散布図

例として，Rに組み込まれているcarsデータを使う．

summary(cars)

##      speed           dist       
##  Min.   : 4.0   Min.   :  2.00  
##  1st Qu.:12.0   1st Qu.: 26.00  
##  Median :15.0   Median : 36.00  
##  Mean   :15.4   Mean   : 42.98  
##  3rd Qu.:19.0   3rd Qu.: 56.00  
##  Max.   :25.0   Max.   :120.00

散布図はplotに2つの変数ベクトルを投入する．3変数以上のデータフレームを投入すると，散布図マトリックスを出力する．

plot(cars$speed,cars$dist)

散布図に回帰直線を引く．

plot(cars$speed,cars$dist)
lm_cars<-lm(dist ~ speed, data=cars)
abline(coef=coef(lm_cars),col="red")

共分散

共分散，ただしcovはn-1で割る定義である．また，covにデータフレームを投入すると，分散共分散行列を出力する．

cov(cars$speed,cars$dist)

## [1] 109.9469

cov(cars)

##           speed     dist
## speed  27.95918 109.9469
## dist  109.94694 664.0608

nで割る共分散の関数を定義する．

cov_p<-function(x,y, na.rm = TRUE) {
  if (!na.rm && any(c(is.na(x),is.na(y)))) 
    return(NA_real_)
  data<-data.frame(x=x,y=y)
  data<-na.omit(data)
  mx<-mean(data$x)
  my<-mean(data$y)
  n<-length(data$x)
  sum((data$x-mx)*(data$y-my))/n
}

cov_cars<-cov_p(cars$speed,cars$dist)
cov_cars

## [1] 107.748

相関係数

まずは，定義どおりに相関係数を計算しよう．そのために，nで割る標準偏差関数を定義する．

sd_p<-function(x, na.rm = TRUE) {
  if (!na.rm && any(is.na(x))) 
    return(NA_real_)
  x<-na.omit(x)
  m<-mean(x)
  n<-length(x)
  sqrt(sum((x-m)^2)/n)
}
sd_speed<-sd_p(cars$speed)
sd_dist<-sd_p(cars$dist)

標準得点の共分散として相関係数を計算する．

mean(((cars$speed-mean(cars$speed))/sd_speed)*((cars$dist-mean(cars$dist))/sd_dist))

## [1] 0.8068949

共分散を標準偏差の積で除したものとして相関係数を計算する．

cov_cars/(sd_speed*sd_dist)

## [1] 0.8068949

R上の関数corで計算しても値は変わらない．共分散・標準偏差の定義に1/nを使った場合でも，1/(n-1)の場合でも，相関係数の計算では，分母と分子でキャンセルされるからである．

cor(cars$speed,cars$dist)

## [1] 0.8068949

cov(cars$speed,cars$dist)/(sd(cars$speed)*sd(cars$dist))

## [1] 0.8068949