Obtenção de limite superior de \(\pi\) por geometria básica
Guilherme André Peleglini Rocha
26 de Fevereiro de 2018
Introdução
Este trabalho, proposto pelas disciplias de Matemática e Estatística do mestrado em Economia Aplicada da ESALQ/USP, tem como o objetivo manifestar uma derivação de limites superiores para \(\pi\) a partir de polígonos inscritos em um círculo de raio 1. Como uma extensão, discute-se as dificultades numéricas nos cálculos em precisão dupla, algo que limita a precisão do limite mínimo calculado.
O ponto de início são duas definições para limete superior:
Definição de \(\pi\): \(\pi=\frac{P_{c}}{d_{c}}\), em que \(P_{c}\) é o perímetro da circunferência e \(d_{c}\)é o diâmetro da mesma
Perímetro da Circunferência: \(P_{c}=2\pi r_{c}=\pi d_{c}\), onde em que \(r{c}\) é o raio da circunferência.
Tem-se a à análise da inscrição do circulo no polígono regular de 6 lado (hexágono),apresentado na figura 1 a seguir. Usaremos o diâmetro do círculo igual a 2, gerando assim o valor de raio igual a 1.
Figura 1: Círculo inscrito no exágono
Para conseguir obter o limite superior de \(\pi\) basta encontrar o perímetro do hexágono e dividir o valor obtido por 2.
Como o hexágono pode ser divididos em 6 triângulos equiláteros, O cálculo do perímetro será fundametado nessa ideia.
Emprego do teorema de Pitágoras
\(L_{1}^{2}=h^{2}+r^{2}\)
\(\left (\frac{L_{1}}{2} \right)^{2}+ r^{2}=L_{1}^{2}\)
visto que \(h=\frac{L_{1}}{2}\)
\(\frac{L_{1}^{2}+4r^{2}}{4}=\frac{4L_{1}^{2}}{4}\)
\(3L_{1}^{2}=4r^{2}\)
\(L_{1}^{2}=\frac{4r^{2}}{3}\)
\(L_{1}=\frac{2}{\sqrt{3}}\)
visto que \(r=1\)
Como se encontrou um dos lados do hexágono, necessita-se multiplicar por 6 para obter o perímetro.
\(P_{h}=4 \sqrt{3}\)
Encontando assim o limite superior de \(\pi\)
\(\pi<2 \sqrt{3}\)
Fórmula Geral para o cálculo do limite superior de \(\pi\) para um polígono regular de \(n\) lados.
A partir da demonstração de um hexágono, apresentada acima, se desenvolve a fórmula geral.
Fig 2: Dodecágono e hexágono cirscunscritos em círculo
Percebe-se que \(L_{1}\) é o lado do hexágono calculado anteriormente e que \(L_{2}\) é o lado do dodecágono e \(L_{3}\) o valor que será calculado.
Pelo teorema de Pitágoras:
\(\left ( r+p \right )^{2}=r^{2}+L_{2}^{2}\)
\(\sqrt { \left ( r+p \right )^{2}}= \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}\)
\(p=\sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}-r\)
Considerando o triângulo retângulo, \(\Delta{CFD}\), aplica-se novamente o teorema de pitágoras.
\(\left (L_2-L_3 \right)^{2}=p^{2}+{L_{3}^{2}}\)
\(L_{2}^{2}-2L_2L_3+L_{3}^{2}=p^{2}+L_{3}^{2}\)
\(p^{2}=L_{2}^{2}-2L_2L_3\)
Substituindo a expressão encontrada para \(p\)
\(\left ( \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}-r \right )^{2} = L_{2}^{2}-2L_{2}L_{3}\)
\(r^{2}+L_{2}^{2}-2r \sqrt {r^{2}+L_{2}^{2}}+r^{2}=L_{2}^{2}-2L_{2}L_{3}\)
\(2r^{2}-2r \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}=-2L_{2}L_{3}\)
Dividindo os termos por \(-2L_{2}\):
\(\frac{2L_{2}L_{3}}{2L_{2}} = -\frac{2r^{2}}{2L_{2}} + \frac{2r}{2L_{2}} \sqrt{r^{2}+L_{2}^{2}}\)
\(L_{3}=- \frac{r^{2}}{L_{2}}+\frac{r}{L_{2}} \sqrt{r^{2}+L_{2}^2}\)
\(L_{3}=-\frac{r^{2}}{L_{2}}+ r \sqrt {\frac {\left ( r^{2}+L_{2}^{2} \right)}{L_{2}^{2}}}\)
\(L_{3}=-\frac{r^{2}}{L_{2}}+ r \sqrt{\frac{r^{2}}{L_{2}^{2}}+1}\)
Colocando \(r\) em evidência do lado direito da equação:
\(L_{3}=r \left ( -\frac{r}{L_{2}} + \sqrt{\frac{r^{2}}{L_{2}^{2}}+1} \right)\)
\(\frac {L_{3}}{r}=-\frac{r}{L_{2}} + \sqrt{\frac{r^{2}}{L_{2}^{2}}+1}\)
Dado que \(r=1\):
\({L_{3}}=-\frac{1}{L_{2}}+\sqrt{\frac{1}{L_{2}^{2}}+1}\)
A formula anterior trata-se da equação para o lado do polígono circinscrito na circunferência.
Programando no R Statistical Computing o polígono de \(n\) lados
Praticando a regra para \(n\) lados do polígono, tem-se:
\({L_{t+1}}=-\frac{1}{L_{t}}+\sqrt{\frac{1}{L_{t}^{2}}+1}\)
Onde \(L_{t}\) representa o comprimento do lado e \(P_{t}\) o perímetro do mesmo e tem-se:
\(P_{t}=3*2^{t}*L_{t}\)
require(Rmpfr)limite_sup_pi<-function(t,k){
x<-k*log2(10)
s<-mpfr(1,x)
p<-mpfr(0,x)
s<-sqrt(3)/3
pi_t<-Const("pi",x)
for(i in 1:t){
L<-3*2^mpfr(i,x)
p<-L*s
cat(sprintf("t= %2i Lados: %12.0f Lim sup: %s dif: %s \n",i,L,format(p,24),format(pi_t-p,24)))
s<-sqrt((1/s)^2+1)-1/s
}
}limite_sup_pi(10,100)## t= 1 Lados: 6 Lim sup: 3.46410161513775438635321 dif: -0.322508961547961147890565
## t= 2 Lados: 12 Lim sup: 3.21539030917347101734549 dif: -0.0737976555836777788828480
## t= 3 Lados: 24 Lim sup: 3.15965994209749467813708 dif: -0.0180672885077014396744384
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## t= 6 Lados: 192 Lim sup: 3.14187304997994942823425 dif: -0.000280396390156189771605970
## t= 7 Lados: 384 Lim sup: 3.14166274705803516553715 dif: -7.00934682419270745053308e-5
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## t= 10 Lados: 3072 Lim sup: 3.14159374876180663704872 dif: -1.09517201339858607793020e-6limite_sup_pi(20,100)## t= 1 Lados: 6 Lim sup: 3.46410161513775438635321 dif: -0.322508961547961147890565
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## t= 15 Lados: 98304 Lim sup: 3.14159256219863891601562 dif: 9.13911543224470183832795e-8
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## t= 18 Lados: 786432 Lim sup: 3.14158630371093750000000 dif: 6.34987885573846264338328e-6
## t= 19 Lados: 1572864 Lim sup: 3.14158630371093750000000 dif: 6.34987885573846264338328e-6
## t= 20 Lados: 3145728 Lim sup: 3.14154052734375000000000 dif: 5.21262460432384626433833e-5