Una variable aleatòria amb distribució binomial \(X\sim{B(n,p)}\) es pot aproximar per una Poisson quan es compleix a la vegada:

Una variable aleatòria amb distribució binomial \(X\sim{B(n,p)}\) es pot aproximar per una normal quan es compleix a la vegada:

Una variable aleatòria amb distribució de Poisson \(X\sim{P(\lambda)}\) es pot aproximar per una normal quan es compleix:

Problema 1

A Vilarica de Riu Xic, un de cada 10 vehicles en circulació és un tractor. Durant els matins dels dies feiners, per la carretera del Riu hi passa una mitjana de 30 vehicles per hora.

  1. Quina és la probabilitat que durant mitja hora hi passin exactament 15 vehicles?
#Calculant amb la Poisson:
l <- 30*0.5
x <- 15
exp(-l)
## [1] 3.059023e-07
l^x
## [1] 4.378939e+17
factorial(x)
## [1] 1.307674e+12
(prob <- exp(-l)*l^x/factorial(x))
## [1] 0.1024359
dpois(x,l)
## [1] 0.1024359
#Aproximant amb la normal:
x<-15
mu <- l
(sigma <- sqrt(l))
## [1] 3.872983
(xi <- x+c(-.5, .5))
## [1] 14.5 15.5
(zi <- (xi-mu)/sigma)
## [1] -0.1290994  0.1290994
pnorm(zi)
## [1] 0.4486395 0.5513605
(prob <- pnorm(zi)%*%c(-1,1))
##          [,1]
## [1,] 0.102721
  1. I la probabilitat que hi passin 15 vehicles o menys?
x <- 15
l <- 30*0.5
xi <- x+.5
(zi <- (xi-mu)/sigma)
## [1] 0.1290994
pnorm(zi)
## [1] 0.5513605
pnorm(xi,mu,sigma)
## [1] 0.5513605
ppois(x,l)
## [1] 0.5680896
  1. I la de que hi passin exactament 3 tractors en 1 hora?
l <- 30/10
x <- 3
exp(-l)
## [1] 0.04978707
l^x
## [1] 27
factorial(x)
## [1] 6
(prob <- exp(-l)*l^x/factorial(x))
## [1] 0.2240418
dpois(x,l)
## [1] 0.2240418
  1. Quina és la probabilitat que dels primers 20 vehicles que passen per la carretera, exactament 2 siguin tractors.
n <- 20
p <- 1/10
x <- 2
(nc <- choose(n,x))
## [1] 190
(f1 <- p^x)
## [1] 0.01
(f2 <- (1-p)^(n-x))
## [1] 0.1500946
(prob <- nc*f1*f2)
## [1] 0.2851798
dbinom(x,n,p)
## [1] 0.2851798
  1. Quina és la probabilitat que dels primers 200 vehicles que passen per la carretera, exactament 20 siguin tractors.
#Amb la binomial (inviable a mà):
n <- 200
p <- 1/10
x <- 20
(nc <- choose(n,x))
## [1] 1.613588e+27
(f1 <- p^x)
## [1] 1e-20
(f2 <- (1-p)^(n-x))
## [1] 5.802988e-09
(prob <- nc*f1*f2)
## [1] 0.09363631
dbinom(x,n,p)
## [1] 0.09363631
#Aproximant amb la normal:
(mu <- n*p)
## [1] 20
n*p*(1-p)
## [1] 18
(sigma <- sqrt(n*p*(1-p)))
## [1] 4.242641
(xi <- x+c(-.5, .5))
## [1] 19.5 20.5
(zi <- (xi-mu)/sigma)
## [1] -0.1178511  0.1178511
pnorm(zi)
## [1] 0.4530928 0.5469072
(prob <- pnorm(zi)%*%c(-1,1))
##            [,1]
## [1,] 0.09381438
  1. I la probabilitat que siguin menys de 20?
mu <- n*p
n*p*(1-p)
## [1] 18
sigma <- sqrt(n*p*(1-p))
(xi <- x+-.5)
## [1] 19.5
(zi <- (xi-mu)/sigma)
## [1] -0.1178511
pnorm(zi)
## [1] 0.4530928
pbinom(x-1,n,p)
## [1] 0.4655385
  1. A Vilarica del Riu Xic un de cada 20 tractors és groc. Quina és la probabilitat que entre els primers 300 vehicles que passin per la carretera hi hagi més de dos tractors grocs?
#Amb la binomial:
n <- 300
p <- 1/10*1/20
x <- 2
(xi<-0:x)
## [1] 0 1 2
(nc <- choose(n,xi))
## [1]     1   300 44850
(f1 <- p^xi)
## [1] 1.0e+00 5.0e-03 2.5e-05
(f2 <- (1-p)^(n-xi))
## [1] 0.2222922 0.2234092 0.2245319
(prob <- nc*f1*f2)
## [1] 0.2222922 0.3351139 0.2517564
sum(prob)
## [1] 0.8091625
1-sum(prob)
## [1] 0.1908375
#comprovacions
dbinom(xi,n,p)
## [1] 0.2222922 0.3351139 0.2517564
pbinom(x,n,p)
## [1] 0.8091625
pbinom(x,n,p,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.1908375
#Aproximant per una Poisson:
(l <- n*p)
## [1] 1.5
exp(-l)
## [1] 0.2231302
(l^xi)
## [1] 1.00 1.50 2.25
factorial(xi)
## [1] 1 1 2
(prob <- exp(-l)*l^xi/factorial(xi))
## [1] 0.2231302 0.3346952 0.2510214
sum(prob)
## [1] 0.8088468
1-sum(prob)
## [1] 0.1911532
dpois(xi,l)
## [1] 0.2231302 0.3346952 0.2510214
ppois(x,l)
## [1] 0.8088468
ppois(x,l, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.1911532
  1. Observem el trànsit a la carretera del Riu durant 10 hores i comptem els tractors grocs. Quina és la probabilitat de veure’n més de dos?
(l<-10*30*1/10*1/20)
## [1] 1.5
# queda el mateix problema de l'apartat anterior

Problema 2

En una certa regió, una ostra salvatge té una probabilitat de 1/1200 de contenir una perla.

  1. Hem comprat mitja dotzena d’ostres. Quina és la probabilitat de trobar-hi alguna perla?
n <- 12
p <- 1/1200
x <- 0
(nc <- choose(n,x))
## [1] 1
(f1 <- p^x)
## [1] 1
(f2 <- (1-p)^(n-x))
## [1] 0.9900457
(prob <- nc*f1*f2)
## [1] 0.9900457
1-sum(prob)
## [1] 0.009954294
#comprovacions
dbinom(x,n,p)
## [1] 0.9900457
pbinom(x,n,p,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.009954294
  1. I si comprem 500 ostres?
n <- 500
p <- 1/1200
x <- 0
#amb la binomial 
(nc <- choose(n,x))
## [1] 1
(f1 <- p^x)
## [1] 1
(f2 <- (1-p)^(n-x))
## [1] 0.6591261
(prob <- nc*f1*f2)
## [1] 0.6591261
1-sum(prob)
## [1] 0.3408739
#comprovacions
dbinom(x,n,p)
## [1] 0.6591261
pbinom(x,n,p,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3408739
#Aproximant amb la Poisson:
l <- n*p
exp(-l)
## [1] 0.6592406
l^x
## [1] 1
factorial(x)
## [1] 1
(prob <- exp(-l)*l^x/factorial(x))
## [1] 0.6592406
1-prob
## [1] 0.3407594
# comprovació
dpois(x,l)
## [1] 0.6592406
ppois(x,l, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.3407594
  1. I la de trobar més de tres perles en 5000 ostres?
#Amb la binomial:
n <- 5000
p <- 1/1200
x <- 3
(xi<-0:x)
## [1] 0 1 2 3
(nc <- choose(n,xi))
## [1]           1        5000    12497500 20820835000
(f1 <- p^xi)
## [1] 1.000000e+00 8.333333e-04 6.944444e-07 5.787037e-10
(f2 <- (1-p)^(n-xi))
## [1] 0.01547695 0.01548985 0.01550277 0.01551570
(prob <- nc*f1*f2)
## [1] 0.01547695 0.06454106 0.13454577 0.18695016
sum(prob)
## [1] 0.4015139
1-sum(prob)
## [1] 0.5984861
#comprovacions
dbinom(xi,n,p)
## [1] 0.01547695 0.06454106 0.13454577 0.18695016
pbinom(x,n,p)
## [1] 0.4015139
pbinom(x,n,p,lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5984861
#Aproximant per una Poisson:
(l <- n*p)
## [1] 4.166667
exp(-l)
## [1] 0.01550385
(l^xi)
## [1]  1.000000  4.166667 17.361111 72.337963
factorial(xi)
## [1] 1 1 2 6
(prob <- exp(-l)*l^xi/factorial(xi))
## [1] 0.01550385 0.06459939 0.13458206 0.18691953
sum(prob)
## [1] 0.4016048
1-sum(prob)
## [1] 0.5983952
dpois(xi,l)
## [1] 0.01550385 0.06459939 0.13458206 0.18691953
ppois(x,l)
## [1] 0.4016048
ppois(x,l, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.5983952
  1. Si volem tenir més del 50% de probabilitat de trobar una perla, quantes ostres hem d’obrir?
# Fem P(0)=0.5 i substituïm a la binomial
palguna=.5
pcap=1-palguna
log(pcap)
## [1] -0.6931472
log(1-p)
## [1] -0.0008336807
log(pcap)/log(1-p)
## [1] 831.43
# Amb Poisson
-log(pcap)/p
## [1] 831.7766
# comprovació
pbinom(0, size=round(log(pcap)/log(1-p)), p, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.4998207
  1. I per tenir una probabilitat del 95%?
# Fem P(0)=0.95 i substituïm a la binomial
palguna=.95
pcap=1-palguna
log(pcap)
## [1] -2.995732
log(1-p)
## [1] -0.0008336807
log(pcap)/log(1-p)
## [1] 3593.381
# A Poisson
-log(pcap)/p
## [1] 3594.879

A la mateixa regió, en una granja de perles cultivades una ostra sembrada té una probabilitat del 20% de produir una perla d’una certa qualitat.

  1. Si s’han sembrat 1050 ostres, quantes perles podem esperar obtenir?
n<-1050
p<-.2
n*p
## [1] 210
  1. Quina és la probabilitat d’obtenir més de 220 perles d’aquestes 1000 ostres?
#Aproximant amb la normal:
x <- 220
xi <- x+.5
(mu <- n*p)
## [1] 210
n*p*(1-p)
## [1] 168
(sigma <- sqrt(n*p*(1-p)))
## [1] 12.96148
(zi <- (xi-mu)/sigma)
## [1] 0.8100926
pnorm(zi)
## [1] 0.7910565
1-pnorm(zi)
## [1] 0.2089435
# Comprovació binomial
pbinom(x, n, p, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.2081786
  1. Havent sembrat aquestes 1000 ostres, quantes perles puc assegurar que tindrem com a mínim amb una probabilitat del 99%?
psup <- .99
(zp <- qnorm(1-psup))
## [1] -2.326348
mu-zp*sigma
## [1] 240.1529
# Comprovació
pbinom(round(mu-zp*sigma), size=n, p)
## [1] 0.9898451
  1. Si volem que la probabilitat d’obtenir com a mínim 500 perles sigui del 95%, quantes ostres hem de sembrar?
  1. I si volem obtenir-ne 5000? Abans de fer els càlculs, raoneu si serà més o menys de 10 vegades les de l’apartat anterior.

Problema 3

En una zona determinada, es produeix un terratrèmol de magnitud 6 cada 12 anys.

  1. Quina és la probabilitat que es produeixi algun terratrèmol aquest any?
l <- 1/12
exp(-l)
## [1] 0.9200444
xi<-0
(l^xi)
## [1] 1
factorial(xi)
## [1] 1
(prob <- exp(-l)*l^xi/factorial(xi))
## [1] 0.9200444
1-prob
## [1] 0.07995559
dpois(xi,l)
## [1] 0.9200444
ppois(xi,l, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.07995559
  1. I la de que es produeixi en les dues hores que dura la classe?
l <- 1/12/365/24*2
exp(-l)
## [1] 0.999981
xi<-0
(l^xi)
## [1] 1
factorial(xi)
## [1] 1
(prob <- exp(-l)*l^xi/factorial(xi))
## [1] 0.999981
1-prob
## [1] 1.902569e-05
dpois(xi,l)
## [1] 0.999981
ppois(xi,l, lower.tail = FALSE)
## [1] 1.902569e-05
  1. Quants terratrèmols podem esperar que hagin ocorregut en els darrers 1000 anys?
(l <- 1/12*1000)
## [1] 83.33333
  1. Quina és la probabilitat que s’hagin produït entre 80 i 100 terratrèmols (inclosos) en els darrers 1000 anys?
#Aproximant amb la normal:
(mu <- l)
## [1] 83.33333
(sigma <- sqrt(l))
## [1] 9.128709
x <-c(80, 100)
(xi <- x+c(-.5, .5))
## [1]  79.5 100.5
(zi <- (xi-mu)/sigma)
## [1] -0.4199206  1.8805141
pnorm(zi)
## [1] 0.3372717 0.9699810
(prob <- pnorm(zi)%*%c(-1,1))
##           [,1]
## [1,] 0.6327093
#comprovació
ppois(xi-.5, l)%*%c(-1,1)
##           [,1]
## [1,] 0.6241943
  1. Quants terratrèmols podem assegurar que hi ha hagut com a mínim en aquests 1000 anys, amb una probabilitat del 10% d’equivocar-nos?
quant <-.1
z<-qnorm(.1)
mu+z*sigma
## [1] 71.63442
#comprovació (.1)
ppois(mu+z*sigma, l)
## [1] 0.09506796
  1. Quan de temps podem estar en aquesta zona si volem que la probabilitat de patir algun terratrèmol sigui només del 10%?
pcap <- .1
l<- -log(1-pcap)
t<-12
t*l
## [1] 1.264326
  1. Si ens quedem a la zona el temps que hem obtingut a l’apartat anterior, quina és la probabilitat de patir dos terratrèmols?
exp(-l)
## [1] 0.9
xi<-2
(l^xi)
## [1] 0.01110084
factorial(xi)
## [1] 2
(prob <- exp(-l)*l^xi/factorial(xi))
## [1] 0.004995377
dpois(xi,l)
## [1] 0.004995377