Borrador de la solucion del parcial, este es un documento informal, el teclado de la compu esta configurado en ingles y por eso no coloco acentos y no quiero cambiar la configuracion. Aproxime \(\int_{R}\int f(x,y)dA\), donde \[f(x,y)=\frac{64-8x+y^2}{16}\] \[R=\{(x,y): 0\leq x \leq 4,0\leq y \leq 8 \}\] haga esto calculando la suma de Riemann obtenida, dividiendo R en 8 cuadrados iguales y usando el centro de cada cuadrado como el punto muestra.
Solucion : Trivial, note que cada rectangulo tiene area 4, la aproximacion da 138 unidades cubicas.
Use coordenadas polares para el volumen del solido que se encuentra dentro de la esfera \(x^2+y^2+z^2=16\) y fuera de la esfera \(x^2+y^2+z^2=4\)
Solucion:
Se necesita hallar el volumen que esta entre la esfera interna y la esfera externa, por tanto puedo realizar este calculo, determinando el volumen de la esfera externa y restandole el de la esfera interna.
Volumen de la esfera externa:
\[2\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{4}\sqrt{16-r^2})rdrd\theta=256\frac{\pi}{3}\]

Nota:\(\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{4}(\sqrt{16-r^2})rdrd\theta\) es el volumen del casquete superior de la esfera, para obtener el volumen completo se puede multiplicar por dos, debido a la simetria de la esfera. Vean la regla de integracion de una potencia, pues varios se equivocaron alli.

Volumen de la esfera interna:
\[2\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}(\sqrt{4-r^2})rdrd\theta=32\frac{\pi}{3}\]

Asi, el volumen buscado es \(224\frac{\pi}{3}=56\frac{4\pi}{3}\)
Para verificar este resultado haciendo uso de la formula para el volumen de una esfera, recuerde que:

\[V=\frac{4\pi}{3}r^3\]

por tanto, el volumen buscado seria \[\frac{4\pi}{3}4^3-\frac{4\pi}{3}2^3=56\frac{4\pi}{3}\]

Use coordenadas polares para el volumen del solido que se encuentra dentro de la esfera \(x^2+y^2+z^2=16\) y fuera del cilindro \(x^2+y^2=4\), este untimo acotado por los planos \(z=2\sqrt{3}\) y \(z=-2\sqrt{3}\)

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Solucion:
Nuevamente, se calcula el volumen encerrado por la superficie externa y se le resta el de la superficie interna
Volumen de la superficie externa:
\[2\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{4}\sqrt{16-r^2})rdrd\theta=256\frac{\pi}{3}\]

Volumen de la superficie interna:
\[2\int_{0}^{2\pi}(\int_{0}^{2}2\sqrt{3})rdrd\theta=16\pi\sqrt{3}\]

Asi, el volumen buscado es \(256\frac{\pi}{3}-16\pi\sqrt{3}\)
Para verificar este resultado, tenga presente que el volumen de un cilindro esta dado por \[V=\pi*r^2*h\] luego mediante esta formula y la del volumen de una esfera, se tiene \[\frac{4\pi}{3}4^3-\pi*2^2*(2*2\sqrt{3})=256\frac{\pi}{3}-16\pi\sqrt{3}\]


Reflexione soble el caso en el que el cilindro no esta acotado.

Calcule el volumen bajo el plano \(z=5\) y en cima de la region D
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Solucion: dado dos puntos de una recta se puede calcular la ecuacion de la misma, en este ejemplo es mas sencillo plantear la integral sobre una region del tipo II, note que si la plantea como una tipo I, el area seria sumar las areas de dos regiones triangulares y la de un rectangulo. A simple vista usted puede verificar que el volumen es igual a 20 unidades cubicas, puesto que la altura es constante (z=5) y el area es \(1+2+1=4\), y como volumen es area por altura, se tiene que el volumen es \(4*5=20\)

Evalue \(\int_{0}^{1}\int_{3y}^{3}e^{x^2}dxdy\)
Solucion: esta integral no puede evaluarse de la manera como esta planteada puesto que \(e^{x^2}\) no se puede integrar con los metodos tradicionales, es por ello, que es necesario plantear la integral sobre una region del tipo I.
esta integral da como resultado \[\frac{e^9-1}{6}\]
Reflexione sobre el ultimo ejercicio, el examen ya paso, pero le podria ayudar en algun momento Con titulo

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Una pista para el trabajo: esten pendientes de ejercicios donde la altura esta definida por dos funciones

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