R Análisis Numéricos Eddy Herrera Daza

Ejercicios

1. Para el siguiente ejercico, instale el paquete “pracma”

1. Revise las siguientes funciones con la matriz del ejercicio 2
2. Evalue la matriz de transición para el método \(\textbf{SOR}\)

D1<-eye(n, m = n)
D2<-ones(n, m = n)
D3<-zeros(n, m = n)

2. Dada la siguiente matriz, utilice las funciones del paquete para descomponer la matriz \(A=L+D+U\) (Jacobi)

     [,1]  [,2]   [,3] [,4]
[1,] -8.1 -7.00  6.123 -2.0
[2,] -1.0  4.00 -3.000 -1.0
[3,]  0.0 -1.00 -5.000  0.6
[4,] -1.0  0.33  6.000  0.5

2. Utilice la función itersolve(A, b, tol , method = “Gauss-Seidel”) y solucionar el sistema asociado a la matriz \(A\) con \(b=[1.45,3,5.12,-4]^{t}\) con una tolerancia de \(1e^-9\)
3. Genere 5 iteraciones del método de Jacobi, calcular error relativo para cada iteracion

3. Sea el sistema \(AX=b\)

1. Implemente una función en R para que evalue las raíces del polinomio característico asociado a la matriz \(A\)
2. Use el teorema de convergencia para determinar cuál método iterativo es más favorable.
3. Evalue la matriz de transición para cada caso y en el caso del método de relajación determine el valor óptimo de \(\omega\)
4. Teniendo en cuenta lo anterio resolver el sistema

A = matrix(c(4, -1, -1, -1, -1, 4,
-1, -1, -1, -1, 4, -1,
-1, -1, -1, 4), nrow=4, byrow=TRUE)
A

     [,1] [,2] [,3] [,4]
[1,]    4   -1   -1   -1
[2,]   -1    4   -1   -1
[3,]   -1   -1    4   -1
[4,]   -1   -1   -1    4

b = c(1, 5, 1.5,-2.33)
b

[1]  1.00  5.00  1.50 -2.33

d Comparar con la solución por defecto

solucion<- solve(A,b)

1. Pruebe el siguiente algoritmo con una matriz \(A_{3}\), modifiquelo para quue \(a_{ii}=0\) para todo \(i\)

tril1 <- function(M, k = 0) {
if (k == 0) {
M[upper.tri(M, diag = FALSE)] <- 0
} else {
M[col(M) >= row(M) + k + 1] <- 0
}
return(M)
}

2. Implemente una función en R para que dada una matriz \(A\) se obtenga una matriz diagonal \(D\) donde en la diagonal estan los mismo elementos de A

4. Cree una función que cuente el número de multiplicaciones en el método directo de Gauss Jordan, para resolver un sistema de \(n\) ecuaciones y pruebelo para \(n=5\)

5. Dado el siguiente sistema:

   \(2x-z=1\)
   \(\beta\)x+2y-z=2
   \(-x+y+\)\(z=1\)

1. Encuentre el valor de \(\alpha\) y \(\beta\) para asegura la convergencia por el método de Jacobi
2. Genere una tabla que tenga 10 iteraciones del método de Jacobi con vector inicial \(x_{0}=[1,2,3]^t\)
3. Grafique cada ecuación y la soñlución

6. Instalar el paquete Matrix y descomponga la matriz \(A\) (del punto dos) de la forma \(LU\) y la factorizarla como \(A=QR\)

1. Determinar numéricamente la intersección entre la circunferencia \(x^2 + y^2 = 1\) y la recta \(y = x\). Usamos una aproximación inicial \((1,1)\). Utilice el pauqte BB y la función BBsolve() del paquete,grafique la solución b Analizar y comentar el siguinte código

trigexp = function(x) {
n = length(x)
F = rep(NA, n)
F[1] = 3*x[1]^2 + 2*x[2] - 5 + sin(x[1] - x[2]) * sin(x[1] + x[2])
tn1 = 2:(n-1)
F[tn1] = -x[tn1-1] * exp(x[tn1-1] - x[tn1]) + x[tn1] *
( 4 + 3*x[tn1]^2) + 2 * x[tn1 + 1] + sin(x[tn1] -
x[tn1 + 1]) * sin(x[tn1] + x[tn1 + 1]) - 8
F[n] = -x[n-1] * exp(x[n-1] - x[n]) + 4*x[n] - 3
F
}
n = 10000
p0 = runif(n) # n initial random starting guesses
sol = BBsolve(par=p0, fn=trigexp)
sol$par

8. Demuestre y realice varias pruebas que la matriz de transición por el método de Gauss-Seidel esta dada por \(T=(-D^{-1}U)(I+LD^{-1})^{-1}\)