###Distribución muestral de la media Ejercicio 1
Supóngase que se selecciona una muestra aleatoria de n=25 observaciones de una población con \(\mu\)= 8 y \(\sigma\)= 0,6
1.1 Hallar la probabilidad aproximada de que la media muestral \(\bar{X}\) sea menor que 7,9. Primeramente calculo la media muestral y el erro estándar

\(\mu_{\boldsymbol{\bar{x}}}\) =\(\mu\)= 8
\(\sigma_{\boldsymbol{\bar{x}}}\)= \(\frac{\sigma}{sqrt(n)}\)= 0.12

pnorm(7.9,8,0.12)
## [1] 0.2023284

La probabilidad de que la media muestral sea menor que 7,9 es igual a 0.20
1.2 Hallar la probabilidad aproximada de que la media muestral \(\bar{X}\) sea mayor que 7,9.

pnorm(7.9,8,0.12,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.7976716

1.3 Hallar la probabilidad aproximada de que la media muestral \(\bar{X}\) varie 0.1 unidades con respecto a la media poblacional \(\mu\)= 8

pnorm(8.1,8,0.12)-pnorm(7.9,8,0.12)
## [1] 0.5953432

Ejercicio 2
Se sabe que en un cultivo A la media poblacional de la variable longitud del cuerpo de un insecto es de 15 mm y la varianza poblacional es de 20 mm2 y que dicha variable tiene una distribución normal.
2.1 Determine cuál es la probabilidad de que al extraer un insecto su longitud sea a lo sumo de 12mm.
2.2 Si se extrae una muestra de 10 insectos, determine cuál es la probabilidad de que la longitud promedio del insecto sea:
a. A lo sumo de 12 mm b. De 17 mm o más. c. Entre 12 y 17 mm

2.1

pnorm(12,15,sqrt(20))
## [1] 0.2511675
#Teniendo en cuenta que 20 es la varianza poblacional, entonces la desviación típica es 4.47

2.2 Calculo el error estándar

sqrt(20)/sqrt(10)
## [1] 1.414214
#utilizo sqrt(20) porque la formula usa la desviación típica y el dato que me dieron en el problema es la varianza

\(\mu_{\boldsymbol{\bar{x}}}\) =\(\mu\)= 15
\(\sigma_{\boldsymbol{\bar{x}}}\)= \(\frac{\sigma}{sqrt(N)}\)= \(\frac{\sigma}{sqrt(10)}\)=1.41

2.2a

pnorm(12,15,1.41)
## [1] 0.01668266

2.2b

pnorm(17,15,1.41,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.07803121

2.2c

pnorm(17,15,1.41)-pnorm(12,15,1.41)
## [1] 0.9052861

###Función qnorm A continuación presentamos la función qnorm que es la inversa de pnorm. Qnorm tiene los siguientes atributos:

qnorm(probabilidad, media, desviación típica)

¿Cuál es la probabilidad de que la media tome un valor menor a 21, sabiendo que la población está normalmente distribuída con una media de 25 y una desviación típica de 12?

pnorm(21,25,12)
## [1] 0.3694413

¿A qué valor debería ser menor o igual la media para tener una probabilidad de ocurrencia de 0.369, sabiendo que la población está normalmente distribuída con una media de 25 y una desviación típica de 12?

qnorm(.3694413,25,12)
## [1] 21

Ejercicio 3
Se sabe que el peso de uvas por racimo del cuartel de Malbec de una finca del medio tiene una distribución normal con un peso promedio de 61 gramos y una desviación típica de 13,8 gramos.

3.1 ¿Qué probabilidad tendría de que el peso de un racimo sea igual a 55,16 ± 19,66 g? Interprete

pnorm(74.82,61,13.8)-pnorm(35.5,61,13.8)
## [1] 0.8093814
# 55,16+19.66=74.82
# 55.16-19.66=35.5
#La probabilidad de que el peso promedio del racimos sea igual 55.16 ± 19,66
#es igual a 0.809

3.2 Si la muestra extraída constara de 70 racimos, ¿Cuáles son los parámetros de la distribución muestral del peso promedio?

\(\mu_{\boldsymbol{\bar{x}}}\) =\(\mu\)= 61
\(\sigma_{\boldsymbol{\bar{x}}}\)= \(\frac{\sigma}{sqrt(N)}\)= \(\frac{13.8}{sqrt(70)}\)=1.6494

3.3 Teniendo en cuenta esta nueva distribución muestral, calcule la probabilidad de que el peso promedio de los racimos se encuentre entre 55,16 ±19,66 g. Interprete.

pnorm(74.82,61,1.64)-pnorm(35.5,61,1.64)
## [1] 1
#La probabilidad de que peso promedio de los racimos sea igual a 55,16 ±19,66 es de 1. Es #decir hay absoluta certeza de que el peso promedio esté dentro de esos valores.

Ejercicio 4
La variable altura de las alumnas que estudian en una escuela de idiomas sigue una distribución normal de media 1,62 m y la desviación típica 0,12 m. ¿Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100 alumnas sea mayor que 1.60 m?

pnorm(1.60,1.62,(0.12/sqrt(100)),lower.tail=FALSE)
## [1] 0.9522096

###Dsitribución en el muestreo de una proporción

Ejercicio 6
Una de las formas de premiar a los niños en edad escolar es con dulces. Según un estudio, 46% de los padres admiten premiar a sus hijos de esta manera. Suponiendo que esta cifra es correcta y se selecciona una muestra aleatoria de 100 padres.

Recuerde que:

\(\hat{\pi}=\frac{X}{C}\)

\(\mu_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\)=\(\pi\)
\(\sigma_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\)=\(\sqrt{\frac{\pi(1-\pi)}{c}}\)

6.1 ¿Cuál es la probabilidad de que \(\hat{\pi}\) sea mayor a 0,5?

Primero que nada calculamos \(\mu_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) y \(\sigma_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\)
\(\mu_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) =0.46
\(\sigma_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) = 0.049

Para calcular \(\sigma_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) con R utilizo el siguiente código

sqrt((0.46*(1-.46))/100)
## [1] 0.04983974

Teniendo ambos valores utilizo la función pnorm

pnorm(0.5,0.46,0.049,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2071567

La probabilidad de que \(\hat{\pi}\) sea mayor a 0,5 es 0.20

6.2 ¿Cuál es la probabilidad de que \(\hat{\pi}\) esté dentro de un intervalo entre 0,35 y 0,55?

pnorm(0.55,0.46,0.049)-pnorm(0.35,0.46,0.049)
## [1] 0.9544881

3.3 ¿Qué podría concluir si la proporción fuera tan pequeña como 30%?

vuelvo a calcular \(\mu_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) y \(\sigma_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\)

\(\mu_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) =0.3
\(\sigma_{\boldsymbol{\hat{\pi}}}\) = 0.045

sqrt((0.3*(1-.3))/100)
## [1] 0.04582576

Luego vuelvo a realizar los puntos 6.1 y 6.2 con estos nuevos valores

pnorm(0.5,0.3,0.045,lower.tail = FALSE)
## [1] 4.405964e-06
pnorm(0.55,0.3,0.045)-pnorm(0.35,0.3,0.045)
## [1] 0.1332602