Modelamiento estadístico en la era de la Industria 4.0 y Big Data
Control Estadístico de la Calidad (CEC)
Miguel Flores, miguel.flores@epn.edu.ec
Departamento de Matemática, Facultad de Ciencias, Escuela Politécnica Nacinal - R Users Group Ecuador29 de junio de 2018
1 Introducción: Retos actuales CEC
1.1 Industria 4.0
1.2 Big Data
1.3 Herramientas DMAC
1.4 Gráficos de Control
1.5 Inclumplimiento de los supuestos
1.5.1 Prondundidad de Datos
Sea \(F\) una distribución de probabilidad en \(\mathbb{R}^d\), \(d \geq 1\). Supongamos que \(F\) es absolutamente continua y que \(\{X_1, \dots ,X_n\}\) es una muestra aleatoria de \(F\). Nótese que cada punto \(X_i\) es visto como un vector columna de dimensión \(d \times 1\).
Una función de profundidad es una función acotada \((\cdot,F):\mathbb{R}^d \mapsto [0,1]\) que asigna a cada punto \(x \in \mathbb{R}^d\) su grado de centralidad respecto a \(F\) o respecto a una nube de puntos \(\{X_1, \dots ,X_n\}\)
1.5.2 Gráfico de Rangos
En Liu (1995) se define el estadístico a partir de una función de profundidad de datos, definimos al estadístico \(rank\) \(r_F(x)\) que caracteriza la distancia entre \(F\) y \(G\) con respecto a la profundidad de datos cuando \(X \sim F\) y \(Y \sim G\), para algún \(x \in \mathbb{R}^d\) como: \[\begin{equation} \label{rank1} r_F(x)=P\{D_F(X) \leq D_F(x)|X \sim F\} \end{equation}\] Nótese que cuando \(D(F,\cdot)\) es afín invariante entonces \(r_F(x)\) también lo es. \[r_F(x)=r_{F_{Ax+b}}(Ax+b)\] La invarianza afín asegurará que los gráficos de control sean libres de coordenadas.\ Por otro lado, si \(F\) es desconocida, definimos \(r_{F_m}(x)\) como la proporción de los \(X_j\) que satisfacen \(D(F_m,X_j) \leq D(F_m,x)\) \[\begin{equation} \label{rank2} r_{F_m}(x)=\#P\{D_{F_m}(X) \leq D_{F_m}(x),j=1,...,m\}/m \end{equation}\] Donde los valores de \(D(F_m,\cdot)\) son valores de profundidad empíricos calculados con respecto a \(F_m\).library(qcr)## Loading required package: qcc## Package 'qcc' version 2.7## Type 'citation("qcc")' for citing this R package in publications.## Loading required package: fda.usc## Loading required package: fda## Loading required package: splines## Loading required package: Matrix##
## Attaching package: 'fda'## The following object is masked from 'package:graphics':
##
## matplot## Loading required package: MASS## Loading required package: mgcv## Loading required package: nlme## This is mgcv 1.8-23. For overview type 'help("mgcv-package")'.## Loading required package: rpart## Loading required package: mvtnorm## Loading required package: qualityTools## Loading required package: Rsolnp##
## Attaching package: 'qualityTools'## The following object is masked from 'package:stats':
##
## sigma##
## Package qcr: Quality Control Review
## version 1.0 (built on 2016-07-19).
## Copyright Miguel A. Flores Sanchez 2016.set.seed(356)
mu<-c(0,0)
Sigma<- matrix(c(1,0,0,1),nrow = 2,ncol = 2)
u <- c(2,2)
S <- matrix(c(4,0,0,4),nrow = 2,ncol = 2)
G <- rmvnorm(540, mean = mu, sigma = Sigma)
x<- rmvnorm(40,mean=u,sigma = S)
x <- rbind(G[501:540,],x)
M <- G[1:500,]
data.npqcd <- npqcd(x,M)
str(data.npqcd)## List of 2
## $ x: num [1:80, 1:2, 1] 0.995 -1.274 -1.174 -0.347 0.931 ...
## $ G: num [1:500, 1:2] 0.306 -0.322 1.389 1.438 -0.784 ...
## - attr(*, "data.name")= chr "DATA"
## - attr(*, "type.data")= chr "Multivariate"
## - attr(*, "class")= chr [1:2] "npqcd" "list"res.npqcs <- npqcs.r(data.npqcd,method = "Liu", alpha=0.025)
str(res.npqcs)## List of 9
## $ npqcd :List of 2
## ..$ x: num [1:80, 1:2, 1] 0.995 -1.274 -1.174 -0.347 0.931 ...
## ..$ G: num [1:500, 1:2] 0.306 -0.322 1.389 1.438 -0.784 ...
## ..- attr(*, "data.name")= chr "DATA"
## ..- attr(*, "type.data")= chr "Multivariate"
## ..- attr(*, "class")= chr [1:2] "npqcd" "list"
## $ type : chr "r"
## $ depth.data: num [1:80, 1] 0.0243 0.0866 0.0292 0.2412 0.1214 ...
## $ statistics: num [1:80, 1] 0.242 0.532 0.268 0.974 0.666 0.268 0.42 0.136 0.824 0.118 ...
## $ alpha : num 0.025
## $ limits : Named num [1:2] 0.025 0.5
## ..- attr(*, "names")= chr [1:2] "lcl" "cl"
## $ data.name : chr "DATA"
## $ method : chr "Liu"
## $ violations: int [1:25] 42 43 44 46 48 49 50 52 53 54 ...
## - attr(*, "class")= chr [1:2] "npqcs.r" "npqcs"summary(res.npqcs)##
## Summary of group statistics:
## V1
## Min. :0.0140
## 1st Qu.:0.0140
## Median :0.1970
## Mean :0.3018
## 3rd Qu.:0.4810
## Max. :0.9760
##
## Number of quality characteristics: 2
## Number of samples or observations: 80
## Number of observations or sample size: 1
## Control limits:
## lcl cl
## 0.025 0.500
##
## Beyond limits of control:
## [1] 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014
## [12] 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014 0.016 0.014 0.014 0.014 0.014 0.014
## [23] 0.014 0.014 0.014plot(res.npqcs,title =" r Control Chart") 
1.5.3 Datos Autocorrelacionados
En Liu and Tang (1996) se propuso simular una muestra aleatoria de 101 puntos de una distribución \(\mathcal{N}(0,1)\) y lo denotamos por \(\{A_1,\dots,A_{101}\}\). Luego, obtenemos independientemente una muestra de 100 observaciones de una distribución \(\mathcal{N}(0,0\mbox{.}1)\) y lo denotamos por \(\{y_1,\dots,y_{100}\}\).
Sea \(X_i=(A_i+A_{i+1})/2+y_i\), \(i=1,\dots,100\), esto es \(n=100\). Claramente los \(X_i\) son 1-dependientes, y \(X_i\) sigue una distribución \(\mathcal{N}(0,0\mbox{.}51)\) con \(cov(X_i,X_{i+1})=0.25\).
Repetimos el procedimiento MBB con \(\ell=4\) (\(=N\)) 1000 veces para obtener 1000 promedios de muestras boostrap \(\bar{X}_N^*\) y construimos un histograma de los 1000 valores de \(\sqrt[]{N}(\bar{\bar{X_N^*}}-\bar{\bar{X_n}})\). Aquí \(\bar{\bar{X_n}}\) es el promedio de los 100 primeros \(X_i\).
rm(list = ls())
set.seed(12125)
#Obtención de muestras de variables aleatorias
A <-rnorm(101)
y <-rnorm(n = 100,mean = 0,sd = 0.01)
x <-numeric(length(y))
for (i in 1:length(y))
x[i]<-(A[i]+A[i+1])/2+y[i]
#Tamaño de bloque
#Bloque de tamaño 4
b <-4
#Bloques
B <-matrix(0,ncol = b,nrow = (length(x)-b+1))
for (i in 1:(length(x)-b+1)){
B[i,]<-x[i:(i+b-1)]
}
#Moving Blocks Bootstrap
#Número de muestras boostrap
N <-1000
#Matriz de bloques boostrap
BB <-matrix(0,nrow=N,ncol=b)
BB<-B[sample(1:nrow(B),N,replace = TRUE),]
#Media observaciones Xi
mx <-mean(x)
#Medias matriz MBB
mbx <-apply(BB,1,mean)
#Cálculo de límites de control
alpha <-0.05
hbb <-sqrt(N)*(mbx-mx)
pbl <-quantile(hbb,probs = (alpha/2))
pbu <-quantile(hbb,probs = 1-(alpha/2))
LCL4 <-(sum(mbx)/length(mbx))+pbl/sqrt(N)
UCL4 <-(sum(mbx)/length(mbx))+pbu/sqrt(N)
#############################################################
#Tamaño de bloque
#Bloque de tamaño 2
b <-2
#Bloques
B <-matrix(0,ncol = b,nrow = (length(x)-b+1))
for (i in 1:(length(x)-b+1)){
B[i,]<-x[i:(i+b-1)]
}
#Moving Blocks Bootstrap
#Número de muestras boostrap
N <-1000
#Matriz de bloques boostrap
BB <-matrix(0,nrow=N,ncol=b)
BB<-B[sample(1:nrow(B),N,replace = TRUE),]
#Media observaciones Xi
mx <-mean(x)
#Medias matriz MBB
mbx <-apply(BB,1,mean)
#Cálculo de límites de control
alpha <-0.05
hbb <-sqrt(N)*(mbx-mx)
pbl <-quantile(hbb,probs = (alpha/2))
pbu <-quantile(hbb,probs = 1-(alpha/2))
LCL2 <-(sum(mbx)/length(mbx))+pbl/sqrt(N)
UCL2 <-(sum(mbx)/length(mbx))+pbu/sqrt(N)
########################################################################
#Tamaño de bloque
#Bloque de tamaño 1
b <-1
#Bloques
B <-matrix(0,ncol = b,nrow = (length(x)-b+1))
for (i in 1:(length(x)-b+1)){
B[i,]<-x[i:(i+b-1)]
}
#Moving Blocks Bootstrap
#Número de muestras boostrap
N <-1000
#Matriz de bloques boostrap
BB <-matrix(0,nrow=N,ncol=b)
BB<-B[sample(1:nrow(B),N,replace = TRUE),]
#Media observaciones Xi
mx <-mean(x)
#Cálculo de límites de control
alpha <-0.05
hbb <-sqrt(N)*(BB-mx)
pbl <-quantile(hbb,probs = (alpha/2))
pbu <-quantile(hbb,probs = 1-(alpha/2))
LCL1 <-(sum(mbx)/length(mbx))+pbl/sqrt(N)
UCL1 <-(sum(mbx)/length(mbx))+pbu/sqrt(N)
#Gráfico
#Obtenemos nuevas muestras
set.seed(32646)
A <-rnorm(101)
y <-rnorm(n = 100,mean = 0,sd = 0.01)
x <-numeric(length(y))
for (i in 1:length(y))
x[i]<-(A[i]+A[i+1])/2+y[i]
X<-matrix(x,25,4,byrow = TRUE)
#Límites de control exactos
#la posición de los límites de control depende de si la covarianza
# es negativa o positiva
LCL <- -0.92193
UCL <- 0.92193
plot(apply(X,1,mean),type = "b",ylab = "X-bar",xlab = "Time",
ylim = c(-1.4,1.7))
abline(h=UCL,col="blue")
text(25,0.9,"Std",col = "Blue")
abline(h=UCL4,col="red")
text(25,1.05,"b=1",col = "red")
abline(h=UCL2,col="brown")
text(25,1.35,"b=2",col = "brown")
abline(h=UCL1,col="green")
text(25,1.6,"b=4",col = "green")
abline(h=LCL,col="blue")
text(25,-0.85,"Std",col = "Blue")
abline(h=LCL4,col="red")
text(25,-0.65,"b=1",col = "red")
abline(h=LCL2,col="brown")
text(25,-1.01,"b=2",col = "brown")
abline(h=LCL1,col="green")
text(25,-1.35,"b=4",col = "green")
2 Modelamiento: Análisis de Datos Funcionales
El análisis de datos funcionales cuya unidad básica de información es el dato funcional, se define como el nuevo campo de la estadística que proporciona información a partir de una muestra de observaciones de una familia continua \(\mathcal{X} = \{\mathcal{X}(t);t \in T\}\), por ejemplo: curvas, superficies o cualquier otra forma que cambia en un cont'inuo.
Sea $ L^{2}(T)$, el espacio de Hilbert separable definido por las funciones de cuadrado integrable en el intervalo \(T = \left[ a,b\right] \subset \mathbb{R}\):
\[ L^{2}(T) = \{ \mathcal{X} : T \rightarrow \mathbb{R}; \int_{T} \mathcal{X}(t)^{2} dt < \infty \} \] con un producto interno definido por:
\[ \left\langle \mathcal{X}(t),\mathcal{Y}(t) \right\rangle =\int_{T} \mathcal{X} \left ( t \right ) \mathcal{Y}\left ( t \right ) dt.\]
2.1 Métodos
- Media: \(\mathcal{\bar{X}}(t) = n^{-1}\sum_{i=1}^{n} \mathcal{X}_i\left ( t\right ).\)
- Varianza: \(s^2(t)= (n-1)^{-1} \sum_{i=1}^{n} \left ( \mathcal{X}_i\left ( t \right ) -\mathcal{\bar{X}}(t) \right )^2\)
- Desviación estándar: \(s(t) = \sqrt{s^2(t)}\)
- Covarianza: \(cov(\mathcal{X}(t_i),\mathcal{X}(t_j)= (n)^{-1} \sum_{i=1}^{n} \left ( \mathcal{X}_i\left ( t_i \right ) -\mathcal{\bar{X}}(t_i) \right ) \left ( \mathcal{X}_i\left ( t_j \right ) -\mathcal{\bar{X}}(t_j) \right )^t\)
- Profundidad de datos funcional
- Bandas de confianza
- Detección de atípicos
3 Aplicación
Referencias
Liu, Regina Y. 1995. “Control Charts for Multivariate Processes.” Journal of the American Statistical Association 90 (432). Taylor & Francis Group: 1380–7.
Liu, Regina Y, and Jen Tang. 1996. “Control Charts for Dependent and Independent Measurements Based on Bootstrap Methods.” Journal of the American Statistical Association 91 (436). Taylor & Francis Group: 1694–1700.