Distribución de Bernoulli

la siguiente función simula ensayos de Bernoulli. Copie y corra el código. La función se llama escribiendo moneda(mumero). Córralo para varios valores de numero. Prueba cambiar “C” por “Exito” y “X” por “Fracaso”

moneda=function(n){
  mon <-c(); u <- runif(n); mon[u<0.5] <- "C";
mon[u>=0.5] <- "X";mon
}

Gráfico de una distribución de Bernoulli

Vea el efecto de aumentar el tamaño de n

n <- 100 #cambie este valor
simulBer <- moneda(n)
frecRel <- table(simulBer)/length(simulBer)
barplot(frecRel)

Distribución Binomial

Cálculo de Probabilidades

Una firma de ingeniería disfruta de una tasa de éxito del 40% para obtener contratos del gobierno. En la actualidad se han presentado ofertas para 8 proyectos financiados por el gobierno estatal. Las ofertas para los diferentes proyectos se evalúan independientemente el uno del otro. a. Encuentre la probabilidad que la firma no obtenga ningún contrato.
b. Encuentre la probabilidad que la firma obtenga cinco de los ocho contratos.
c. ¿Cuál es la probabilidad que la firma obtenga los ocho contratos?
d. ¿Cuál es la probabilidad que la firma obtenga a lo sumo 4 contratos?
e. ¿Cuál es la probabilidad que la firme obtenga más de 5 contratos?

#con la distribución de probabilidad usamos dbinom(x,n,p) y pbinom(x,n,p)
dbinom(0,8,0.40)
## [1] 0.01679616
dbinom(5,8,0.40)
## [1] 0.123863
dbinom(8,8,0.40)
## [1] 0.00065536
pbinom(4,8,0.40)
## [1] 0.8263296
1-pbinom(5,8,0.40)
## [1] 0.04980736

Gráfico de una distribución Binomial

plot(dbinom(1:10,8,0.40),type="h",main="Distribución Binomial")

Simulación de una distribución Binomial

BIN1 <- rbinom(25,10,0.5)
BIN2 <- rbinom(30,10,0.5)
BIN3 <- rbinom(60,10,0.5)
BIN4 <- rbinom(100,10,0.5)

par(mfrow=c(1,4))
hist(BIN1,probability = TRUE, main="Distribución Binomial",col="blue")
hist(BIN2,probability = TRUE, main="Distribución Binomial",col="blue")
hist(BIN3,probability = TRUE, main="Distribución Binomial",col="blue")
hist(BIN4,probability = TRUE, main="Distribución Binomial",col="blue")

Distribución Geométrica

Cálculo de Probabilidades

Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una desviación excesiva es de 0.05, ¿cuál es la probabilidad de que:
a. El sexto de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?
b. El séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación excesiva?

dgeom(5,0.05)
## [1] 0.03868905
dgeom(6,0.05)
## [1] 0.03675459

Gráfico de una distribución geométrica

plot(dgeom(1:10,0.40),type="h")

Distribución de Poisson

Cálculo de Probabilidades

Para cierta industria de manufactura, el número de accidentes industriales es en promedio 3 por semana.
a. Calcule la probabilidad de que en una semana cualquiera no ocurran accidentes.
b. Calcule la probabilidad que en una semana cualquiera ocurran dos accidentes.
c. Calcule la probabilidad que a lo sumo ocurran cuatro accidentes en una semana.
d. Calcule la probabilidad de que en un día cualquiera ocurran dos accidentes.

lamda <- 3  ##Accidente por semana

dpois(0,lamda)
## [1] 0.04978707
dpois(2,lamda)
## [1] 0.2240418
ppois(4,lamda)
## [1] 0.8152632
dpois(2,3/7)
## [1] 0.05982604

Gráfico de una Distribución de Poisson

Acá tenemos la variante de agregar en el título el valor de lamda

titulo <- paste("Lamda = ",lamda)
plot(dpois(1:8,lamda),type="h", main=titulo)

Simulación de una Distribución de Poisson

A continuación simulamos dos muestras de una distribución de Poisson. Una de tamaño 10 y otra de tamaño 100

pois1 <- rpois(10,3)
pois2 <- rpois(100,3)

Otra alternativa para graficar es la siguiente

frec.rel <- table(pois2)/length(pois2)
barplot(frec.rel,col="lightblue",main=titulo)

Ambos métodos

par(mfrow=c(1,2))
barplot(frec.rel,col="lightblue",main=titulo)
plot(dpois(0:8,3),type="h")

Distribución Exponencial

Cálculo de probabilidades

Sea X la duración en minutos de una conversación telefónica de larga distancia. Suponga que la densidad de X está dada por
\(f(x)=\frac{1}{10}e^{-\frac{x}{10}}\; \: \: x>0\)

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure cuando mucho 7 min?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure al menos 7 min?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que una llamada seleccionada aleatoriamente dure exactamente 7 min?  Respuesta: por definición esta probabilidad es cero. 
pexp(7,1/10)
## [1] 0.5034147
1-pexp(7,1/10)
## [1] 0.4965853

Gráfico de una distribución Exponencial

plot(dexp(1:100,1/10),type="l")

Simulación de una distribución Exponencial

exp1 <- rexp(200,1/10)
hist(exp1,probability = TRUE,col="lightSalmon")
curve(dexp(x,1/10),add=TRUE)

Distribución Gamma

Cálculo de Probabilidades

En cierta cuidad, el consumo diario de agua (en millones de litros) sigue una distribución gamma con parámetros \(r=2\; \; y\; \; \lambda =\frac{1}{3}\). Si el consumo total diario es esa ciudad es de 9 millones de litros ¿Cuál es la probabilidad de que en un día cualquiera el abastecimiento de agua sea insuficiente?

pgamma(9,2,1/3)
## [1] 0.8008517

Gráfica de la distribución Gamma

plot(dgamma(0:30,2,1/3),type="l")

Simulación de una distribución Gamma

gamma1 <- rgamma(100,2,1/3)
hist(gamma1,probability = TRUE, col="lightblue")
curve(dgamma(x,2,1/3),add=TRUE,col="red",lwd=2)

Distribución normal

Cálculo de Probabilidades

Se regula una máquina despachadora de gaseosas para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Se sabe que la cantidad de bebida despachada se distribuye normalmente con una desviación estándar de 15 mililitros.
a) ¿Qué proporción de los vasos tendrán menos de 218 mililitros?
b) ¿Qué proporción de los vasos contendrán más de 224 mililitros?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 190 y 205 mililitros?
d) Si los vasos utilizados en la máquina tienen una capacidad de 230 mililitros, ¿cuántos vasos se derramarán al servir las siguientes 1000 bebidas?
e) ¿Por debajo de qué valor obtendremos el 25% de los vasos menos llenos?

pnorm(218,200,15)
## [1] 0.8849303
1-pnorm(224,200,15)
## [1] 0.05479929
pnorm(205,200,15)-pnorm(190,200,15)
## [1] 0.3780661
1-pnorm(230,200,15)
## [1] 0.02275013
qnorm(0.25,200,15)
## [1] 189.8827

Gráfica de una distribución Normal

a <- 200-3*15  #recuerde que una distribución normal se traza por completo para 3 desvaiciones estándar
b <- 200+3*15
curve(dnorm(x,200,15),xlim=c(a,b),lwd=2)

Simulación de una distribución Normal

norm1 <- rnorm(300,200,15)
hist(norm1,probability = TRUE,col="lightSalmon")
curve(dnorm(x,200,15),add=TRUE)