1. Descrição da Atividade

O objetivo central desta nota técnica é resolver a questão 44 da Lista Comum 1, descrita abaixo:

“Como uma extensão dos exercícios anteriores, demonstre um limite superior para \(\pi\) usando círculos inscritos dentro de polígonos regulares, com 96 faces ou mais. Vamos ver quem consegue uma aproximação de \(\pi\) com mais casas decimais corretas usando esse procedimento. A derivação é mais difícil que a desenvolvida para a obtenção de limites inferiores. Apresente seu trabalho numa nota técnica elaborada utilizando o R Markdown (no R Studio) com todos os procedimentos computacionais desenvolvidos em R e mostrados na nota técnica. Carregue o arquivo no site RPubs (crie uma conta nesse site, que é grátis) e mostre o link na internet para a nota técnica na folha de almaço. Na aula daremos algumas dicas. O objetivo é construir uma nota técnica similar à que desenvolvi em rpubs.com/adriano/limites_pi mas mostrando um limite superior para \(\pi\).”

Esta nota técnica integra as atividades obrigatórias da disciplina “LES5721 - Matemática Aplicada à Economia - 2018” no curso de Mestrado em Economia Aplicada do PPGEA-ESALQ/USP.

2. Introdução

\(\pi\) é a razão do comprimento da circunferência (C) pelo diâmetro (2r, sendo r a medida do raio):

Figura 1

Figura 1

Fonte: NETO, 1978.

A busca da razão geométrica que representa \(\pi\) foi uma questão que despertou interesse de matemáticos de inúmeras civilizações na antiguidade, que para alcançarem suas aproximações do valor de \(\pi\) utilizavam “áreas ou perímetros de polígonos regulares inscritos ou circunscritos à circunferência” (NETO, 1978, p. 8). Abaixo foi relacionado algumas aproximações de \(\pi\) realizadas por matemáticos da antiguidade:

Figura 2

Figura 2

Fonte: NETO, 1978

Arquimedes (287-212 AC) foi um importante matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego da antiguidade que realizou cálculos pioneiros na busca por valores próximos de \(\pi\). Arquimedes considerou polígonos regulares de 96 faces para encontrar uma aproximação consideravelmente relevante de limites superiores para \(\pi\) para as aplicações da época, algo muito semelhante ao que será apresentado nesta nota técnica (ARCHIMEDES MANUSCRIPT, 2003; NETO, 1978).

3. Resolução da Questão

Esta nota técnica apresentará a seguir uma derivação de limites superiores para \(\pi\) a partir de círculos inscritos dentro de polígonos regulares de 6, 12, 24, 48 e 96 lados.

3.1 Caso do polígono regular de 6 lados

Uma aproximação do limite superior para \(\pi\) pode ser obtido a partir de um hexágono (um polígono regular de 6 lados). Para isso, deve-se circunscrever o círculo dentro do hexágono, conforme Figura 3 (FILHO, 2015).

Figura 3

Figura 3

Fonte: Filho, 2015.

Adotando sem perda de generalidade o diâmetro do círculo como 1 (d = 2r = 1), se observa na Figura 3 que o perímetro do círculo é Pc=2r\(\pi\). Como r=0.5, temos que o perímetro do círculo é igual a \(\pi\). No caso do perímetro do hexágono, podemos obter esta medida através da soma das áreas dos 6 triângulos equiláteros que formam o hexágono, logo o perímetro do hexágono é obtido através de \(P6=6\cdot S\). Podemos encontrar o valor da medida de S através do Teorema de Pitágoras e também através das razões trigonométricas, usando a medida da tangente. Como já realizamos o cálculo via Pitágoras em classe, realizaremos nesta nota técnica o cálculo via tangente.

Figura 4

Figura 4

Fonte: Filho, 2015.

Quando se divide ao meio um triangulo equilátero, se obtém um triangulo retângulo, podendo dessa forma se utilizar as razões trigonométricas de seno, cosseno e tangente. Adotando um determinado ângulo \(\alpha\), que representa metade do ângulo anterior do triangulo equilátero, temos, um ângulo \(\alpha\) que representa:

\(\alpha\) =60° / 2 = 30°

Sabendo que o cateto oposto de \(\alpha\) é \(\frac{s}{2}\), o cateto adjacente é r=0.5 e que estamos analisando um caso de tangente de ângulo \(\alpha\) de 30°, podemos utilizar a razão trigonométrica da tangente para resolução deste problema:

\(\tan \alpha=\frac{cateto.oposto}{cateto.adjacente}\)

\(\tan \alpha=\frac{\frac{s}{2} }{\frac{1}{2}}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{\frac{s}{2} }{\frac{1}{2}}\)

\(\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\frac{s}{2} }{\frac{1}{2}}\)

\(s=\frac{\sqrt{3}}{3}\)

Como o hexágono é um polígono regular de 6 lados iguais e s é a medida do seu lado, temos:

\(P6=\frac{\sqrt{3}}{3}\times 6\)

\(P6=2\sqrt{3}\)

Os comandos para a utilização do sistema R:

s<-(sqrt(3))/3
P6<-s*6
P6
## [1] 3.464102

Dessa forma, obtemos o limite superior de \(\pi\):

P6=3.464102>\(\pi\).

3.2 Caso do polígono regular de 12 lados

De forma recursiva, podemos utilizar um raciocínio semelhante para encontrar um limite superior para \(\pi\) baseado em um polígono regular de 12 lados (dodecágono).

Figura 5

Figura 5

Fonte: Filho, 2015.

Sem perda de generalidade, continuamos a assumir que o diâmetro possui medida 1 para para circunferência e,lembrando que o perímetro do dodecágono é a soma dos seus 12 lados, podemos através da análise dos 12 triângulos internos do dodecágono estimar a medida do lado dessa figura. Sendo assim, o perímetro do dodecágono pode ser definido por:

\(P12 = 12\cdot s\)

Representado s a medida do comprimento do lado do dodecágono.

A geometria básica nos diz que quanto mais aumentarmos o número de lados do polígono em que o círculo está inscrito, se observa a proporcional diminuição da medida do ângulo dos triângulos internos do polígono. Desta forma, o ângulo da tangente tem medida inversamente proporcional a quantidade de lados do polígono, ou seja, quanto mais lados o polígono possui, menor a medida do ângulo. Logo:

\(\alpha\) = \((60° / 2)/2=15°\)

\(\tan \alpha =\frac{\frac{s}{4}}{\frac{1}{4}}\)

Comandos do R para encontrar medida de s:

s<-tan(15*pi/180)
P12<-12*s
P12
## [1] 3.21539

Dessa forma, obtemos o limite superior de \(\pi\) ainda mais preciso que o caso do polígono de 6 lados:

P12=3.21539>\(\pi\).

3.3 Caso do polígono regular de 24 lados

Utilizando um racicínio recursivo, iremos realizar o cálculo para um polígono regular de 24 lados. Mantemos o diâmetro em medida 1 (sem perda de generalidade) e sabendo que o perímetro de um polígono regular de 24 lados é \(P24=24\cdot s\) (representando s a medida do lado), temos:

\(\alpha =7,5°\)

\(\tan \alpha =\frac{\frac{s}{8}}{\frac{1}{8}}\)

Comandos do R para encontrar medida de s:

s<-tan(7.5*pi/180)
P24<-24*s
P24
## [1] 3.15966

Dessa forma, obtemos o limite superior de \(\pi\) ainda mais preciso que o caso do polígono de 12 lados:

P24= 3.15966>\(\pi\).

3.4 Caso do polígono regular de 48 lados

Com base nos mesmos pressupostos discutidos anteriormente, iremos realizar o cálculo para um polígono regular de 48 lados. Mantemos o diâmetro em medida 1 (sem perda de generalidade) e sabendo que o perímetro de um polígono regular de 48 lados é \(P48=48\cdot s\) (representando s a medida do lado), temos:

\(\alpha =3,75°\)

\(\tan \alpha =\frac{\frac{s}{16}}{\frac{1}{16}}\)

Comandos do R para encontrar medida de s:

s<-tan(3.75*pi/180)
P48<-48*s
P48
## [1] 3.146086

Dessa forma, obtemos o limite superior de \(\pi\) ainda mais preciso que o caso do polígono de 24 lados:

P48=3.146086>\(\pi\).

3.5 Caso do polígono regular de 96 lados

Por fim, chegaremos as medidas realizadas por Arquimedes, utilizando os mesmos pressupostos anteriores:

\(\alpha =1.875°\)

\(\tan \alpha =\frac{\frac{s}{32}}{\frac{1}{32}}\)

Comandos do R para encontrar medida de s:

s<-tan(1.875*pi/180)
P96<-96*s
P96
## [1] 3.142715

Dessa forma, obtemos o limite superior de \(\pi\) ainda mais preciso que o caso do polígono de 48 lados:

P96=3.142715>\(\pi\).

4. Referências Bibliográficas

Archimedes’ Manuscript: Documentary on the Lost Knowledge of Archimedes. Original PBS Broadcast , 2003. Disponível em: https://www.youtube.com/watch?v=M4o3s_2YkPg&feature=youtu.be. Acesso em: 21 fev. 2018.

FILHO, A. A. Princípios de Inferência Dedutiva e Indutiva: Noções de Lógica e Métodos de Prova. 3° edição. Piracicaba: Scotts Valley: CreateSpace, 2015.

Neto, A. A. (et al.). Trigonometria: Noções de Matemática. 1° edição. São Paulo: Editora Moderna, 1978.