1.

Heikki mittasi lepopulssiaan ja sai seuraavat tulokset: 67, 62, 58, 74, 65, 66, 63. Määritä 95 % luottamusväli Heikin keskimääräiselle lepopulssille.

x <- c(67, 62, 58, 74, 65, 66, 63)

a <- mean(x)
s <- sqrt(mean(x ^ 2) - mean(x)^ 2)
n <- 7
pulssi <- qt(0.975,df=n-1)*s/sqrt(n)
left <- a-pulssi
right <- a+pulssi
left
## [1] 60.74743
right
## [1] 69.25257

Vastaus: 60.74743, 69.25257

2.

Estimoitaessa normaalisti N(mu???;2,2) jakautuneen satunnaissuureen odotusarvoa mu,??? otetaan n kpl:n otos. Kuinka suuri otos on valittava, että mu???:n 99 %:n luottamusvälin pituus ei ole suurempi kuin 1,5

teht2 <- function(error, standardDeviation) {
  n <- qnorm(0.995)^2 * standardDeviation^2 / error^2
  return(n)
}
round(teht2(0.75, 2.2), 0)
## [1] 57

Vastaus: Otoksen koko on oltava 57

3.

Internetgallupissa kysyttiin 1500 suomalaiselta, onko heillä ilmalämpöpumppua. Ilmalämpöpumpun sanoi omistavansa 52,9 %. Määritä 95 %:n luottamusväli ilmalämpöpumpun omistavien suhteelliselle osuudelle.

library(Hmisc)
## Loading required package: lattice
## Loading required package: survival
## Loading required package: Formula
## Loading required package: ggplot2
## 
## Attaching package: 'Hmisc'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     format.pval, units
round(binconf((52.9/100*1500), 1500, alpha = 0.05), 3)
##  PointEst Lower Upper
##     0.529 0.504 0.554

Vastaus:
PointEst Lower Upper
0.529 0.504 0.554
Luottamusväli suhteelliselle osuudelle on [50.4, 55.4].

4.

Otoksesta, jonka koko on a) 35 b) 100, saadaan otoskeskiarvoksi 168.1 cm? Perusjoukon keskihajonta on 10,0 cm. Testaa, poikkeaako mu arvosta 172 tilastollisesti.

a)

z.testi <- function(keskiarvo, n, mu, sd) {
  zeta <- (keskiarvo - mu) / (sd / sqrt(n))
  return (zeta)
}
z <- z.testi(168.1, 35, 172, 10)
z
## [1] -2.307271
pnorm(z, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.9894801

Poikkeaa melkein merkitsevästi, 1 % < 1.05 < 5 %

b)

z.testi <- function(keskiarvo, n, mu, sd) {
  zeta <- (keskiarvo - mu) / (sd / sqrt(n))
  return (zeta)
}
z <- z.testi(168.1, 100, 172, 10)
z
## [1] -3.9
pnorm(z, lower.tail = FALSE) 
## [1] 0.9999519

Poikkeaa erittäin merkitsevästi, 0.00481 < 0.1 %

5.

Suklaakonvehtirasian sisällön painoksi ilmoitetaan 300 g. Tuotannon luotettavuutta testattiin 20 rasian otoksella. Otoksen keskiarvo oli 295 g ja keskihajonta 7,8 g. Testaa kaksisuuntaisella testillä 5%:n riskitasolla voidaanko luottaa siihen, että rasioiden keskipaino on 300 g.

H0 : Rasioiden keskipaino on 300 g. H1 : Rasioiden keskipaino on 295 g.

t.testi <- function(keskiarvo, n, mu, sd){
  tee <- (keskiarvo - mu) / (sd / sqrt(n))
  return(tee)
}
t <- t.testi(295, 20, 300, 7.8)
t # tulostetaan t:n arvo
## [1] -2.866754
p_arvo <- 2*pt(-abs(t), df = 20 - 1)
p_arvo
## [1] 0.009873326

Nollahypoteesi hylätään eli ei voida luottaa keskipainon olevan 300 g.

6.

Empaattisuutta käsittelevässä tutkimuksessa tyttöjen ja poikien saamat pistemäärät olivat seuraavat: * Tyttö 52 56 56 58 60 62 68 74 * Poika 60 58 56 54 52 50 48 46 Selvitä kaksisuuntaisella testillä, onko tyttöjen ja poikien keskiarvoissa eroa.

tytot <- c(52, 56, 56, 58, 60, 62, 68, 74)
pojat <- c(60, 58, 56, 54, 52, 50, 48, 46)

t.test(tytot, pojat, alternative = c("less"), mu = 0, paired =
         FALSE, var.equal = FALSE, conf.level = 0.99)
## 
##  Welch Two Sample t-test
## 
## data:  tytot and pojat
## t = 2.5251, df = 12.37, p-value = 0.9869
## alternative hypothesis: true difference in means is less than 0
## 99 percent confidence interval:
##      -Inf 15.94154
## sample estimates:
## mean of x mean of y 
##     60.75     53.00

Vastaus: Keskiarvoissa on eroa.

7.

Testaa 5 % riskillä, noudattavatko linja-autojen kulkuajat tasaista jakaumaa. Tätä varten laskettiin tunnin aikana havaintopisteen ohittavat linja-autot ja saatiin seuraava empiirinen jakauma:

Tunnin neljännes Autojen lukumäärä
1. 6
2. 15
3. 9
4. 18

H0 : Jakauma on tasainen
H1 : Jakauma ei ole tasainen

linkut <- c(6, 15, 9, 18)
print(chisq.test(linkut))
## 
##  Chi-squared test for given probabilities
## 
## data:  linkut
## X-squared = 7.5, df = 3, p-value = 0.05756
p <- 1-0.05756
p
## [1] 0.94244

Vastaus: Nollahypoteesi jää voimaan eli jakauma on tasainen

8.

Väitettiin, että pojat ovat enemmän poissa koulusta kuin tytöt. Asiaa selvitettiin valitsemalla umpimähkään 50 pojan ja 75 tytön otos. Pojista 14 ja tytöistä 13 oli ollut poissa koulusta edellisen kuukauden aikana. Testaa väite 5%:n riskitasolla.

henkilot <- c(50, 75)
henkiloidenPoissaolot <- c(14, 13)
prop.test(x = henkiloidenPoissaolot, n = henkilot, correct=FALSE)
## 
##  2-sample test for equality of proportions without continuity
##  correction
## 
## data:  henkiloidenPoissaolot out of henkilot
## X-squared = 2.0156, df = 1, p-value = 0.1557
## alternative hypothesis: two.sided
## 95 percent confidence interval:
##  -0.04442251  0.25775585
## sample estimates:
##    prop 1    prop 2 
## 0.2800000 0.1733333

Nollahypoteesi jää voimaan eli pojat eivät ole enemmän poissa.