El objetivo de las Series Temporales es descomponer la serie observada en dos partes: una es la parte dependiente del pasado y la otra la parte impredecible.

\(Y_t=f(Y_(t-1), Y_(t-2),....,Y_1)+ a_t\)

\(a_t\) es la parte impredecible de la Serie Temporal o también llamada Ruido Blanco. Es un elemento de innovación que vamos a incorporar en nuestro modelo. Hablamos de un comportamiento permanentemente aleatorio.

Si todas las series que observamos en la realidad fuesen Ruido Blanco serían impredecibles y no habría ningún modelo que proponer.

Un Ruido Blanco es una serie tal que su media es cero, la varianza es constante y es incorrelacionada.

\(E(a_t)=0\)

\(Var(a_t)=\sigma_a^2\)

\(cov(a_t,a_{t+_h})=0\)

Se trata de un proceso en el que todas sus variables son independientes.



Existen dos ramas en las que se estudia el Ruido Blanco que son la Estadística y la Ingeniería.

A continuación, se presenta un ejemplo que pertenece a la parte de “Señales Aleatorias” dentro la rama de Ingeniería.

Una de las formas de describir el Ruido blanco es como una señal aleatoria (proceso estocástico) que se caracteriza por el hecho de que sus valores de señal en dos tiempos diferentes no guardan correlación estadística. Como consecuencia de ello, su densidad espectral de potencia (PSD) es una constante, es decir, su gráfica es plana. Esto significa que la señal contiene todas las frecuencias y todas ellas muestran la misma potencía. Igual fenómeno ocurre con la luz blanca, de allí la denominación. Dicho de otra forma, el Ruido Blanco posee una cantidad constante de picos de onda similares o iguales.

El Ruido Blanco es una señal no correlativa, es decir, en el eje del tiempo la señal toma valores sin ninguna relación unos con otros. Cuando se dice que tiene una potencia espectral de potencia plana, con un ancho de banda teoricamente infinito, es que en un gráfica espectral de frecuencia tras haber realizado una descomposición espectral de Fourier, en el dominio de la frecuencia veríamos todas las componentes con la misma amplitud, haciendo el efecto de una linea continua paralela al eje horizontal.

Si la PSD no es plana, se dice que el Ruido está correlacionado. Según la forma que tenga la gráfica de la PSD del Ruido, se definen diferentes colores.


Ejemplo visual:

La imagen que presenta continuación es Ruido Blanco, ya que sus pixeles no poseen ningún tipo de relación entre si. Su densidad espectral es constante. Si la imagen fuese a color, la llamada ‘’nieve’’ seria de colores aleatorios. Cuando un televisor a tubo, se encuentra encendido sin el cable coaxil conectado, se puede visualizar esta imagen en su pantalla.





Otros ejemplos:

Los números ganadores de la loteria.

–Se encuentran dentro de un rango fijo (varianza constante).

–Cada número es independiente del anterior. No hay dependencia entre el pasado y el futuro (cov(at,aj)=0).

–Los números de la lotería no tienen media 0 pero podemos restarle la media y así tendrán media 0.



Teorema de Descomposición de Wold

Cualquier proceso estacionario se puede dividir en dos partes: La primera es una combinacion lineal de ruidos blancos y la segunda la componente sistematica.

–El proceso \(E_t\) es la diferencia entre los valores pronosticados y los de la serie. Si nuestro modelo realiza buenos pronósticos, los errores serán Ruido Blanco.

–La componente sistemática es la parte que depende directamente del valor de t.



EN RSTUDIO

Generamos un W-N

set.seed(123)

Variables aleatorias Normales al azar

GWN <- rnorm(n = 100, mean = 5, sd = 0.2)

Generamos 100 observaciones independientes que siguen una distribución normal de media 5 y desviacion 0.2 X~N(5;0.2)

Variables aleatorias de Poisson

PWN <- rpois(n = 50, lambda = 20)

Generamos 50 observaciones independientes de media 20 y varianza 20. Poisson (\(\lambda\))

Lo pintamos:

Set up plot region Las dos gráficas siguientes las dibuja en una misma ventana:

par(mfrow = c(1, 2))

Plot normal variates with mean

plot.ts(GWN, col="#5FB404")
abline(h = 5, col = "blue", lty = "dashed")

Plot Poisson variates with mean

plot.ts(PWN, col="#5FB404")
abline(h = 20, col = "blue", lty = "dashed")

Y vemos sus autocorrelogramas:

Un correlograma es una imagen de la correlación de estadísticas. Por ejemplo, en el análisis de series temporales, el correlograma, también conocido como un gráfico de autocorrelación, es una representación gráfica de las autocorrelaciones de la muestra \(r_h\) versus \(h\), (El tiempo).

Está formado por las correlaciones estimadas y sus desviaciones típicas.

Set up plot region Dibuja dos gráficas en una misma ventana:

par(mfrow = c(1, 2))

Plot normal variates with mean

acf(GWN, main = "Distribución Normal",col="#FF8000", lag.max = 20)

Plot Poisson variates with mean

acf(PWN, main = "Distribución Poisson",col="#FF8000",lag.max = 20)

EJEMPLO RUIDO BLANCO

Generamos los datos

ruido_blanco=rnorm(1000,0,1)

Graficamos la serie de tiempo

plot.ts(ruido_blanco, main="Ejemplo de Ruido Blanco", xlab="Tiempo", ylab="Valores",col="6")

Graficamos su correlograma

acf(ruido_blanco,main="Correlograma",col="2",lag=50)

Como no hay ningún coeficiente de correlación significativo, podemos decir que los datos son independientes.

Calculamos la media entorno a la que se encuentra el Ruido Blanco

mean(ruido_blanco)    
## [1] -0.04452296

El Ruido Blanco está entorno a una media de -0.044523.Es adecuada ya que la media debe aproximarse a 0.



Lo que hemos hecho en este ejemplo es simular valores de una serie de tiempo proveniente de una distribución normal con media cero y varianza uno. Se calcula la media con el comando MEAN y se analiza la incorrelación por medio del correlograma generado de la función AFC. Se observa en la gráfica que sus valores para el t>0 son casi cero o que están debajo de las bandas azules de la gráfica (bandas de Bartlett) .

Hay dos cosas importantes en la definición de Ruido Blanco, pedir que la varianza sea constante con respecto al tiempo es algo bastante relevante como ya se ha dicho anteriormente. Esa propiedad se llama Homocedasticidad.

Cuando se analiza la Regresión Lineal se pueden hacer varias pruebas estadísticas al respecto, pero con las Series de Tiempo basta analizar el comportamiento de la función de autocorrelación que se gráfica en los correlogramas.



También se puede probar que una serie es un Ruido Blanco por medio de prueba de hipótesis. Para esto se puede hacer uso de dos posibles pruebas Ljung-Box o Durbin-Watson.

EJEMPLO RUIDO BLANCO

Prueba Ljung-Box

Box.test(ruido_blanco)
## 
##  Box-Pierce test
## 
## data:  ruido_blanco
## X-squared = 1.2107, df = 1, p-value = 0.2712

En este caso, al obtener este p-valor lo que nos indica es que no rechazamos la Hipótesis Nula y por tanto decimos que esta variable es un Ruido Blanco.



La relevancia de los Ruidos Blancos es que son piezas fundamentales de la construcción de los modelos ARMA. Por eso es importante tener ubicadas sus propiedades y como simularlos.

Cabe mencionar que existe una relación entre las caminatas aleatorias(Random Walks) y los Ruidos Blancos. Random Walks es una formalización matemática de la trayectoria que resulta de hacer sucesivos pasos aleatorios. La diferenciación de una caminata aleatoria o Random Walks es un Ruido Blanco.