Conceitos básicos

O conceito de probabilidade nos ajuda a medir a chance de avaliar o impacto de resultados ou desfechos estocásticos, ou seja, desconhecidos previamente. Quando conhecemos previamente os resultados, dizemos que são determinísticos.

Compreender noções básicas sobre como medir a incerteza e então reduzi-lá, se possível, é uma habilidade fundamental.

O termo “aleatório” significa “de resultado incerto, devido à intervenção do acaso”, e tem origem no vocábulo latino “alea”, que designava os dados usados em jogos de azar (recorde o Júlio Cesar nos livros de Asterix a recitar-se “Alea jacta est”, “os dados estão lançados”). A probabilidade é a delimitação matemática do acaso.

Experimento probabilístico ou aleatório é uma ação ou um ensaio por meio do qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. A consequência de um único ensaio em um experimento probabilístico é um resultado (ponto amostral). O conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento probabilístico é o espaço amostral. Um evento, consiste em um ou mais resultados e é um subconjunto do espaço amostral (S). Em uma experiência aleatória não se sabe exatamente o resultado que se virá a observar, mas conhece-se o universo (S) dos resultados possíveis.

Exemplo:

• 1. Lançamento de uma moeda: \(S_{1}\) = {c, k}
• 2. Lançamento de um dado: \(S_{2}\) = {1,2,3,4,5,6}
• 3. Lançar uma moeda e um dado:

Diagrama de árvore
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\(S_{3}\) = {c1,c2,c3,c4,c5,c6,k1,k2,k3,k4,k5,k6}

6.1 Probabilidade de um evento

A probabilidade de um evento A é a soma das probabilidades de todos os pontos amostrais em A. Então,

\(0 \leq P(A) \leq 1\), \(P(\phi)=0\) e P(S)=1.

Além disso, se \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\), … é uma sequência de eventos mutuamente exclusivos, então

P(\(A_1 \cup A_2 \cup A_3\)) = \(P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)\) + … .

A probabilidade de um evento “A” ocorrer é escrita como P(A)- lê-se “a probabilidade do evento A”.

6.2 Tipos de probabilidades

Há 3 tipos de probabilidades: Clássica, empírica e subjetiva.

Probabilidade clássica ou teórica É usada quando cada resultado no espaço amostral tem a mesma probabilidade de ocorrer.

P(E) = \(\frac{Número\ de\ resultados\ em\ E}{Número\ total\ de\ resultados} = \frac{n(E)}{n(S)}\)

Exemplo 6.1

No lançamento de um dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de ocorre ponto par?

Solução S={1,2,3,4,5,6} = n(S) = 6

E={2,4,6} = n(E) = 3

\(P(E) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)

Exemplo 6.2

Uma sala de aula de engenharia consiste em 25 estudantes de engenharia industrial, 10 de mecânica, 10 de elétrica e 8 de enhenharia civil. Se uma pessoa é selecionada aleatoriamente pelo instrutor para responder a uma pergunta, determine a probabilidade de que o estudante escolhido seja (a) um estudante de engenharia industrial, (b)um estudante de engenharia civil ou elétrica.

Solução Os estudantes de engenharia industrial, mecânica, elétrica e civil são designados por I, M, E e C, repectivamente. O número total de estudantes na classe é 53.

1. \(P(I) = \frac{25}{53}\)

2. Já que 18 dos 53 estudantes são e engenharia elétrica ou civil, segue-se que

   \(P(C \cup E) = \frac{18}{53}\)

Probabilidade empírica (ou estatística): Baseia-se em observações obtidas de experimentos probabilísticos. A probabilidade empírica de um evento “E” é a frequência relativa desse evento. As probabilidades são obtidas após a realização dos experimentos e a ocorrência dos eventos, razão pela qual é denominada a posteriori.

O princípio básico do método das frequências é que os resultados obtidos de um grande número de experimentos são representativos e servem de estimativa do futuro. A base de sustentação dessa hipótese é a lei dos grandes números.

P(E) = \(\frac{Freq.\ do\ Evento\ E}{Freq.\ total} = \frac{f(E)}{\sum f(n)}\)

Exemplo 6.3

Uma amostra aleatória de 200 adultos é classificada pelo seu sexo e nível e instrução.

Nível de instrução	Sexo masculino	Sexo feminino	total
Elementar	38	45
Secundário	28	50
Universitário	22	17
total

Se uma pessoa desse grupo for escolhida aleatoriamente, determine a probabilidade de que:

• 1. a pessoa é um homem, e recebeu educação secundária.
• 2. a pessoa não tem nível universitário, e é do sexo feminino.

Solução

\(P(A)= \frac{28}{88} = \frac{14}{39}\)

\(P(B)= \frac{95}{112}\)

Probabilidade subjetiva

É um valor entre 0 e 1, que reoresenta um ponto de vista pessoal sobre a possibilidade de ocorrer determinado evento.

6.3 Propriedades

• \(0 \leq P(E) \leq 1\)

• P(S) = 1 (evento certo)

• \(P(\phi) = 0\) (evento impossível)

• Se \(\bar{E}\) é o evento complementar de “E”, então: \(P(\bar{E})=1-(P(E)\)

• Se E e F são dois eventos, então: \(P(E \cup F) = P(E) + P(F) - P(E \cap F)\)

• Se \(E \cap F = \phi\), então E e F são eventos mutuamente exclusivos, Então: \(P(E \cup F) = P(E) + P(F)\)

6.4 Probabilidade condicionada e independência

Muitas vezes, há interesse em calcular a probabilidade de ocorrência de um evento A, dada a ocorrência de um evento B. Em outras palavras, queemos calcular a probabilidade de ocorrência de A condicionada à ocorrência prévia de B. Essa probabilidade é representada por P(A|B) - lê-se “probabilidade de A dado B”.

Sejam A e B eventos quaisquer, sendo P(B) > 0. Definimos a probabilidade condicional de A dado B por:

P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{n(A\cap B)}{n(B)}\)

Note que no denominador temos a probabilidade do evento que supostamente aconteceu, mas calculada na condições originais do experimento.

Exemplo 6.4 (probabilidade condicionada)

A tabela mostra os resultados de um estudo com o QI de 102 crianças e a presença de um gene específico nelas. Obtenha a probabilidade de uma criança ter QI alto, dado que ela tenha o gene.

	Gene presente	Gene Ausente	Total
QI alto	33	19	52
QI normal	39	11	50
Total	72	30	102

A = evento ter QI alto

B = evento presença do gene

\(A \cap B\) = é o evento em que a criança tem QI alto dado que tem o gene.

\(P(A \cap B) = n (A \cap B) = 33\)

P(B) = n(B) = 72

P(A|B) = \(\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{33}{72}\) \(\cong 0,458\)

Eventos independentes

DEFINIÇÃO

Dois eventos A e B são independentes se e somente se

P(B|A) = P(B) ou P(A|B) = P(A),

desde que as probabilidades condicionais existam. Caso contrário, A e B serão dependentes

Por independência de eventos queremos dizer que se um evento ocorre com uma certa probabilidade, um segundo evento do mesmo tipo ocorrerá com a mesma probabilidade, não sendo afetado pelo fato de que o primeiro evento se tenha ou não realizado.

6.5 Regras multiplicativas

Se em um experimento ambos os eventos A e B podem ocorrer, então

\(P(A \cap B)\) = P(A).P(B|A), desde que P(A) > 0

Dois eventos A e B são independentes se e somente se:

P(A|B) = P(A) P(B|A) = P(B)

Então: \(P(A\cap B)\) = P(A).P(B)

Portanto, para obter a probabilidade de que ambos os eventos ocorrerão, simplesmente, determina-se o produto de suas probabilidades individuais.

Se os eventos A e B são independentes, a regra pode ser simplificada para

P(A e B) = P(A).P(B). Essa regra pode ser estendida para qualquer número de eventos independentes.

Exemplo 6.5 (Evento dependente)

Suponha que temos uma caixa com 20 fusíveis, dentre os quais cinco apresentam defeito. Se dois fusíveis são selecionados aleatoriamente e removidos da caixa, sucessivamente, sem reposição do primeiro, qual é a probabilidade de que ambos apresentem defeito?

Solução. A = evento no qual o primeiro fusível apresenta com defeito B = evento no qual o segundo apresenta com defeito

\(A \cap B\) = é o evento em que A ocorre, e então B ocorre após A ter ocorrido.

\(P(A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}\)

\(P(B) = \frac{4}{19}\)

\(P(A \cap B)\) = P(A).P(B|A) = \(\frac{1}{4}\).\(\frac{4}{19}\) = \(\frac{1}{19}\)

Exemplo 6.6 (Evento independente)

A probabilidade de um salmão atravessar com sucesso uma barragem é de 0,85. Obtenha a probabilidade de 3 salmões atravessarem com sucesso a barragem.

Solução

A probabilidade de cada salmão conseguir atravessar a barragem é de 0,85. A chance de um salmão ter sucesso é independente do resultado dos outros,

logo:

P(3 salmões atravessarem) = 0,85. 0.85. 0,85 \(\cong\) 0,614

Exemplo 6.7

Obtenha a probabilidade de nenhum dos três salmões conseguir atravessar a barragem.

Solução

P(sucesso) = 0,85

P(fracasso) = 1-0,85 = 0,15

P(nenhum dos três) = P(três fracassarem) = 0,15. 0,15. 0,15 \(\cong\) 0,003

Exemplo 6.8

Obtenha a probabilidade de pelo menos um dos três salmões ter sucesso de atravessar a barragem.

A frase “pelo menos um” significa “um ou mais”. O complemento do evento “pelo menos um conseguir” é o evento “ nenhum conseguir”. Usando a regra dos complementos:

P(pelo menos um conseguir) = 1- P(nenhum conseguir)

P(pelo menos um conseguir) = 1-0,003 \(\cong\) 0,997

Exercício 6.1 (Probabilidade)

1. Se P(A) = 0,25 e \(P(A \cup B)\) = 0,85. Determine P(B) sabendo que os eventos são:

• 1. mutuamente exclusivos. (resp. 0,6)
• 2. independentes. (resp. 0,8)

2. Em uma caixa com onze peças, quatro delas são defeituosa. São selecionadas duas peças ao acaso (uma após a outra), sem reposição.

1. Obtenha a probabilidade de as duas peças serem defeituosas?

2. Obtenha a probabilidade de ambas as peças não serem defeituosas?

3. Obtenha a probabilidade de pelo menos uma peça ser defeituosa?

3. As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrando um pênalti são respectivamente: \(\frac{1}{3}\); \(\frac{1}{4}\); e \(\frac{1}{5}\). sabendo que cada jogador baterá um único pênalti, qual a probabilidade de todos errarem? (resp: 40%)

4. Em Um círculo de raio R é inscrito um quadrado de lado l. encontre a probabilidade de que um ponto lançado aleatoriamente no interior do círculo, se encontre também no interior do quadrado, supondo que a probabilidade de queda dentro de qualquer uma das partes do círculo dependa apenas da área dessa parte e seja proporcional à mesma.

dica: use a fórmula da probabilidade clássica, P(E) = n(E)/n(S)

6.5 Distribuições de probabilidade

O histograma é usado para descrever dados de uma amostra. Uma amostra é um conjunto de medidas selecionado de uma população maior, por exemplo, os 125 diâmetros dos anéis de pistons da tabela 3.3 são uma amostra dos diâmetros selecionada do processo de produção. A população neste exemplo é o conjunto de todos os anéis de pistons produzidos por este processo.

Uma distribuição de probabilidade é um modelo matemático que relaciona o valor da variável com a probabilidade de ocorrência daquele valor na população. Em outras palavras, podemos visualizar o diâmetro dos anéis de pistons como uma variável aleatória, porque ele assume diferentes valores na população de acordo com algum mecânismo aleatório, e, assim a dstribuição de probabilidade dos diâmetros dos anéis descreve a probabilidade de ocorrência de qualquer valor do diâmetro na população. Há dois tipos de distribuição de probabilidade.

DEFINIÇÃO

1. Distribuições continuas. Quando a variável sendo medida é expressa em uma escala contínua; sua distribuição de probabilidade é chamada distribuição contínua. A distribuição de probabilidade dos diâmetros dos anéis de pistons é contínua.

2. Distribuições discretas. Quando o parâmetro sendo medido só pode assumir certos valores, tais como os inteiros 0,1,2,…, a distribuição de probabilidade é chamada distribuição discreta. Por exemplo, a distribuição do número de defeitos em placas de circuito seria uma variável discreta.

A probabilidade de uma variável aleatória x assumir o valor \(x_i\) é indicada por:

\(P(x=x_i) = p(x_i)\)

A aparência de uma distribuição contínua é a de uma curva suave, com a área sob a curva sendo igual à probabilidade, de modo que a probabilidade de x está no intervalo entre a e b é escrita como:

\(P(a \leq x \leq b) = \int_{a}^{b}f(x)dx\)

Figura 6.1 Distribuição de probabilidade contínua.