setwd("F:/RANDOM WALK")


La idea básica de una caminata aleatoria es que el valor de mañana de una serie es el valor de hoy más un cambio impredecible (la trayectoria de \(y_t\) sigue “pasos” aleatorios).


Un proceso estocástico sigue un paseo aleatorio si:

\(y_t = y_{t_1} + \epsilon_t\) \(\epsilon_t\) es i.i.d (ruido blanco),

donde i.i.d significa Independiente Idénticamente Distribuida, es decir, todos tienen la misma distribución y a su vez son independientes entre si.


\(E [y_t| y_{t_1}, y_{t_2}, ...] = y_{t_1}\). Si \(y_t\) sigue una caminata aleatoria, el mejor pronóstico del valor de mañana es el valor de hoy.


Random Walk inicialmente se refiere a una serie temporal que no capta tendencia ni estacionalidad, dicho de otra forma, únicamente encontramos la serie temporal con el error (\(\epsilon_t\)).

Si \(y_t\) sigue una caminata aleatoria, entonces no es estacionaria.

Las series temporales se pueden clasificar en:


No estacionarias: Son series en las cuales la tendencia y/o variabilidad cambian en el tiempo. Los cambios en la media y/o en la varianza determinan una tendencia a crecer o decrecer a largo plazo, por lo que la serie no oscila alrededor de un valor constante.


No estacionaria en media: El cambio en la media implica tendencia (a crecer o decrecer).



No estacionaria en varianza: El cambio en la varianza implica que la dispersión (variabilidad) no es constante en el tiempo, es decir, cuando la varianza se incrementa o disminuye. No se repite periódicamente un patrón.



Estacionaria: Una serie es estacionaria cuando es estable a lo largo del tiempo, es decir, cuando la media y varianza son constantes en el tiempo. Cuando podemos observar en la serie un patrón sistemático que se repite periódicamente.


Estacionaria en media: Cuando la serie temporal no tiene tendencia.



Estacionaria en varianza: Cuando se trata de una serie básicamente estable a lo largo del tiempo, sin que se aprecien aumentos o disminuciones de sus valores.(Los dientes de la sierra son estables)




A continuación, mostraremos diferentes simulaciones y sus representaciones.

Ejemplo 1

Creamos 500 observaciones independientes de una variable normal de media 0 y varianza constante, que las vamos a llamar w. Nos encontramos ante un Ruido blanco Gaussiano. Con el comando cumsum añadimos en cada paso el ruido correspondiente según esta ecuación: \(y_t = y_{t_1} + \epsilon_t\). x corresponde al Random Walk.

w = rnorm(500) 
x = cumsum (w)

Mediante el comando plot.ts dibujamos el Ruido blanco (primera gráfica) y posteriormente la Caminata aleatoria (segunda gráfica).

plot.ts(w, col="turquoise")
plot.ts(x, col='turquoise')

Utilizando el comando lines vamos a dibujar la forma que capta el Random Walk para comprobar que no tiene tendencia. Y, a través del comando abline creamos una línea que es la media de el Random Walk, en la que de nuevo verificamos que no tiene tendencia.

xx<-1:500
lo <- loess(x~xx)
lines(predict(lo), col='red', lwd=2)
abline(h=mean(x), col='blue')

Con “lines” nos aparece la línea roja que muestra el recorrido de la serie temporal.

Con abline se muestra la línea azúl con la media de los datos. Podemos observar que la serie no sigue un patrón, los picos no oscilan alrededor de la media.

Además, se observa que no capta estacionalidad, ya que no se repite periódicamente un mismo patrón sistemático.

Ejemplo 2

El sigüiente ejemplo, es muy similar al anterior con una diferencia, que se crean 100 observaciones independientes, en el punto inicial 0 de una variable normal de media 0 y varianza constante, que las vamos a llamar x.

x0=0 #punto inicial 0
T=100
x=c(x0,rnorm(T-1))
y=cumsum(x)
plot.ts(x, col="deep pink")
plot.ts(y, col="deep pink")
xx<-1:100
lo <- loess(y~xx)
lines(predict(lo), col='gold', lwd=2)
abline(h=mean(y), col='purple')

La línea dorada muestra la forma que capta de la serie temporal.

Observamos que la serie no sigue un patrón, los picos no oscilan alrededor de la media.

Gráficamente podemos decir que la serie no es estacionaria, que no capta tendencia ni estacionalidad. Estamos ante una serie que sigue una caminata aleatoria.