Ejemplos

1)

En una maternidad ocurrieron 18 nacimientos en una semana, 11 de los cuales fueron varones. La hipótesis de trabajo es que la proporción de sexos es la habitual. ¿Existe evidencia significativa que pruebe que la proporción de sexos no es la habitual?

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & La~ proporcion~ de~ sexos~ es~ la~ habitual.\\ H_{1}: & La~ proporcion~ de~ sexos~ no~ es~ la~ habitual \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Binomial.
n <- 18
x <- n - 11
p <- 0.5
pbinom(x, n, prob = p) #Binomial Acumulado
## [1] 0.2403412

\(p(0.2403412) > \alpha~\) Se acepta la \(H_0~\) Por lo tanto, no se puede rechazar la hipótesis nula. Hay evidencia significativa que pruebe, que la proporción de sexos es la habitual.

2)

En 90 pacientes se probó un nuevo medicamento y 10 de ellos no se curaron en el plazo previsto. La idea es aceptar la droga si logra mejoría en el 75% de los casos. ¿Qué decisión se debe tomar a la luz de estos resultados experimentales?

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & Se~ acepta~ la~nueva~droga.\\ H_{1}: & No~se~ acepta~ la~nueva~droga. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Binomial.
n <- 90
x <- n - 10
p <- 0.75
q <- 1 - p
# Sin aproximar 
dbinom(x, n, prob = p) #p(0.000551) < α(0.05): Se rechaza Ho
## [1] 0.0005517549
## Apoximando a Z
media <- n*p ; varianza <- n*p*q
if(x > media){
   Z <- ((x - 0.5)-media)/sqrt(varianza)
}else Z <- ((x + 0.5)-media)/sqrt(varianza)
cat("Z= ",Z)
## Z=  2.921187
p_value <- pnorm(Z, lower.tail=FALSE)
p_value
## [1] 0.001743502

\(p(0.0017435) < \alpha~\) Se rechaza la \(H_0~\) Por tanto existe evidencia para No aceptar la nueva droga.

3)

Un determinado tumor pulmonar se clasifica en cinco tipos distintos. En cuanto a la diferenciación celular, se cree que las cinco se presentan en la misma proporción, es decir, un veinte por ciento. Se selecciona una muestra al azar de veinte tumores, obteniéndose las siguientes frecuencias absolutas.

.. . . . . .
Tipo celular: 1 2 3 4 5
Frecuencia: 4 8 2 2 4

Resolver el contraste con 5% de significancia

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & Los~ cinco~ tipos~de~ tumor~celular~ se~ presentan~ en~ la~ misma~ proporción.\\ H_{1}: & Los~ cinco~ tipos~de~ tumor~celular~no~ se~ presentan~ en~ la~ misma~ proporción. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Kolmogorov-Smirnov.
tipo <- c(1 , 2 , 3 , 4 , 5)
frecuencia <- c(4 , 8 , 2 , 2 , 4)
ks.test(tipo, frecuencia)
## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  tipo and frecuencia
## D = 0.2, p-value = 1
## alternative hypothesis: two-sided

\(p(1) > \alpha~\) Se acepta la \(H_0~\) Por tanto existe evidencia que en la diferenciación celular, las cinco se presentan en la misma proporción.

4)

La dirección general de transito asegura que hay dos veces más accidentes automovilísticos los sábados y domingos que cualquier otro día de la semana. A partir de los registros se seleccionaron 108 accidentes, independientes uno de otro. De acuerdo con los datos, ¿se confirma o rechaza la afirmación?, Use \(\alpha = 0.01\).

Días de la semana Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes Sábado Domingo
Num de accidentes 8 12 10 14 11 28 25
  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & Se~ asegura~ que~ los ~accidentes~no ~exeden\\ H_{1}: & Se~ asegura~ que~ los ~accidentes~exeden. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.01\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Kolmogorov-Smirnov.
dias <- c(1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6, 7)
num_ac <- c(8, 12, 10, 14, 11, 28, 25)
ks.test(dias, num_ac, conf.level = 0.99)
## 
##  Two-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  dias and num_ac
## D = 1, p-value = 0.0005828
## alternative hypothesis: two-sided

\(p(0.000582) < \alpha~\) Se rechaza la \(H_0~\) Por tanto existe evidencia que los accidentes exceden.

5)

En un hospital se forma todas las mañanas temprano, una cola de pacientes esperando su turno para la extracción de sangre. La bioquímica a cargo decide verificar si la colocación de hombres y mujeres es al azar. Anota el sexo de cada uno de los primeros 50 pacientes que entraron al laboratorio. Los resultados fueron:

Sucesos: H H M H M H H H M M H M M H M H H M M M H H M M H H M M H M H M H M M H M H H M H H M H M H M H M M

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & Los~ pacientes~guardan~ un~ orden~ aleatorio~ al~ formar la~ fila.\\ H_{1}: & Los~ pacientes~No~ guardan~ un~ orden~ aleatorio~ al~ formar la~ fila. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Rachas.
library(tseries)
datos <- read.csv2("paciente.csv")
table(datos)
## datos
##  H  M 
## 25 25
runs.test(datos$Sexo)
## 
##  Runs Test
## 
## data:  datos$Sexo
## Standard Normal = 2.2862, p-value = 0.02224
## alternative hypothesis: two.sided

\(p(0.02224) < \alpha~\) Se rechaza la \(H_0~\) Se encontró evidencia significativa para aceptar la hipótesis, que los pacientes no guardan un orden aleatorio al formar la fila.

6)

Se obtienen 200 números entre 0 y 9 de una tabla de números aleatorios y se desea establecer si realmente son bien aleatorios.

Numero 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Frecuencia 21 20 22 20 27 16 23 13 17 22
  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & Los~ numeros~son~ aleatorios.\\ H_{1}: & Los~ numeros~no~son~ aleatorios. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Rachas.
#library(tseries)
data <- c(21, 20, 22, 20, 27, 16, 23, 13, 17, 22)
med <- median(data)
runs.test(as.factor(data> med))
## 
##  Runs Test
## 
## data:  as.factor(data > med)
## Standard Normal = 2.0125, p-value = 0.04417
## alternative hypothesis: two.sided

\(p(0.04417) < \alpha~\) Se rechaza la \(H_0~\) Por tanto los numeros obtenidos no son aleatorios.

7)

Se ha registrado una muestra del número de días lluviosos en un año: 31 10 23 18 30 35 40 48 55 333 44 37. ¿Puede considerarse aleatoria?

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & El~número~ de~ días~ lluviosos~ en~ un~ año~ se~ concidera~ aleatoria.\\ H_{1}: & El~número~ de~ días~ lluviosos~ en~ un~ año~ no~ se~ concidera~ aleatoria. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Rachas.
#library(tseries)
data <- c(31, 10, 23, 18, 30, 35, 40, 48, 55, 333, 44, 37)
med <- median(data)
runs.test(as.factor(data> med))
## 
##  Runs Test
## 
## data:  as.factor(data > med)
## Standard Normal = -3.0277, p-value = 0.002465
## alternative hypothesis: two.sided

\(p(0.002465) < \alpha~\) Se rechaza la \(H_0~\) Por tanto el registro de número de días lluviosos en un año no se concidera aleatoria.

8)

En un estudio dedicado a averiguar el tipo de población atendida en un centro hospitalario, se ha encontrado que la mediana de edad de los enfermos era de 57 años. En un estudio similar de otro hospital se ha tomado una muestra de 15 personas cuyas edades se muestran a continuación: 26, 90, 44, 67, 12, 34, 67, 66, 24, 49, 45, 15, 58, 77, 57. Se desea saber si la mediana de edad de los pacientes en ambos hospitales es la misma.

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & Las~ medianas~ de~ edad ~son~ las~ mismas~ en~ ambos~ centros.\\ H_{1}: & Las~ medianas~ de~ edad ~son~ diferentes~ en~ ambos~ centros. \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Wilcoxon.
data <- c(26, 90, 44, 67, 12, 34, 67, 66, 24, 49, 45, 15, 58, 77, 57)
mediana <- 57
wilcox.test(data, mu = mediana)
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  data
## V = 32.5, p-value = 0.2207
## alternative hypothesis: true location is not equal to 57

\(p(0.2207) > \alpha~\) Se acepta la \(H_0~\) Por tanto existe evidencia que la mediana de edad de los pacientes en ambos centros es la misma.

9)

La salud mental de la población activa de sujetos de 60 años tiene una mediana de 80 en una prueba de desajuste emocional (X). Un psicólogo cree que tras el retiro (jubilación) esta población sufre desajustes emocionales. Con el fin de verificarlo, selecciona al azar una muestra de sujetos retirados, les pasa la prueba de desajuste y se obtienen los siguientes resultados: X: 69, 70, 75, 79, 83, 86, 88, 89, 90, 93, 96, 97, 98, 99. ¿Se puede concluir, con un nivel de significación de 0,05, que tras el retiro aumenta el promedio de desajuste emocional?

  1. Hipótesis estadística: \[ \left\{ \begin{array}{ll} H_{0}: & \text{La población permanece en su nivel de desajuste emocional.}\\ H_{1}: & \text{La población aumenta su nivel de desajuste emocional.} \end{array} \right. \]
  2. Nivel de significancia: \(\hspace{10px}\alpha = 0.05\)
  3. Estadística de prueba y contraste, Wilcoxon.
data <- c(69, 70, 75, 79, 83, 86, 88, 89, 90, 93, 96, 97, 98, 99)
mediana <- 80
wilcox.test(data, mu = mediana,alternative = "less")
## 
##  Wilcoxon signed rank test with continuity correction
## 
## data:  data
## V = 84.5, p-value = 0.9794
## alternative hypothesis: true location is less than 80

\(p(0.9794) > \alpha~\) Se acepta la \(H_0~\) Concluyendo que la población permanece en su nivel de desajuste emocional tras el retiro.

☺

# devtools::install_github("luisxsuper/metodNum")
metodNum::meme()