una rápida estimación mental, percatarnos de que \(7^{70}\) es mucho mayor que \(70^7\): calculemos su cociente, que en ese caso deberá resultar mucho mayor que 1. Si usamos logaritmos comunes: \[log(\frac{7^{70}}{70^7}) = log(7^{70}) - log(70^7) = 70 \times log(7)-7 \times (1+log(7)) = 63 \times log(7)-7\] Obviamente, esta diferencia es positiva, como se puede concluir a partir de la conocida relación \(2^{10} \sim 10^3\), de donde \(log(2) \sim 0.3\), y \(log(3.2) = log(32)-1 = log(2^5)-1 = 5 \times log(2)-1 \sim 0.5\). Si consideramos que \(7 > 2 \times 3.2\), podemos decir que \(log(7) > 0.3+0.5 = 0.8\), de modo que \(63 \times log(7) - 7 > 50.4 - 7 = 43.4 > 1\). El cociente que nos interesa, entonces, no sólo será mayor que 1, sino que tendrá más de \(44\) cifras enteras.

Ya recurriendo a una calculadora se encuentra que \(log(7^{70})-log(70^7) = 46.24...\), de manera que el cociente \(\frac{7^{70}}{70^7}\) es el número positivo \(1.7425... \times 10^{46}\)).

De donde el mayor número expresable utilizando sólo \(7\) y \(70\) tiene sesenta cifras enteras y es \(7^{70} = 1.435... \times 10^{59}\) (ya considerablemente grande en cualquier contexto).

Pero, desde la perspectiva actual, quedan aún interpretaciones por considerar: por ejemplo el número entero de \(70\) dígitos, todos iguales a 7 (llamémosle \(\mathcal{N}_{70}\)). No consta aquí, pues es largo de escribir y de leer, y es fácil equivocarse en el conteo. Sin embargo, puede expresarse más cómodamente si lo consideramos como la suma de la progresión geométrica \(7 + 70 + 700 + ... + 7 \times 10^{69}\), de razón \(r = 10\), cuyo primer término es \(a = 7\) y el último \(l = 7 \times 10^{69}\).

De acuerdo con la conocida fórmula, la suma es:1 \[S = \frac{l \times r - a}{r - 1} = \frac{7.E70 - 7}{10-1} = \frac{7}{9} (1.E70 - 1) = \mathcal{N}_{70}\] Expresado con 4 cifras significativas redondeadas, corresponde a \(7.778 E+69\), mucho mayor que \(7^{70}\), y cerca de diez millones de veces mayor que la estimación de Arquímedes para el número de granos de arena que caben en el universo (según el modelo de Aristarco de Samos). ¿Será, pues, ésta la respuesta que la sabiduría divina, al contestar a Pedro, proyecta hacia tiempos futuros, en los que ya habrían de conocerse el sistema decimal y la notación posicional? Construyamos algunas herramientas para tratar de responder.

1.1 Generalización

Se necesita, para lo posterior, conocer cuál es el mayor número que puede alcanzarse al hacer una operación aritmética sobre dos números reales positivos cualesquiera, \(a\) y \(b\): ¿Cuál es mayor, \(a^b\) o \(b^a\)? En el ejemplo prevaleció el caso que usaba el menor número como base, pero no es difícil convencerse de que no siempre es así. Bastan dos contraejemplos: \(a =1\), ya que \(1^b < b^1, \forall _{b>1}\); 2 y el par \((a,b) = (2,3)\), pues \(2^3 < 3^2\), pese a que \(2 < 3\).

Lo que sigue analiza el asunto y busca exponer y visualizar con sencillez el panorama de las soluciones, que será usado finalmente en la búsqueda de la respuesta.

2. Análisis de la relación entre \(a^b\) y \(b^a\)

2.1. Definición de funciones adecuadas

Se trata de determinar en qué intervalos de \(\mathbb{R}^+\) se cumple que \(b^a \geq a^b\) y en cuáles no. Para estudiarlo, buscamos una función adecuada . La más directa sería la que expresa, para cualquier valor de \(x\), la diferencia \(g_a(x) = x^a - a^x\), cuyo parámetro \(a\) representa a uno de los dos números en cuestión, mientras el argumento \(x\) representa al otro.

Sin embargo, como vimos en el ejemplo, los valores que pueden surgir al evaluar esta función pueden ser enormes y algo incómodos de manejar, lo cual sugiere la conveniencia de utilizar el equivalente logarítmico: \[x^a \geq a^x \Leftrightarrow a \times ln(x) \geq x \times ln(a) \Leftrightarrow \frac{ln(x)}{ln(a)} \geq \frac{x}{a} \Leftrightarrow \frac{ln(x)}{ln(a)} - \frac{x}{a} \geq 0\] para valores de \(a\) y \(x\) mayores que 1. Conviene asimismo utilizar ahora logaritmos naturales (\(ln(x)\)). La función que usaremos, es, entonces: \[\begin{equation} f_a(x) = \frac{ln(x)}{ln(a)} - \frac{x}{a} \quad , \quad a \neq 0. \end{equation}\]

continua y derivable para \((a,x) > 0\). Estudiaremos en qué subintervalos es menor, igual o mayor que cero, concretándonos por ahora al intervalo \((1,\infty)\).

2.2. Dominio y alcance

El dominio de \(f_a\) es \(\mathbb{R}^+\), es decir \((0,\infty)\), pues los logaritmos reales están definidos sólo en ese intervalo.

Su derivada \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x \times ln(a)} - \frac{1}{a}\) se anula únicamente en \(x = \frac{a}{ln(a)}\) y es positiva a la izquierda de ese punto y negativa a la derecha. De modo que \(f_a(x)\) tiene ahí su punto máximo \(P\), cuya ordenada es \(f_a(\frac{a}{ln(a)}) = \frac{ln(a) - ln(ln(a)) - 1}{ln(a)}\)

Este valor de \(f_a\) es positivo para \((a,x) > 1\), lo cual indica que es el punto más alto perteneciente al intervalo donde \(\frac{ln(x)}{ln(a)} - \frac{x}{a} \geq 0\), que estamos buscando. Por ejemplo, cuando \(a = 2\) el máximo de \(f_2(x)\) es el punto \(P \leftrightarrow (2.8854,0.08607)\), donde la diferencia \(x^a - a^x\) es la mayor de todas.

Como la función \(f_a\) es primero creciente y luego decreciente, su alcance es \((-\infty,\frac{ln(a) - ln(ln(a)) - 1}{ln(a)}]\).

Si bien se la puede graficar directamente, es más instructivo representar sus dos componentes. Definimos, entonces, en el mismo dominio, otras dos funciones: \(f_{1a}\) y \(f_{2a}\), tales que \(f_a = f_{1a} - f_{2a}\) para \(a \neq 0\): \[\begin{eqnarray*} f_{1a}(x) & = & \frac{ln(x)}{ln(a)} \quad , a \neq 1 \\ f_{2a}(x) & = & \frac{x}{a} \quad \quad , a \neq 0 \end{eqnarray*}\]

2.3. Intersecciones e intervalo buscado

Al graficar las dos funciones para el mismo valor del parámetro \(a\) en el plano coordenado (Figura 1) podemos apreciar que \(f_{1a}(x)\) describe una curva convexa mientras \(f_{2a}(x)\) es una recta ascendente. En cada uno de los dos casos representados las intersecciones de las dos curvas son las únicas soluciones de la ecuación \(f_a(x) = 0\) y marcan los extremos del intervalo que nos interesa.

Una obvia solución es \(x = a\), puesto que \(f_a(a) = \frac{ln(a)}{ln(a)} - \frac{a}{a} = 0\). Usando \(g_a(x)\), análogamente, obtenemos \(g_a(a) = a^a - a^a = 0\). Interesa, entonces, hallar la otra solución.
Figura 1

En la Figura 1 pueden verse los gráficos para \(a = 2\) y \(a = 7\). El guion MATLAB que los elaboró calculó la solución en la que \(x \neq a\), mediante el método numérico de Newton-Raphson, e imprimió (registrando sólo 4 dígitos decimales) el intervalo donde \(x^a \geq a^x\). Nótese que, conforme ya se había intuido, en el caso de \(a = 2\) la raíz igual a \(a\) es el extremo izquierdo del intervalo, mientras cuando \(a = 7\) es el derecho, como sucederá a partir de algún valor de \(a\) que se encuentra en \([2,3]\) y que calcularemos más adelante.

Del segundo caso (\(a = 7\)) obtenemos, además, la respuesta al problema inicialmente planteado: el intervalo donde \(x^7 \geq 7^x\) no contiene el valor \(x = 70\). Por consiguiente, \(70^7 < 7^{70}\). Obviamente, usando \(a = 70\) podríamos igualmente comprobar en qué intervalo \(x^{70} \geq 70^x\), y el valor \(x = 7\) estará en él, corroborando lo dicho.

2.4. Vista panorámica

Si bien el guion utilizado anteriormente puede darnos los resultados de casos particulares, no presenta un panorama suficientemente general de la solución. Se puede elaborar un gráfico global, que permita formular la regla buscada.

2.4.1 Usar los intervalos en delimitar las zonas

Una vez escogido el intervalo de análisis \(\alpha = (1,a_{max}]\) y un paso conveniente, lo recorremos asignando cada vez un valor a \(a \in \alpha\), y para cada valor determinamos el intervalo en el que \(x^a >= a^x\). Como ya se dijo, este proceso lo realiza el algoritmo de Newton, de orden de convergencia cuadrático, y, con la velocidad actual de los procesadores de punto flotante, la vecindad entre las soluciones para valores de \(a\) vecinos, y la forma regular de la función cuyos ceros se buscan, el proceso es prácticamente transparente. Sólo conviene recordar que, al calcular el extremo diferente (de \(a\)) hay que recordar que en ciertas zonas será el izquierdo y en otras el derecho. De acuerdo con eso se deberá escoger la aproximación inicial \(x_0\).

Conviene visualizar a este proceso como análogo a la evaluación de una función. Pero, en lugar de tener una fórmula explícita para encontrar \(x\), como \(x = h(a)\), que dicte las operaciones necesarias, tenemos la función implícita \(f_a(x) = 0\), (por ejemplo \(a \times ln(x) - x \times ln(a) = 0\)) y al encontrar la raíz no trivial de esta ecuación sólo estamos realizando las operaciones necesarias para hallar la \(x \neq a\) a partir de \(a\), tal como en el caso anterior, y de un algoritmo — es decir, una secuencia finita y perfectamente determinada de operaciones. La única diferencia es que ahora el algoritmo es iterativo.

Asociamos a cada \(a\) considerada los extremos de su intervalo en dos estructuras diferentes, \(\alpha\), ya existente, y \(\beta\), que contendrá los valores de los extremos diferentes. Estas estructuras irán formando los lugares geométricos que limiten la zona del plano donde \(x^a > a^x\).

Para los primeros valores de \(a\), es decir, los que están más cerca de 1, los intervalos tienden a ser amplios: \(a\) en el extremo izquierdo, y un extremo derecho lejano. Por ejemplo, a un valor \(a = 1.01\) le corresponde un extremo derecho de 658.8055. Pero rápidamente disminuye esa distancia: para \(a = 1.21\), ya el extremo derecho está en 18.5321.

Por esta razón, al graficar los puntos guardados en \(\beta\) en la Figura 2, la curva resultante es asintótica a \(x = 1\), y se va separando de la asíntota conforme crece \(a\). Como por otro lado, según lo veremos, es simétrica con respecto a \(y = x\), tiene también asíntota horizontal \(y = 1\). En cambio, el gráfico de los puntos de \(\alpha\) da, naturalmente, la recta \(y = x\), es decir, la bisectriz del primer cuadrante.

Panorama general
Figura 2

En la Figura 2 se han colocado en el eje horizontal los valores de \(a\) y en el vertical los de \(b\). Los extremos de cada intervalo buscado están representados en dos curvas: la azul (recta) corresponde al extremo donde \(a = b\), mientras la roja (tomada de \(\beta\)) es el lugar geométrico de la otra solución, que por simplicidad ha sido etiquetada como \(a \neq b\), aunque esta desigualdad no se cumple en el punto de intersección de ambas curvas.

En cada ordenada, los extremos de un segmento horizontal \(y = b\) que se trace de una curva a otra representarán los dos extremos del intervalo buscado \(I_b\) (en el cual \(a^b \geq b^a\)) para ese valor de \(b\). La longitud de este segmento se hace cero para una ordenada igual a la del punto de intersección de las dos curvas, y crece conforme se aleja de ella, tanto hacia arriba como hacia abajo, aunque en este último caso tiene espacio limitado por la asíntota \(b = 1\). En el punto de intersección se produce una inversión de los extremos del segmento, pues más arriba de él la curva \(b \neq a\) queda a la izquierda de la recta \(a = b\), mientras por debajo sucede lo opuesto: es \(a = b\) la que está a la izquierda de \(b \neq a\).

Dicho de otra forma, los puntos de coordenadas \((a,b)\) que se encuentran en el triángulo superior, a la izquierda de la recta azul \(b = a\), y sobre la ordenada del punto de intersección, corresponden a casos para los que \(a^b > b^a\); y los que se hallan en el triángulo inferior, a la derecha de esa recta, sobre la ordenada de la intersección, representan los casos en que \(a^b < b^a\). Los puntos que se hallan en cualquiera de las dos curvas cumplen con la ecuación \(a^b = b^a\). El lector puede localizar, entonces, al punto \((7,70)\) en el triángulo superior, indicando que \(7^{70} > 70^7\), y al punto \((70,7)\) en el triángulo inferior, de acuerdo con lo que ya se había analizado.

En la pequeña fracción del gráfico que queda bajo la ordenada de intersección, los papeles se invierten, como mostraremos en seguida.

Aunque, por la escala empleada para poder cubrir un amplio espectro de valores, no se pueda apreciar a simple vista el valor correspondiente al extremo que está en la curva \(a \neq b\), ésta se sitúa ligeramente a la derecha de su asíntota \(a = 1\), y se acerca más a ella conforme \(b\) crece. Sus valores pueden apreciarse en gráficos como los de la Figura 1, o mediante la opción Data Cursor del editor de figuras del MATLAB. También la opción zoom de ese mismo editor, que pasamos a utilizar en el siguiente punto, nos permite apreciarlos.

2.5. Bordes y raíz doble

En la Figura 2 hay una estrecha zona que queda entre la curva roja perimetral y los ejes, que no se ha mencionado, porque hemos hecho el análisis sólo para los casos \(a > 1\) y \(b > 1\). La asíntota vertical está en \(a = 1\), puesto que \(f_{1a}\) no está definida, y \(a \in (0,1) \Rightarrow a^b < a < b^a , \; \forall _{b\geq1}\). Esa zona incluye la parte situada entre la asíntota y la curva roja, con límite inferior en la recta \(b = a\). En ella \(a^b < b^a\). En cambio, en la zona situada entre \(b=0\) y la parte prácticamente horizontal de la curva roja, que incluye la zona bajo la asíntota \(b = 1\) a la derecha de \(b = a\), se cumple que \(b^a < a^b\).

Zona de inversión
Figura 3

El punto de inversión de los extremos del intervalo buscado, P, ya mencionado varias veces, merece estudiarse. Como es la intersección entre las dos curvas que delimitan los intervalos, representa el único intervalo que colapsa a un punto; o, dicho de otra manera, el intervalo de extremos coincidentes - que son las dos raíces de la ecuación \(a^b = b^a\). En términos matemáticos, y valiéndonos de la versión logarítmica, la ecuación \(f_{a} = 0\) tiene una raíz doble únicamente para ese valor del parámetro \(a\).

La raíz doble de una ecuación se caracteriza por ser también cero de la derivada de esa ecuación. Al estudiar el máximo de \(f_a\) vimos ya que la derivada de \(f_a(x)\) es: \[ \frac{df_a(x)}{dx} = \frac{1}{x \times ln(a)} - \frac{1}{a}\] Y que \(\frac{df_a(x)}{dx} = 0\) es una ecuación cuya única raíz satisface la expresión \(x \times ln(a) = a \Leftrightarrow x = \frac{a}{ln(a)}\).

Puesto que, al estar también sobre la recta \(b = a\), la raíz \(x\) debe ser igual a \(a\), tenemos que \(\frac{a}{ln(a)} = a \Leftrightarrow ln(a) = 1 \Leftrightarrow a = e\). Así que el punto de inversión es \(P \leftrightarrow (e,e)\), y el intervalo colapsado es \(I_e\). El número trascendente \(e\) es la base de los logaritmos naturales: \(2.718281828459046...\). En la Figura 3 se puede ver que, en efecto, las coordenadas del punto de intersección, expresadas con 4 dígitos significativos, coinciden con ese valor.

La Figura 3 es una ampliación de la zona de inversión de la Figura 2, en donde se pueden ver claramente la forma en que las dos curvas se intersecan, las asíntotas horizontal y vertical, las coordenadas del punto de inversión, y un punto A, de chequeo adicional.

Ese punto A, de coordenadas \((2.7, 1.5)\) está en el intervalo horizontal \(I_{1.5}\) que va de la recta a la curva, y por consiguiente debe satisfacer \(a^b > b^a\). En efecto, \(a^b = 2.7^{1.5} = 4.4366 > 1.5^{2.7} = 2.9885 = b^a\). En la Figura 2 se puede descubrir también, en la misma ordenada, pero hacia la derecha, el punto \((110,1.5)\), que está al otro lado de la curva roja, y por consiguiente en la zona donde \(b^a > a^b\).

2.5.1. El último rincón

El comportamiento de la solución en el cuadrado inferior izquierdo de la Figura 3, donde \(a \in [0,1)\) y \(b \in [0,1]\) (llamémoslo \(\mathbb{C_0}\)), merece comentarse ahora, pues, al estar fuera del recorrido y la influencia de la curva \(a \neq b\), sólo tiene la raíz trivial \(a = b\), y en ese sentido es especial. Por esa razón no está incluido en la discusión anterior.

Esa única raíz, a diferencia de lo que sucede en el punto de inversión, no puede ser una raíz doble: nótese que en \(\mathbb{C_0}\), \(ln(a)\) y \(ln(b)\) son negativos, por lo que, si buscamos como antes un cero de su derivada \(\frac{df_a(x)}{dx} = \frac{1}{x \times ln(a)} - \frac{1}{a}\), la \(x\) encontrada debería satisfacer \(\frac{1}{x \times ln(a)} = \frac{1}{a}\). Pero ahora el miembro izquierdo es negativo (pues \(x > 0\) y \(ln(a) < 0\)) mientras el derecho es positivo, de modo que no puede existir la duplicidad, y sólo queda la solución simple \(a = b\), situada en la bisectriz de \(\mathbb{C_0}\). Eso significa que, al pasar \(x\) por ese punto, avanzando de izquierda a derecha, se produce en la función \(g_a(x) = x^a - a^x\) un cambio de signo, de negativo a positivo.

En \(\mathbb{C_0}\), entonces: \(a < b \Leftrightarrow a^b < b^a\).

2.6. Esquema mnemotécnico de resumen

Tomando en cuenta todas estas consideraciones e interpretaciones, la visión panorámica de la Figura 2 puede utilizarse para visualizar la solución a la pregunta planteada, en el intervalo cuadrático (o caja) \([0,120] \times [0,120]\). Como mnemotecnia, el siguiente esquema reduce la Figura 3 a lo fundamental. Las dos curvas ya conocidas, ortogonales en su intersección, dividen el gráfico, fácilmente extrapolable, en cuatro zonas, en cada una de las cuales predomina \(a^b\) o \(b^a\). Además, en todo cuadrado como éste, con la esquina inferior izquierda en el origen, el área total asociada con \(a^b\) es igual a la asociada con \(b^a\), por la simetría de la figura respecto a la bisectriz \(a = b\).
Figura 4

3. La quinta alternativa

3.1 Un nuevo conjunto de candidatos

Volvamos a enfocarnos en el objetivo principal: hallar el mayor número expresable con setenta sietes, y no más de una operación elemental. Ahora que ya contamos con las herramientas de análisis necesarias, podemos considerar un conjunto adicional de alternativas, a más de las cuatro que ya hemos visto, a saber, en orden creciente: \(70 \times 7\), \(70^7\), \(7^{70}\) y \(\mathcal{N}_{70} = \frac{7}{9} (1.E70 - 1)\).

Este conjunto — \(\mathcal{X}\) — nace de una combinación del concepto que generó \(\mathcal{N}_{70}\) con el que dio lugar a las dos alternativas exponenciales. Sus sesenta y nueve elementos son números que utilizan setenta veces el dígito siete y una elevación a potencias. Veamos cómo se forma el elemento número de \(\mathcal{X}\), llamado \(X_i\):

Se hace una partición de los 70 dígitos 7 de \(\mathcal{N}_{70}\), para formar dos números: \(b_i\), con los primeros \(i\) dígitos, y \(e_i\), con los restantes. Entonces, \(X_i = b_i^{e_i}, \forall i\in [1,69], i\in \mathbb{N}\).3

Para más claridad, un ejemplo: \[X_{20}=77777777777777777777^{77777777777777777777777777777777777777777777777777}\]

3.2 Definiciones y cuantificación

Todos estos números cumplen con la especificación. Nos interesa el mayor de todos, es decir la cota superior.

Para abreviar, definamos tres funciones reales y continuas en \(x\in [1,69] \subset \mathbb{R}\): \[\begin{eqnarray*} \left \{ \begin{array}{ll} u(x) = \frac{7}{9}(10^x-1) \\ v(x) = \frac{7}{9}(10^{70-x}-1) \\ w(x) = u(x)^{v(x)} \end{array} \right \} \end{eqnarray*}\]

Nótese, por lo anterior y en analogía a la definición de \(\mathcal{N}_{70}\), que \(X_i = w(i), \forall i\in [1,69], i\in \mathbb{N}\).

Los sesenta y nueve elementos de \(\mathcal{X}\) son números muy grandes. Si intentamos calcular alguno de ellos — \(X_{20}\), por ejemplo — en la computadora, obtenemos: \(X_{20} = w(20) = u(20)^{v(20)}= Inf\). Esta respuesta (infinito), es sólo una convención usada por el sistema de representación numérica de la computadora ( punto flotante ) para indicar que el resultado sobrepasa al número real más grande que la máquina tiene capacidad para representar. Algo similar sucederá para este caso en cualquier calculadora que utilicemos.

Dado que necesitamos el mayor de los \(X_i\), y ya que no podemos contar con sus valores, recurramos a sus logaritmos en base 10, pues la función logarítmica es creciente – lo cual quiere decir que, mientras mayor sea un número, mayor será su logaritmo y viceversa – y, además, con ello podemos tener una estimación del número de cifras enteras de cada \(X_i\).

En el ejemplo de \(i = 20\): \(logu = log10(\frac{7}{9}(10^{20}-1))\), \(logw = v(20)\times logu = 1.5471e+51\). Esto significa que ¡el número de cifras enteras de \(X_{20}\) es a su vez un número que tiene 52 cifras enteras! (Luego de desentrañar y asimilar el trabalenguas, podemos percatarnos de que el tamaño de \(X_{20}\) y de cualquier otro de sus congéneres es en verdad formidable). Perseguimos ahora hallar el más grande de todos ellos, que, a su vez, tendrá el mayor logaritmo.

3.3 Enfoque intuitivo

En este empeño, podría obtenerse una primera comprensión intuitiva de observar la Figura 2, prolongando sus ejes en la imaginación hasta el infinito. Tratemos de ubicar en ella algunos de los \(X_i\). En primer lugar, \(X_{35} = u(35)^{v(35)}\). Como, según su definición, \(u(35) = v(35)\), es claro que \(X_{35}\) se ubica sobre la recta azul \(a = b\) (aunque a una inmensa distancia del origen) porque tiene iguales su base y su exponente. Los \(X_i\) previos a \(X_{35}\) tendrán bases menores que él (porque tienen menos cifras) y mayores exponentes (con más cifras). Con respecto a la recta, se desplazarán en la figura hacia la izquierda en horizontal y hacia arriba en vertical. Por consiguiente, estarán a la izquierda de la recta, en la zona marcada como \(a^b > b^a\). Los \(X_i\) posteriores a \(X_{35}\), en cambio, tienen imágenes simétricas a los previos, reflejadas por el eje de simetría \(a = b\) (\(X_{69}\) es reflejo de \(X_1\), \(X_{68}\) de \(X_2\), etc.) y por consiguiente están en la zona \(a^b < b^a\).

Como lo que interesa es el \(X_i\) donde mayor sea \(a^b\), es claro que ese máximo debe estar en la zona \(a^b > b^a\). Aún más: como cuanto mayor sea la diferencia entre la base y el exponente más se alejará de la recta, en ambas direcciones, la imagen del número, debemos fijarnos, en esa zona, en el número que maximice esa diferencia. Es decir, \(X_1\), que tiene la menor base y el mayor exponente.

En resumen, la intuición nos ha dicho, sobre la base del análisis completado en la sección 2, que la curva real \(y = w(x)\), en el primer cuadrante, es una curva descendente, simétrica con respecto al eje \(y = x\), y que se intersecta con éste muy lejos del origen. Su forma se parecerá, probablemente, a la de la curva roja de la figura 2, pero situada muy lejos de ella. El número máximo buscado de los sesenta y nueve \(X_i\) que se encuentran sobre \(y = w(x)\) será precisamente el primero: \[X_1 = u(1)^{v(1)} = \frac{7}{9}(10^{1}-1)^{\frac{7}{9}(10^{70-1}-1)} = 7^{\frac{7}{9}(10^{69}-1)}\] Con un cálculo como el realizado para estimar \(X_{20}\) encontramos que en este número colosal la cantidad de cifras enteras (6.573E+68) se expresa con 69 dígitos, y supera inconmensurablemente a \(\mathcal{N}_{70}\), que sólo tiene 70 cifras (es decir, un número de cifras que se expresa con 2 dígitos).

3.4 Enfoque analítico

Según el Cálculo diferencial, una curva con derivada negativa en todo su recorrido es estrictamente decreciente. Si ése es el caso en nuestro dominio, el máximo de la curva se hallará en el extremo siniestro, y por consiguiente, el mayor de los elementos de \(\mathcal{X}\) será el que se halle más a la izquierda, es decir, \(X_1\). En este caso no hay dificultad conceptual, sino más bien operativa, pues hallar \(\frac{dw}{dx}\) es trabajoso. De cualquier modo, se puede hacerlo: Si \(k = \frac{7}{9} \times ln(10)\), tenemos: \[\frac{dw}{dx} = (\frac{k}{10^x})\times u^v \times [10^{2x} \times \frac{v}{u} - 10^{70} \times ln(u)]\] Como el factor \(\frac{k}{10^x} = 1.7909*10^{-x} > 0\) y \(u^v > 0\), el signo de \(\frac{dw}{dx}\) depende del corchete, cuyo mayor valor se dará cuando \(x = 1\), porque allí \(\frac{v}{u}\) es máximo, y resulta: \(\frac{100}{9} \times (10^{69}-1) - 10^{70} \times ln(7)\), que vale \(\simeq (\frac{10}{9}-ln(7)) \times 10^{70} = -8.3480E+69 < 0\). Luego la derivada es siempre negativa en el intervalo \((0, \infty)\).

3.5 Dos esquemas que verifican el modelo

La mejor forma de ubicar la relación entre \(u\) y \(v\) en la Figura 2 sería graficar los valores de \(u(x) = \frac{7}{9} \times (10^x-1)\) y de \(v(x) = \frac{7}{9} \times (10^{70-x}-1)\), que son las ecuaciones paramétricas del modelo. Igualmente, trazando el gráfico de los valores de los elementos de \(\mathcal{X}\) del primero al último, podríamos convencernos de que el mayor \(X_i\), la cota definitiva que estamos buscando, es \(X_1\).

Sin embargo, como ya se dijo, algunos de los números involucrados en estos gráficos son tan grandes, que sobrepasan, no sólo la capacidad de representación del sistema usado por las computadoras actuales, sino también de cualquier software especial desarrollado para ampliar esa capacidad, como por ejemplo vpi y vpa, en MATLAB.

Ante esa dificultad, un recurso permitirá reducir drásticamente el tamaño de los números representados, a la vez que mantener el orden de magnitud entre ellos, aunque se distorsione topológicamente la forma de las funciones: aplicar adecuadamente a las variables la función logarítmica. Al usar, específicamente, el logaritmo de base 10, tenemos además una forma sencilla de apreciar al menos el número de dígitos de los valores originales.

Dos aspectos del modelo.
Figura 5

Un guion MATLAB ha dibujado estos dos esquemas, inesperadamente isomórficos: en el izquierdo se representa la relación entre los logaritmos de la base \(u(x)\) y del exponente \(v(x)\), junto con el eje de simetría \(v = u \Leftrightarrow log(v) = log(u)\). Al superponer imaginativamente este último a la recta azul de la Figura 2, podemos ver que para la mitad inferior de valores de \(u\) estaremos en la zona indicada por \(a^b > b^a\) en esa figura; y para la mitad superior, en \(a^b < b^a\).

En el esquema derecho interesa el gráfico de \(w(x)\). Pero muchos \(w(x)\) son tan grandes que, aun aplicando una vez el logaritmo, la curva respectiva se confunde con los ejes coordenados. Por esto se ha representado en el eje vertical la función \(log(log(w(x))\), que toma la forma de una recta descendente, ortogonal al eje de simetría. Esta figura nos permite ver claramente — por cuanto el logaritmo es una función ascendente y unívoca en \(\mathbb{R}^+\), de modo que \(w(x_i)=w(x_j) \Leftrightarrow log(log(w(x_i))=log(log(x_j))\) — que el mayor valor de \(w(x)\) corresponde a la abscisa izquierda \(x=1\); esto es, \(\max{w(x)} = X_1\).

En conclusión, en \(X_1 = 7^{\frac{7}{9}(10^{69}-1)}\) hemos encontrado un número, expresado con setenta sietes y una operación aritmética, que bien podría acotar, no sólo la capacidad humana de perdón, sino el número de pecados que la misericordia divina ha perdonado, perdona y perdonará a todos los pobladores de nuestro planeta y sus alrededores a lo largo de la historia pasada, presente y futura de la concupiscente Humanidad.

  1. Se utilizará en adelante la notación exponencial, en cual la letra E representa la base 10 elevada a la potencia cuyo exponente sigue a continuación.↩

  2. El símbolo \(\forall\) pertenece a la teoría de conjuntos y debe leerse “para todo”.↩

  3. Se usan \(\mathbb{N}\) para denotar el conjunto de los números naturales y \(\mathbb{R}\) el de los reales.↩