A continuación encontrarás una lista de ejercicios con los cuales podrás poner a prueba tu entendimiento de los conceptos de estadística.

1 Estadística Descriptiva

Determina si la afirmación es falsa o verdadero. Justifique su respuesta.

Sea \(x_{1},\cdots,x_{n}\) un conjunto de datos númericos tal que \(S^2_x=0\) entonces necesariamente \(x_{1}= x_{2}=\cdots=x_{n}\).
Si en un conjunto de datos númericos el mínimo y el máximo son iguales, esto es, \(x_{(1)}=x_{(n)}\), entonces todos los datos son iguales.
Sean \(x_{1},\cdots,x_{n}\) y \(y_{1},\cdots,y_{m}\) dos conjuntos de datos númericos tal que \(\bar{x}=\bar{y}\) entonces \(n=m\).
Sean \(x_{1},\cdots,x_{n}\) y \(y_{1},\cdots,y_{n}\) con \(n \geq 3\), dos conjuntos de datos númericos tal que \(\bar{x}=\bar{y}\) y \(S^2_x=S^2_y\) entonces los dos conjuntos de números son necesariamente iguales.
Sean \(x_{1},\cdots,x_{n}\) y \(y_{1},\cdots,y_{m}\) dos conjuntos de datos númericos tal que \(x_i \leq y_i\) para todo \(i = 1,\cdots,n\) entonces \(\bar{x} \leq\bar{y}\).
Si en un conjunto de datos númericos los tres cuartiles son iguales, esto es, \(q_{1}=q_{2}=q_{3}\), entonces todos los datos son iguales.
Sea \(x_{1},\cdots,x_{n}\) un conjunto de datos númericos tal que \(\bar{X}_{1}=\bar{X}_{2}=\cdots=\bar{X}_{n}\), donde \(\bar{X}_{i} = \frac{1}{n-1} \sum_{j \ne i} x_{j}\) entonces necesariamente \(x_{1}= x_{2}=\cdots=x_{n}\).
Si en un conjunto de datos númericos la media, la mediana y la moda son iguales, entonces todos los datos son iguales.

2 Distribuciones Muestrales

Para el desarrollo de los siguientes ejercicios no es necesario el uso de tablas.

Suponga \(Z \sim N(0,1)\). Se sabe que \(P(Z>-0.93)=0.824\). Calcule los valores de \(x\) tal que \(P(-0.93 < Z < x^2 - 2x + 1) = 0.324\).
Suponga que \(X_1 \sim N(1.5,2), X_2 \sim N(2.5,\sqrt{6}), X_3 \sim N(5,2\sqrt{2})\) y que son independientes. Calcule \(P(\bar{X} < 3 + 0.93\sqrt{2})\)
Si \(X \sim N(2,1)\). Cuál es la distribución de \(X^2 - 4X + 4\)?
Suponga que \(X_1 \sim N(2,\frac{1}{\sqrt{2}}), X_2 \sim N(3,\frac{1}{\sqrt{3}})\) variables independientes. Cuál es la distribución de \(2X_1^2 + 3X_2^2 - 8X_1 - 18X_2 + 35\)?
Se sabe que si Z es Normal estándar entonces \(P(Z <-1.96)=0.025\). Suponga que \(X \sim N(2,16)\), \(Y \sim N(1,9)\) y \(P(0.3X + 0.7Y < 1.3 + 2.418k) = 0.975\). Cu'al es el valor de \(k\)?

Si se sabe que \(\hat{\theta}_1\) es una estimador de \(\theta\) tal que \(E[\hat{\theta}_1] = a\theta + b\), con \(a \ne 0\). Proponga un estimador \(\hat{\theta}_2\) insesgado para \(\theta\). Calcule la varianza del estimador propuesto.

Sean \(X_{1},\cdots,X_{n}\) una muestra aleatoria de una distribución Bernoulli con parámetro \(p\). Defina el estimador de \(p\), \(\hat{P_n}= \frac{(X + \sqrt{n}/2)}{n + \sqrt{n}}\) donde \(X = \sum_{i=1}^n X_i\). Pruebe que \(\hat{P_n}\) es un estimador asintoticamente insesgado.
Sean \(X_{1},\cdots,X_{n}\) una muestra aleatoria de una población.Defina \(\hat{S_n}= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2\) un estimador de \(\sigma^2\) la varianza de la población. Pruebe que es un estimador asintoticamente insesgado.