Teste de Permutação

Testes de Permutação

Uma das aplicações simples das permutações ao acaso são testes de comparação de médias entre grupos, como o teste t.

Uma análise exploratória dos dados mostra que as médias amostrais são muito diferentes, e as variâncias também são "muito" diferentes

#Os dados a seguir foram sugeridos no EMAIL, os valores de X foram multiplicados por 10.
#X={2, 3, 1, 0, 1, 2} e Y={1, 1, 2, 3, 2, 0 }
val=c(20, 30, 10, 0, 10, 20,    1, 1, 2, 3, 2, 0)
id= c("x","x","x","x","x","x","y","y","y","y","y","y")
dados <- data.frame(id,val)
dados

#sumário
tapply(dados$val, dados$id,summary)

$x
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
      0      10      15      15      20      30 

$y
   Min. 1st Qu.  Median    Mean 3rd Qu.    Max. 
    0.0     1.0     1.5     1.5     2.0     3.0 

medias <- tapply(dados$val, dados$id,mean)
medias

   x    y 
15.0  1.5 

##Diferença absoluta entre as médias
dif.obs <- abs( diff( as.vector(medias) ) )
dif.obs

[1] 13.5

#variâncias
tapply(dados$val, dados$id,var)

    x     y 
110.0   1.1 

Supondo que os dados não atendem as premissas de um teste t, uma alternativa é substituí-lo por um teste de permutação. Como a hipótese nula é que as duas amostras vêm de populações com a mesma média, ela pode ser simulada permutando-se ao acaso os valores entre o "x" e o "y".

Calculamos então um índice de diferenças entre as médias das amostras que deve ser similar ao obtido, caso a hipótese nula esteja correta. Repetindo esse procedimento milhares de vezes, podemos estimar a chance de um valor igual ou maior que o observado ter ocorrido mesmo se as duas amostras vêm de populações com médias diferentes.

A permutação é feita com a função sample, que pode ser repetida com um loop, por meio da função for:

##cria um vetor para armazenar os resultados
results <- c()
##Permuta os valores das medidas, calcula a diferença absoluta entre as médias e 
##armazena no vetor "results". Repete a operação n=10000 vezes
for(i in 1:10000){
results[i] <- abs( diff( tapply(sample(dados$val),dados$id,mean) ) )}

Número de vezes, em dez mil permutações, que a diferença absoluta das médias foi igual ou maior do que a observada:

sum(results >= dif.obs)

[1] 151

Logo, a diferença observada é pouco provável sob a hipótese nula, o que nos permite rejeitá-la. Um gráfico de densidade probabilística dos valores das permutações ilustra isso:

plot(density(results),xlab="Diferença Absoluta das Médias",ylab="Freq Relativa", main="")
abline(v = dif.obs, col="red")