課程目標

• 資料如果沒有好的研究，無法產生價值。研究如果沒有好的基礎，也無法讓人信賴。
• 例如：我們常聽到「藍色星期一」，究竟有多少人（或者比例）在星期一感到憂鬱？這些人在其他天也會感到憂鬱嗎？
• 本週上課將介紹研究設計的基本概念以及原則，提供初學者一個設計研究的方向。
  
• 例如我們仿照James等人(http://www-bcf.usc.edu/~gareth/ISL/ISLR%20First%20Printing.pdf) 在第二章的圖2.1，利用網路上的資料Advertising，觀察銷售量以及電視、廣播電台、報紙等三種廣告方式的關係，請問哪一種廣告與銷售量有關：

三種廣告與銷售量

(資料來源：http://www-bcf.usc.edu/~gareth/ISL/ISLR%20First%20Printing.pdf)

基本架構

• 羅清俊（2007）建議研究的流程為：

1.找到研究主題
2.根據理論形成概念與假設
3.測量概念
4.根據理論與概念收集資料
5.統計分析資料與詮釋
6.撰寫報告

• 研究主題涉及到(1)研究對象也就是分析單位，(2)解釋的現象是相關或者是因果關係。
• 測量有信度與效度問題。
• 模型的目標有推論與預測。
• 統計分析有受監督(Supervised)與無監督(Unsupervised)統計。

分析單位

• 個人：所有成人、65 歲以上成人、孕婦等等
• 群體：學校的班級、醫院的單位
• 個人有可能受到群體的影響；個人的差異有可能同時來自群體以及個人本身
• 有分析單位才能確定測量的方式。例如：個人的身高、體重、生活品質必須以個人為單位進行測量。一個國家的醫療品質、生育率、離婚率等等則是以國家為單位測量。

相關

• 定義：兩個變數有一起變動的傾向。
• 例如：「挫折感」產生攻擊的傾向。
• 例如：做運動可以降低焦慮感。
• 相關的背後應該有理論。例如，科學家發現只要你的身體有在活動，看待周遭環境的看法就會改變，變得不再那麼有威脅、有攻擊性，也不會覺得有那麼多不安全感。

因果關係

• 如果兩個變數有相關，而且可以確定變數 X 是造成變數 Y 變動的唯一變數，X 與 Y 有因果關係。
• 例如：隨機分派兩組成年人。實驗組除了喝水之外，每天喝一杯紅酒，控制組每天只喝水。兩組的唯一差異來自於喝紅酒，因此紅酒跟心跳或是血壓之間可能有因果關係。
• 以方程式表示因果關係如下：

\[ Y = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}D \]

\[ D=\begin{cases} 1 & \text{喝紅酒}\\ 0 & \text{其他} \end{cases} \]

因果關係

• 以方程式表示因果關係如下：

\[ Y = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}D \]

• 當\(D=1\)，上面的程式改寫為：

\[ Y = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2} = (\beta_{0}+\beta_{2})+\beta_{1}X_{1} \]

• 當 \(D=0\)，

\[ Y = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\beta_{2}\cdot 0 = \beta_{0}+\beta_{1}X_{1} \]

• 相減等於 \(\beta_{2}\)，也就是類別變數 \(D\) 的作用。

測量

• 抽象概念例如「生活品質」、「顧客滿意度」需要轉換成可測量的概念，測量之後得到變數。
• 例如：「顧客滿意度」就是對於品質以及付出價格相比在心理上的滿意程度。
• 一個概念如果有不止一個面向，可以考慮用一個以上的測量。
• 例如：「心理健康」測量包括自己的生理狀況評估、與家人、朋友相處情況等等。
• 例如：「休閒運動」測量包括去過幾次美術館、每週做幾次明顯的流汗運動等等。

測量的層次

• 名目：如果測量的目的是分類，屬於名目層次的測量
• 順序：如果測量的目的是排名次，屬於順序層次的測量，例如高、中、低。過去血壓超過140/90mmHg（毫米汞柱），才是高血壓，現在標準則降低為 120/80mmHg
• 等距：分數之間的距離相等，但是沒有絕對零點，例如智力沒有 0，所以不能說某人智力是另一人的倍數。
• 比值：除了等距之外還有絕對零點，例如講話的長度。

信度

• 測量的工具應該盡可能地測量到態度或是行為的真實分數，但是真實分數觀察不到，而是由測量分數與誤差所構成：
  
  X = T + E
  X：觀察分數
  T：真實分數
  E：誤差

• 當誤差為 0，測量工具完美地測量到真實的分數。但是施測時的環境或者是受訪者當時的狀況不一樣， 有可能產生測量的誤差。

• 重測：對同一群人在不同時間進行同一測量，得到的相關分數稱為重測信度係數
• 複本：從一組題目之中，選取部分題目進行測量，前後兩次的測量的相關係數，可得到複本信度。

• 內部一致性：折半方法：把測量題目隨機分為一半或者增加一倍，然後計算各一半測驗分數的相關係數。

相關係數

• 變數X與Y的相關係數的公式為：

\[r= {\frac{\sum_{i=1\sim n} (X_{i}-\bar{X})(Y_{i}-\bar{Y})}{\sqrt{\sum (X_{i}-\bar{X})^2} \sqrt{ \sum (Y_{i}-\bar{Y})^2} }}\]

• \(-1<r<1\)

計算折半信度

• 以相關係數計算原始信度：

X<-c(2,2,2,1,3,5,3,5,4); Y<-c(2,1,3,1,2,1,4,4,5)
re <- cor(X, Y); re

## [1] 0.4099561

• 假設增加一倍的數目，計算 Spearman-Brown 信度

library(CTT)
spearman.brown(re, 2)

## $r.new
## [1] 0.5815161

Cronbach’s \(\alpha\)

• 1951 年 Cronbach 提出 \(\alpha\) 係數，國內翻譯為柯能畢曲 \(\alpha\) 係數。 \[ \alpha=\frac{k}{k-1}\cdot{1-\frac{\sum \sigma^2_{i}}{\sum \sigma^2}} \]
• k：題目數
• \(\sigma^2_{i}\)：每一道題目的變異數
• \(\sigma^2\)：所有觀察值的分數的變異數
• 也可以轉換為相關係數
• Cronbach’s \(\alpha\) \[ \alpha=\frac{k\cdot{\bar{r}}}{1+(k-1)\cdot{\bar{r}}} \]

• \(\bar{r}\)：平均問項間相關係數

• \(\alpha\) 為量表的總共變異量可歸因於同一來源或因素的比例。

實例

• 假設有問卷結果如下：

Cronbach’s \(\alpha\)

library(CTT)
reliability(df)

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## 
##  Number of Items 
##  10 
## 
##  Number of Examinees 
##  15 
## 
##  Coefficient Alpha 
##  0.582

效度

• 正確地測量到心目中的概念
• 例如：智力定義為聰明的程度，因此，好的智力測驗應該能夠測量聰明的程度。智力測驗的分數越高，應該 表現出越高的推理能力。但是智力測驗可能無法測量到記憶力。
• 效度無法直接測量，只能間接地推論。
• 只有相對的效度，要由研究者來選擇哪一種測量比較適合。

信度與效度

Validity

效度的類型

• 表面效度：從測量的字面意義判斷是否具有效度
• 內容效度：但是進一步考慮概念的面向，判斷每一個題目是否符合測量的目標， 內容是否周延、具代表性、適切性、並確實包含所欲測量主題的內涵。

建構效度

• 用一個外在的測量與我們建立的測量進行相關分析，相關係數越高，代表測量具有效度。又可分為同時與預測效度

• 同時效度：在同一個時間，進行兩種測量，其中一個已經公認具有效度，或稱為效標，另一個是不確定效度的測量。如果兩者出現理論上預期的相關，那麼可以確定測量的效度。心理健康與憂鬱症量表應該有高度相關，後者已經具有公認的效度，可以用來檢測前者的效度。

• 預測效度：在測量進行之後一段時間，分析與效標之間的相關程度。如果相關程度高，代表測量具有效度。例如，國中三年級的成績，可以評估國中二年級的學習測量。

構念效度

• 用更周延的理論架構，衡量測量能夠符合理論上的結構的程度。
• 根據理論，可以提出一些假設，而測量應該要符合理論的各種預期。
• 智力應該：

1. 隨著年齡而增長
2. 可以預測學業成就
3. 應該會受到不同教學方法的影響

• 因此智力測量的結果應該符合以上的預期，才具有構念效度。
• 如果沒有得到預期的發現，有可能是：

1. 沒有測量到所要測量的對象；
2. 理論架構有缺陷；
3. 研究設計沒有考慮其他潛在因素的影響。

變數與模型

• 根據理論收集資料，得到各種變數。例如：民主的程度、經濟成長的程度、軍事實力、貧富差距等等。
  
• 有些潛在變數由多個可觀察的變數建構而成，例如民主程度可能包含定期選舉、公平競爭、司法獨立等等，稱為測量模型。圖形中的方形代表潛在變數，圓形代表可觀察變數，小的圓形代表誤差項：

統計學習

• 假設\(Y\)是依變數，\(X=(X_{1},X_{2},\ldots,X_{p})\)為自變數，兩者的關係寫成：\(Y=f(X)+\epsilon\)。\(f\)代表固定但是未知的函數，也就是\(Y\)與\(X_{1},X_{2},\ldots,X_{p}\)之間的關係。統計學習(statistical learning)包含許多估計\(f\)的方法。
• 統計學習的目的是：

1. 預測：假設誤差項的平均值為0，\(\hat{Y}=\hat{f}(X)\)，也就是\(f(X)\)可以預測\(Y\)，因為\(\hat{f}\)只是\(f\)的預測，所以兩者之間有誤差。即使\(\hat{f}\)等於\(f\)，\(\hat{Y}=f(X)+\epsilon\)，\(\epsilon\)可能包含我們沒有測量到的變數，或是無法測量的變數，因此讓\(\epsilon\)或者是\(E(\epsilon^2)=Var(\epsilon)\)越小，預測就越準確。
2. 推論：如果我們關心的是\(X\)與\(Y\)之間的關係，例如可能有平方項，或者有負號。例如，某家公司收集了許多消費者資料，他們想要知道那些背景的消費者對於他們的產品有興趣，他們也可能只想知道正確地預測消費行為的程度，不論使用哪些變數。

觀察值與模型

• 左邊的圖顯示教育越高、收入也越高。右邊的圖顯示模型與觀察值之間的誤差。圖中的線代表可能的模型之一。 (來源：James et al (2013:17))

模型設定

• 訓練(training)：在統計學習中，觀察到的資料稱為訓練資料，例如我們有30筆資料，這就是我們的訓練資料，用來估計\(f\)。資料可寫成\(\{(x_{1},y_{1}),(x_{2},y{2}),\ldots, (x_{n},y_{n})\}\)，而每一個\(x_{i}\)，代表\(x_{ij}\)，\(i\)是觀察值，\(j\)則是\(1,\ldots,p\)的特徵或是變數。
• 如果訓練資料不同，\(\hat{f}\)應該會不同，而不同的\(\hat{f}\)之間的差異性稱為variance。越有彈性的方法將會產生越大的變異性。
• Bias指的是真實世界與模型之間的差距。如果\(f\)是非線性，那麼使用線性迴歸模型所得到的結果並不正確。
• Variance 與 Bias之間有衝突，估計方法越彈性，variance會提高，bias則會減少。因為越有彈性表示越接近資料，也就越接近真實世界。但是一旦改變資料，\(\hat{f}\)也隨之改變，也就是變異性增加。統計學習的目標為varinace與bias越小越好。

無母數與有母數方法

• \(f\)可以是有母數(parametric)或是無母數(non-parametric)，目標是讓\(Y\approx \hat{f}(X)\)。前者又稱為model-based，例如假設\(Y\)與\(X\)之間的關係為線性模型，也就是\(Y\approx f(X)=\beta_{0}+\beta_{1}X_{1}+\ldots +\beta_{p}X_{p}\)，\(p+1\)的\(\beta\)係數稱為參數，而我們需要估計這些參數的值。
• 無母數方法則不對\(f\)的型態做任何假設，目標是找到離資料點越近越好的\(f\)。
• 有母數的模型缺點是根據少數的參數估計的\(f\)有可能偏離資料，無母數的缺點則是需要許多資料點得到正確的\(f\)。而無母數方法可以得出比有母數方法更有彈性的模型。

詮釋與彈性

(來源：James et al (2013:25))

監督與不受監督

• 統計學習分成受監督與不受監督的方法。前者有\(X\)以及\(Y\)，後者只有\(X\)。如果是後者，我們可以考慮用集群分析(clustering)預測觀察值會落在哪一個分組。
• 如果有\(p\)個變數，會產生\(p(p-1)/2\)個散佈圖，我們便需要比較有效率的方式進行分組。

(來源：James et al (2013:27)) —-

結論

• 研究設計需要好的研究問題，根據理論測量概念，並且使用模型加以分析。
• 模型來自於有母數與無母數方法，前者根據少數的參數估計\(f\)，後者根據許多資料點估計\(f\)，得到的模型更有彈性，但是比較難詮釋。
• 模型的目標有推論與預測。前者重視變數之間的關係，後者重視準確程度。
• 如果目標是推論，建議採用比較容易詮釋的方法，如果目標是預測，建議採用比較有彈性的方法。
• 統計學習分成受監督與不受監督的方法。前者有\(X\)以及\(Y\)，後者只有＄\(X\)。
• Variance 與 Bias之間有衝突，估計方法越彈性，variance會提高，bias則會減少。