convergencia de cauchy

Escriba y ejecute un programa que le permita generar terminos e intuir la convergencia de las

siguientes sucesiones:

a. \[\left\lbrace\frac{1}{1+n}\right\rbrace_{n\in{N}}\]

k=1
epsilon=0.00005
norma=epsilon+1
Sucesion=vector()
Diferencia=vector()
while (norma>=epsilon){
    f1=k/(k+1)
    f2=(k+1)/(k+2)
    norma=(f2-f1)
    k=k+1
    Sucesion[k]=f1
    Diferencia[k]=norma
}

plot(Diferencia, type = "l", main = "diferencia")

plot(Sucesion, type = "l", main = "sucecion")

En la gráfica se observa que la sucesión se tiende a uno a medida que la diferencia disminuye.

b. \[\begin{equation*} x_n\quad\text{Definida como:}\quad \left\{\begin{aligned} x_1 & = 1\\ x_{n+1} & = \lambda x_n -1<\lambda\ <1 \end{aligned} \right. \end{equation*}\]

Para valores Negativos de lambda:

\[\lambda=-0.99\]

k=1
epsilon=0.00005
norma=epsilon+1
lambda=-0.999
Sucesion=vector()
Diferencia=vector()
Sucesion[1]=1

#La estatura explica y El peso explica el 96% de la variabilidad 

for(i in 1:length(lambda)){
while(norma>=epsilon){
  k=k+1
Sucesion[k]=lambda*Sucesion[k-1]
norma=abs(Sucesion[k]-Sucesion[k-1])
Diferencia[k-1]=norma
}
}

plot(Sucesion,type = "l")

Para lambda igual a cero:

\[\lambda=0\]

k=1
epsilon=0.00005
norma=epsilon+1
lambda=0
Sucesion=vector()
Diferencia=vector()
Sucesion[1]=1

#La estatura explica y El peso explica el 96% de la variabilidad 

for(i in 1:length(lambda)){
while(norma>=epsilon){
  k=k+1
Sucesion[k]=lambda*Sucesion[k-1]
norma=abs(Sucesion[k]-Sucesion[k-1])
Diferencia[k-1]=norma
}
}

plot(Sucesion,type = "l")

Para valores positivos de lambda:

\[\lambda=0.99\]

k=1
epsilon=0.00005
norma=epsilon+1
lambda=0.999
Sucesion=vector()
Diferencia=vector()
Sucesion[1]=1

#La estatura explica y El peso explica el 96% de la variabilidad 

for(i in 1:length(lambda)){
while(norma>=epsilon){
  k=k+1
Sucesion[k]=lambda*Sucesion[k-1]
norma=abs(Sucesion[k]-Sucesion[k-1])
Diferencia[k-1]=norma
}
}

plot(Sucesion,type = "l")

En todos los casos, la sucesión converje a cero.
En el caso en el que lambda es negativo, la sucesión alterna entre valores positivos y negativos, hasta converjer a cero.