• Introducción

• Introducción

• Definición de datos funcionales
  • Datos funcionales con expansiones de base
  • Periodograma de una serie de datos
  • Análisis de una serie de p-valores
  • Modelado de serie de p-valores (Dato funcional)

• Introducción

• Datos funcionales
  • Definición de datos funcionales y expansiones de base
  • Periodograma de una serie de datos
  • Análisis de una serie de p-valores
  • Modelado de serie de p-valores (Dato funcional)

• Aplicación: al inicio del ritmo circadiano de abejas de la miel
  • Pre-procesamiento de datos
  • Actograma y serie de la actividad de las abejas
  • Clasificación de los datos funcionales

El Premio Nobel de Fisiología o Medicina 2017: Jeffrey C. Hall (New York), Michael Rosbash (Kansas) y Michael W. Young(Miami) "Por sus descubrimientos en los mecanismos moleculares que controlan el ritmo circadiano".

Los datos funcionales consisten en una muestra aleatoria de valores reales independientes funciones, \(\chi_1(t),\dots, \chi_n(t)\), en un intervalo compacto \(I = [0, T] \subseteq \mathbb{R}\) .

• Cada \(x_i\) se pueden considerar realizaciones de un proceso estocástico unidimensional.
• A menudo se supone que están en un espacio de Hilbert, como \(L^2(I)\).
• Diremos que \(\chi(t) \in L^2(I)\) es un proceso estocástico \(\Leftrightarrow\) \(E\left[ \int_I \chi^2(t)dt \right] < \infty\).

Lomb-Scargle periodograma - Lomb (1976) and Scargle (1982)

• Schuster (1898) define el periodograma como una medida del poder relativo de una serie temporal en función de la frecuencia.

• Este método define periodicidades ocultas, o pequeñas variaciones periódicas oculta detrás de fluctuaciones irregulares.

Sea \(X_i=X_{t_i}\) para \(i=1,2,\dots, n\), entonces \(\bar{X}=\frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\) y \(\hat{\sigma}^2=\frac{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})}{n-1}\)

El Lomb-Scargle periodograma se define como:

\[ \left( \frac{ \left[ \sum_{j}(X_j-\bar{X})cosw(t_j-\tau) \right]^2}{\sum_{j}cos^2w(t_j-\tau) }\right) + \frac{ \left[ \sum_{j}(X_j-\bar{X}senw(t_j-\tau) \right]^2}{\sum_{j}sen^2w(t_j-\tau) } \] Aquí \(\tau\) está definido por \(tan(2w\tau)=\frac{\sum_{j}sen2w(t_j\tau)}{\sum_{j}cos2w(t_j\tau)}\)

• Estamos interesados en la probabilidad de que la potencia del periodograma a la frecuencia dada sea mayor que un umbral especificado \(z\). Esto es dado por

\[ Pr[Z>z] =1- P_Z(z)=e^{-z/\sigma_X^2} \]

• Cuando \(z \rightarrow \infty\), es exponencialmente menos probable que un nivel de potencia tan alto (o superior) pueda ser producido solo por ruido puro.
• Analogamente, es más probable que el nivel de potencia observado se deba a un determinismo genuino (es decir, no ruido) en la señal medida.

• Sea \(X_t = (x_1, x_2, \dots, x_n)\) una serie de actividad en el tiempo.
• Definimos las subseries \(I_{j,k}\) de \(X_t\), para \(k\) fijo: \[I_{j,k} = X_{1 \leqslant t \leqslant (j \times k)} = (x_1, x_2, \dots, x_{j \times k}), \quad j = 1, 2, \dots, n/k.\]
• Determinar la potencia (\(p-value\)) de la prueba de periodicidad para cada \(i\).
• El tiempo \(t\) tal que la serie de \(p-values < 0.05\) lo denominamos \(t_{stable}\).
  Lo representamos así:

\[ t_{stable}=\max_{1 \leqslant t \leqslant n}\{t \mid p_{t-1} > p_t \hspace{0.2cm} \wedge \hspace{0.2cm} p_{t}<0.05 \} \]

Curvas funcionales Bsplines de los p-valores