Capítulo 5. Medidas de variabilidade

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Vimos no capítulo anterior que se resume a informação contida em um conjunto de dados estabelecendo o valor de um ponto central, em torno do qual os dados se distribuem. Neste capítulo veremos que deve-se calcular, além do valor desta medida de tendência central, um valor que mostre a variabilidade dos dados, ou seja, uma medida de dispersão.

As principais medidas de dispersão são: amplitude, variância, desvio-padrão e coeficiente de variação.

5.1 Amplitude

Amplitude é a diferença entre o valor máximo e mínimo de um conjunto de dados.

Fórmula:

\(amplitude = máximo - mínimo\)

A amplitude é fácil de calcular e de interpretar, mas não mede bem a variabilidade dos dados, pois usam-se apenas dois valores extremos.

Isto significa que:

• Dois conjuntos de dados com variabilidade muito diferentes podem ter a mesma amplitude.

• Um valor discrepante faz a amplitude aumentar muito. A amplitude é muito sensível aos valores extremos.

5.2 Variância amostral

Quando a média é usada como medida de tendência central, podemos calcular o desvio de cada observação em relação à média como segue:

\(desvio = observação - média\)

\(desvio = x - \bar{x}\)

Se os desvios em relação à média são pequenos, podemos concluir que as observações estão aglomeradas em torno da média. A variabilidade dos dados é, portanto, pequena. Se os desvios são grandes, os dados estão muito dispersos. Logo, a variabilidade dos dados é grande. A variância é uma medida de variabilidade que capta essas duas situações.

**Exemplo 5.1*

São fornecidas as idades, em anos completos, de cinco máquinas:

      {3,6,5,7 e 9}

Como a média é 6 anos, os desvios em relação à média são os valores apresentados na tabela 5.1.

Tabela 5.1 Cálculo dos desvios

A média dos desvios poderia ser uma boa medida de variabilidade se a sua somatória não fosse zero (-3 + 0 -1 + 1 + 3). Aliás, esse é o motivo de a média aritmética ser uma boa medida de tendência central: o “peso” dos desvios negativos é igual ao peso dos positivos.

Para obter uma medida de variabilidade, é preciso eliminar os sinais dos desvios antes de calcular a média. Para isso eleva-se os desvios ao quadrado. A medida de variabilidade assim obtida é chamada de variância, que se indica por \((s^2)\).

DEFINIÇÃO

Define-se variância do conjunto X como o momento de 2a. ordem centrado em sua média aritmética (pode-se centrar o momento em qualquer valor; o centrado na média aritmética é o menor deles).

Fórmula. Variância populacional de X.

Dados discretos:

\(\sigma^2 = \sum p(x - \mu)^{2}\) (Geral)

\(\sigma^2 = \frac{1}{N}\) \([\sum x^2 - \frac{(\sum x)^2}{N}]\) (Sem a média)

Dados Contínuos \(\sigma^2 = \int(x-\mu)f(x)dx\)

Fórmula. Variância amostral de X.

\(s^2 = \frac{1}{n-1}\) \(\sum (x - \bar{x})^2\) (Geral)

\(s^2 = \frac{1}{n-1}\) \([\sum x^2\) - \(\frac{(\sum x)^2}{n}]\) (Sem a média)

Fórmula. Variância amostral de X, dados agrupados.

\(s^2 = \frac{1}{n-1}\) \(\sum f(x - \bar{x})^2\) (Geral)

\(s^2 = \frac{1}{n-1}\) \([\sum (f.x^2)\) - \(\frac{(\sum f.x)^2}{n}]\) (Sem a média)

onde \(n = \sum f\)

Exemplo 5.2

Calcule a amplitude do conjunto de dados A = {2,4,7,10,27,32,59,147,271,599}

Solução

Amp = 599 - 2 = 597 ( ou de 2 a 599)

A <- c(2,4,7,10,27,32,59,147,271,599)
A

##  [1]   2   4   7  10  27  32  59 147 271 599

max(A)

## [1] 599

min(A)

## [1] 2

Amp <- max(A) - min(A)
Amp

## [1] 597

Exemplo 5.3

Calcule a variância do conjunto de dados: {2,4,7,9,11,15}

\(\bar{x} = 8\)

\(s^2=\frac{(2-8)^2+(4-8)^2+(7-8)^2+(9-8^2+(11-8)^2+(15-8)^2)}{6-1}\)

\(s^2=22,4\)

x<-c(2,4,7,9,11,15)
n<-length(x)
varx<-(sum(x^2)-(sum(x)^2/n))/(n-1)
varx

## [1] 22.4

##Aplicando a fórmula implementada no R:
var(x)

## [1] 22.4

Exemplo 5.4

Determine a variância para a distribuição de frequências dada na tabela 5.2

Tabela 5.2 Distribuição de frequência

\(\sigma^2 = \frac{1}{n-1}\) \([\sum (f.x^2)\) - \(\frac{(\sum f.x){^2}}{n}]\)

\(\sigma^2 = \frac{1}{30-1}\) \((102892 - \frac{1756{^2}}{30})\)

\(\sigma^2 = \frac{107,46}{29} = 3,71\)

5.3 Desvio-padrão

O cálculo da variância envolve quadrados de desvios. Então a unidade de medida da variância é igual ao quadrado da medida das observações.

Para obter uma medida de variabilidade na mesma unidade de medida dos dados, extrai-se a raiz quadrada da variância. Obtém-se, assim, o desvio padrão.

Desvio-padrão é a raíz quadrada da variância, com sinal positivo.

DEFINIÇÃO

Desvio-padrão é a média quadrática de X centrado em \(\mu\). É indicado por \(\sigma\) ou por “s”, conforme se refira a populações ou a amostras.

Fórmula:

Desvio-padrão amostral:

\(s =\sqrt{variância} = \sqrt{s^2}\)

Exemplo 5.5

Determinar o desvio-padrão para os dados do exemplo 5.3

\(s = \sqrt{variância} = \sqrt{22,4} = 4,7\)

5.4 Dispersão relativa

Por dispersão relativa entende-se a relação entre uma medida de dispersão e outra de centro. As medidas mais comuns são a variância relativa (variância por unidade de esperança) e o coeficiente de variação, em cujos denominadores está a média aritmética. Assim, a variancia relativa compara a variância com o quadrado da média aritmética e o coeficiente de variação, compara o desvio-padrão com a mesma média aritmética. Outra medida de dispersão relativa é a proporção, que indica o peso relativo de x em X.

Fórmulas

• Variância relativa

\(v^2 = \frac{s^2}{\bar{x}{^2}}\)

• Coeficiente de variação

\(cv = \frac{s}{\bar{x}}\)

• Proporção

\(p = \frac{f}{n}\)

Operacionalmente, é fácil perceber que o coeficiente de variação é igual à raiz quadrada da variância relativa e que, multiplicando-se os resultados por 100, as medidas resultam expressas em porcentagem.

Exemplo 5.6

A seguir são dadas as alturas (em cm) de 8 atletas. Determine o coeficiente de variação e a variância relativa.

      178, 180, 192, 180, 190, 179, 180, 191

Solução

Tabela auxiliar:

\(s^2 = \frac{1}{8-1} (270370 - \frac{1470^{2}}{8})\)

\(s^2 = \frac{257,5}{7} = 36,78\)

\(s = \sqrt{36,78} = 6,06\)

\(\bar{x} = \frac{1470}{8} = 183,75\)

Coeficiente de variação:

\(cv = \frac{6,06}{183,75} . 100\) = 3,3%

Variância relativa:

\(v^2 = \frac{36,78}{183,75^{2}}.100\) = 0,11%

x<-c(178, 180, 192, 180, 190, 179, 180, 191)
somax<-sum(x)
somax

## [1] 1470

somax2<-sum(x^2)
somax2

## [1] 270370

var(x)

## [1] 36.78571

mean(x)

## [1] 183.75

sd(x)

## [1] 6.065123

#Coeficiente de variação
cv<-sd(x)/mean(x)*100
cv

## [1] 3.300747

#Variância relativa
v2<-(var(x)/mean(x)^2)*100
v2

## [1] 0.1089493

Exercício 5.1

1. Foram feitas oito medidas do diâmetro (em mm) interno de anéis forjados de pistão de um motor de um automóvel. Os dados codificados são: 1, 3, 15, 0, 5, 2, 5 e 4. Calcule a média e o desvio-padrão da amostra.

2. Em applied Life Daa Analysis (Wiley, 1982), Waine Nelson apresenta o tempo de esgotamento de um fluido isolante entre eletrodos a 34 kV. Os tempos, em minutos, são: 0,19; 0,78; 0,96; 1,31; 2,78; 3,16; 4,15; 4,67; 4,85; 6,50; 7,35; 8,01; 8,27; 12,06; 31,75; 32,52; 33,91; 36,71 e 72,89. Calcule a média, a variância e o desvio-padrão da amostra.

3. Sete medidas da espessura de óxido em pastilhas são estudadas para verificar a qualidade em um processo de fabricação de semicondutores. Os dados (em angstrons) são: 1264, 1280, 1301, 1300, 1292, 1307 e 1275. Calcule a média, a variância relativa e o coeficiente de variação da amostra.

4. Na tabela de distribuição de frequência a seguir estão apresentadas as espessuras (em mm) de 40 chapas de aço. Determine a espessura média e o desvio-padrão.

5. Na tabela a seguir estão apresentados os pesos (em kg) de uma amostra constituída por 30 frequentadores de um clube esportivo.

1. construir a tabela de frequência
2. Determine média e o desvio-padrão
3. elabore o histograma e o polígono de frequência