Modelos Estadísticos. Grado Biotecnología

Introducción a la inferencia estadística

Abstract

Una vez introducidos la estadística descriptiva y los conceptos de probabilidad, en esta unidad vamos a tratar los problemas básicos de inferencia estadística. La inferencia estadística es la parte de la estadística que trata de generalizar los resultados experimnetales de una muestra a toda la población bajo estudio, es decir, a la población de la que ha tomado la muestra. En este tema introducimos los conceptos básicos y estudiamos los procesos de inferencia sobre una población.

Inferencia estadística

En la unidad anterior se han expuesto brevemente la teoría y los métodos de la probabilidad. En este tema se expondrán la teoría y los métodos de la inferencia estadística que servirán como base para los modelos estadísticos que estudiaremos en la unidad siguiente. Un problema de inferencia estadística es un problema en el cual se han de analizar datos que han sido generados de acuerdo con una distribución de probabilidad desconocida y en la que se debe realizar algún tipo de inferencia (“conocer su comportamiento”) acerca de tal distribución. En la mayoría de situaciones reales, existe un número infinito de distribuciones posibles distintas que podrían haber generado los datos. En la práctica, dado el tipo de variable aleatoria considerada, se suele asumir un modelo de distribución de probabilidad que es completamente conocida salvo excepto por los valores de los parámetros que la especifican completamente. Utilizamos los datos de la muestra para obtener información sobre dichos parámetros desconocidos y poder asumir de esta forma una distribución de probabilidad completa para todos los datos de la población.

Por ejemplo, se podría saber que la duración de cierto tipo de marcapasos tiene una distribución exponencial con parámetro \(\lambda\) pero desconocer el valor exacto de dicho parámetro. Si se puede observar la duración de varios marcapasos de este tipo, entonces, a partir de estos valores observados y de cualquier otra información relevante de la que se pudiera disponer, es posible producir una inferencia acerca de ese valor desconocido \(\lambda\). Podría interesar producir la mejor estimación del valor de dicho parámetro o especificar un intervalo en el cual se piensa que pueda estar incluido el verdadero valor de \(\lambda\), o decidir si dicho parámetro es menor que un valor específico, ya que en ningún caso es posible obtener el verdadero valor de \(\lambda\) ya que sería necesario obtener la información de todos los sujetos de la población y no sólo los de la muestra.

En un problema de inferencia estadística, cualquier característica de la distribución que genera los datos experimentales que tenga un valor desconocido, como \(\lambda\) en el ejemplo anterior, se llama parámetro de la distribución. El conjunto \(\Omega\) de todos los valores posibles de dicho parámetro se llama espacio parámetrico. Cuando nuestra distribución de probabilidad tiene dos parámetros (por ejemplo la distribución Normal) el espacio paramétrico vendrá dado por todo el conjunto de parejas de valores de \(\mu\) y \(\sigma^2\).

Estimador y estimación

Si tenemos una variable aleatoria \(X\) cuya función de distribución viene caracterizada por un parámetro o conjunto de parámetros \(\delta\), y una muestra aleatoria de tamaño \(n\), \(X_1,...,X_n\), a partir de la cual se observan el conjunto de datos muestrales \(x_1,...,x_n\) vamos a definir dos conceptos relevantes en todo proceso de inferencia: estimador y estimación.

Un estimador del parámetro \(\delta\), basado en las variables aleatorias \(X_1,...,X_n\), es una función \(\delta(X_1,...,X_n)\) que especifica una valor para \(\delta\). Se trata de una función matemática que tiene la misma forma independientemente de la muestra utilizada. Por ejemplo, los estimadores para la media, varianza (y cuasivarainza), y proporción poblacionales vienen dados por:

Media muestral

\[\delta_1(X_1,...,X_n) = \bar{X} = \frac{X_1+X_2+...+X_n}{n}\]

Varianza muestral

\[\delta_2(X_1,...,X_n) = S^2 = \frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X})^2}{n}\]

Cuasi-Varianza muestral

\[\delta_3(X_1,...,X_n) = S_q^2 = \frac{n}{n-1} S^2\]

Para una variable de tipo discreto se aplican las mismas definiciones si consideramos cada \(X_i\) como una realización de dicha variable. Para una variable que mide “éxito” o “fracaso” los valores de \(X_i\) serán 1 o 0 respectivamente, de forma que la media muestral coincide con la proporción muestral ya que tendríamos la suma de 1 en el numerador dividido por el tamaño de muestra en el denominador.

Una estimación es el valor numérico del estimador para unos datos dados (\(x_1,...,x_n\)), es decir, sustituimos en \(\delta(X_1,...,X_n)\) por sus valores observados y obtendríamos la estimación del parámetro. De forma habitual se identifica con el “gorro” encima del parámetro indica la estimación de un parámetro: \[\hat{\mu} = \delta_1(x_1,...,x_n) =\bar{x}\] \[\hat{\sigma}^2 = \delta_2(x_1,...,x_n)= s^2\]

Información contenida en la muestra

Antes de comenzar a describir los procesos de inferencia estadística es necesario conocer como podemos relacionar la información contenida en una muestra con la distribución de probabilidad de la variable aleatoria de interés. Para ello una vez fijada la población del estudio y el objetivo principal es necesario:

Establecer la variable de interés, \(X\) (y su tipo), en función del objetivo principal
Establecer una distribución de probabilidad para la variable aleatoria, \(f(X | \theta)\), acorde con el tipo de dicha variable y lo más sencilla posible, donde \(\theta\) representa el parámetro o parámetros que especifican dicha distribución.
Muestra aleatoria de tamaño \(n\) de la variable de interés, \(X_1, X_2,...,X_n\) de forma que cada observación tiene probabilidad \(f(X_1 | \theta), f(X_2 | \theta),...,f(X_n | \theta)\) respectivamente y sus valores observados vienen dados por \(x_1,...,x_n\).
Obtener los descriptivos muestrales habituales: media, varianza, desviación típica, o proporción.

Se define entonces la función de verosimilitud \(L(X|\theta)\) como: \[L(X|\theta) = \prod_{i=1}^n f(X_i|\theta) = f(X_1|\theta)f(X_2|\theta)\cdots f(X_n|\theta)\]

La función de verosimilitud contiene toda la información sobre la muestra y la relaciona con el parámetro o parámetros de interés a través de la distribución de probabilidad establecida. Se convierte por tanto en la herramienta más importante, desde el punto de vista de la estadística frecuentista, para los procesos de inferencia estadística que estudiaremos a continuación. Además, se utiliza como base para la caracterización de la distribución en el muestreo de los diferentes estimadores, aproximaciones numéricas del verdadero valor del parámetro o parámetros de la distribución de probabilidad asumida, que se utilizan en los procesos inferenciales.

Para evitar la complejidad matemática que supone trabajar con productos se suele definir el logaritmo de la función de verosimilitud, log-verosimilitud, \(LL(X|\theta)\) como: \[LL(X|\theta) = log\left(\prod_{i=1}^n f(X_i|\theta)\right) = \sum_{i=1}^n log(f(X_i|\theta)) = log(f(X_1|\theta))+log(f(X_2|\theta))+\cdots +log(f(X_n|\theta))\]

Verosimilitud para una población Bernouilli

Consideramos una variable de tipo discreto, X, que sólo puede tomar valores 1 (“éxito”) con probabilidad \(\theta\) y valor 0 (fracaso) con probabilidad \(1-\theta\). La distribución de probabilidad asociada con esta variable se conoce como distribución Bernouilli (Binomial de tamaño n = 1) y su función de densidad viene dada por:

\[f(X = 1 |\theta) = \theta; \text{ } f(X = 0 |\theta) = 1-\theta\] Si obtenemos una muestra de tamaño \(n\), \(X_1,X_2,...X_n\), y denotamos por \(s\) a la suma de todos los valores \(X_i\) iguales a 1 la función de verosimilitud y log-verosimilitud vienen dadas por:

\[L(X |\theta) = f(X_1|\theta)f(X_2|\theta)\cdots f(X_n|\theta) = \theta^s (1-\theta)^{n-s}\] \[LL(X |\theta) = s*log(\theta) + (n-s)*log(1-\theta)\]

Para comprender el comportamiento de esta funciones veamos un ejemplo utilizando las funciones anteriores. Asumiremos siempre que el número de éxitos es la mitad del tamaño muestral e iremos aumentando dicho tamaño para comprobar que efecto tiene en el comportamiento de la verosimilitud.

Como se puede ver en todos los gráficos el valor máximo de la curva se encuentra en el valor de 0.5 que coincide con le cociente entre éxitos y tamaño muestral. Esto implica que la verosimilitud nos da información sobre los valores del parámetro de la población que resultan más plausibles en función de la información muestral. Además, cuanto más aumenta el tamaño de muestra se puede ver que la función de verosimilitud es más apuntada, es decir, tenemos menor variabilidad y por lo tanto más certeza sobre los valores más plausibles del parámetro poblacional.

Un aspecto a tener en cuenta es que la verosimilitud no es una distribución de probabilidad, y por tanto, los gráficos anteriores no se pueden interpretar en términos de probabilidad. Por eso utilizamos el término plausibiliad y no probabilidad.

Verosimilitud para una población Normal

Consideramos una variable de tipo continuo, \(X\), cuya distribución de probabilidad es \(N(\mu, \sigma^2)\) de forma que su función de densidad viene dada por:

\[f(X |\mu,\sigma^2) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{1/2}exp\left\{\frac{(X-\mu)^2}{2\sigma^2}\right\}\] Si obtenemos una muestra de tamaño \(n\), \(X_1,X_2,...X_n\), y denotamos por \(\bar{X}\) a la media muestral y \(S^2\) a la varianza muestral, la función de verosimilitud y log-verosimilitud vienen dadas por: \[L(X |\mu,\sigma^2) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{n/2} exp\left\{\frac{nS^2 + n(\mu-\bar{X})^2}{2\sigma^2}\right\}\] \[LL(X |\mu,\sigma^2) = -\frac{n}{2}*log(2\pi\sigma^2)+\frac{nS^2 + n(\mu-\bar{X})^2}{2\sigma^2}\] En este caso la representación gráfica es más compleja ya que debemos hacerlo en un gráfico bidimensional, pero utilizando la expresiones la forma de la verosimilitud, resulta posible descomponerla de la siguiente forma:

\[L(X |\mu,\sigma^2) = \left(\frac{1}{2\pi\sigma^2}\right)^{n/2} exp\left\{\frac{nS^2}{2\sigma^2}\right\}exp\left\{\frac{ n(\mu-\bar{X})^2}{2\sigma^2}\right\}\]

donde el radical y la primera exponencial dependen únicamente de las varianzas, mientras que la segunda exponencial depende de las medias dado el valor de la varianza poblacional.

Procedimientos de inferencia estadística

Estudiamos en este punto los distintos procedimientos de inferencia que tratamos en esta unidad. Realizamos una pequeña introducción de cada uno de ellos y ejemplificaremos su uso en el análisis de una población.

Estimación puntual

Es el procedimiento de inferencia estadística más sencillo y consiste en obtener un único valor aproximado del parámetro de interés a partir de un estimador de dicho parámetro y de los datos observados de una muestra. Aunque en las situaciones más sencillas (media, varianza y proporción) tanto el estimador como la estimación son fáciles de obtener, hay que establecer un procedimiento general para obtener dichas estimaciones.

Dicho procedimiento consiste en encontrar el máximo de la función de verosimilitud (o más concretamente de la log-verosimilitud) para el parámetro o parámetros involucrados en dicha función, es decir, el valor o valores que se obtienen al igualar a cero la derivada de la función de log-verosimilitud: \[\frac{d}{d\theta} LL(X | \theta) = 0\]

Estimador de una proporción

La estimación de proporciones surge de forma natural en poblaciones Bernouilli cuya función de log-verosimilitud viene dada por: \[LL(X |\theta) = s*log(\theta) + (n-s)*log(1-\theta)\] Derivando e igualando a cero: \[\frac{d}{d\theta} LL(X | \theta) = \frac{s}{\theta}+\frac{-(n-s)}{1-\theta} = 0\] Despejando obtenemos: \[\hat{\theta} = \frac{s}{n}\] que es el estimador habitual para obtener la proporción muestral.

Estimador de una media

Si asumimos que la variable aleatoria es \(N(\mu,\sigma^2)\) la función de log verosimilitud viene dada por:

\[LL(X |\mu,\sigma^2) = -\frac{n}{2}*log(2\pi\sigma^2)+\frac{nS^2 + n(\mu-\bar{X})^2}{2\sigma^2}\]

Si derivamos respecto de \(\mu\) e igualamos a cero:

\[\frac{d}{d\mu}LL(X |\mu,\sigma^2) = -\frac{2n(\mu-\bar{X})}{2\sigma^2} = 0\] Despejando obtenemos el estimador para la media: \[\hat\mu = \bar X\]

Estimador de una varianza

De forma similar, derivando respecto de \(\sigma^2\) e igualando a cero la función de log-verosimilitud tenemos que el estimador para la varianza viene dado por: \[\hat \sigma^2 = S^2\]

Podemos ver que en las situaciones habituales los estimadores de los parámetros poblacionales coinciden con las funciones que nos permiten obtener las medidas de localización y dispersión muestrales.

El problema con la estimación puntual es que únicamente nos da un valor posible para el parámetro poblacional pero sin ninguna medida del posible error que estamos cometiendo, dado que la estimación obtenida depende de la muestra seleccionada. Dos muestras distintas podrían dar dos estimaciones distintas y por tanto dos valores para el parámetro poblacional. Para introducir una medida del error cometido con la muestra seleccionada se utiliza los procedimiento de inferencia basados en intervalos de confianza, pero antes de pasar con ellos es necesario describir un poco más el comportamiento aleatorio de los estimadores que acabamos de obtener.

Distribución en el muestreo

Dado que todos los estimadores se construyen a partir de una colección de realizaciones aleatorias \(X_1,...X_n\) de la variable aleatoria \(X\), resulta que dicho estimador es una nueva variable aleatoria (que toma valores según los datos observados de la muestra) y por tanto su distribución puede ser deducida a partir de las distribuciones de cada una de las \(X_i\), utilizando la función de verosimilitud. En algunos casos (variables discretas) será necesario utilizar el Teorema Central del Límite para determinar una forma aproximada de dicha distribución de probabilidad que nos permita realizar los procesos inferenciales sin demasiada complejidad matemática. La distribución de los estimadores se conoce con el nombre de distribución en el muestreo

En este punto siguiente se muestran las distribuciones en el muestro para los estimadores obtenidos en este apartado. Se eliminan todos los desarrollos matemáticos y simplemente se muestran las distribuciones obtenidas.

Distribución en el muestreo de una media poblacional con varianza poblacional conocida

Tenemos una población de \(N\) sujetos sobre la que se desea estudiar una variable aleatoria de tipo continuo (\(X\)) que sigue una distribución \(N(\mu,\sigma^2)\) y cuyo parámetro de interés es la media (\(\mu\)) pero donde conocemos el valor de \(\sigma^2\). Por la aplicación directa del Teorema Central del Límite la distribución en el muestreo de \(\bar X\) viene dada por: \[\bar X \sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)\] y por tanto la variable tipificada tiene distribución Normal estándar, es decir: \[\frac{\bar X - \mu}{\sigma/\sqrt n} \sim N(0,1)\]

Distribución en el muestreo de una media poblacional con varianza poblacional desconocida

Cuando la varianza es desconocida también se puede obtener la distribución en el muestreo de la media muestral sin más que sustituir la varianza poblacional por un estimador. Tipificando tenemos que: \[T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n-1}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S_q/\sqrt{n}}\] se distribuye según una distribución \(t\) de Student con \(n-1\) grados de libertad, \[ T \sim t_{n-1}\]

Distribución en el muestreo de una varianza poblacional

En la situación poblacional anterior la distribución en el muestreo de la varianza si consideramos la variable aleatoria: \[\chi^2 = \frac{nS^2}{\sigma^2} = \frac{(n-1)S_q^2}{\sigma^2}\] que se distribuye según una distribución Chi cuadrado con \(n-1\) grados de libertad, \[ \chi^2 \sim \chi^2_{n-1}\]

La obtención de esta distribución se hace a partir de la forma de la función de verosimilitud para una población Normal con ambos parámetros desconocidos.

Distribución en el muestreo de una proporción poblacional

Tenemos una población de \(N\) sujetos sobre la que se desea estudiar una variable aleatoria de tipo discreto (\(X\)) cuyo parámetro de interés es la proporción de sujetos (\(\theta\)) que cumplen con cierta condición. En esta situación si obtenemos una muestra de tamaño \(n\) de dicha variable \(X_1,...,X_n\) (donde cada uno de ellos toma el valor 1 si cumple con la condición y = si no cumple), la proporción de éxito muestral (\(\hat{\theta}\)) viene dada por: \[\hat{\theta} = \frac{\sum_{i=1}^n X_i}{n}\]

En esta situación la distribución en el muestreo para \(\hat{\theta}\), cuando \(n\) es grande (\(n \geq 30\)), viene dada por: \[\hat{\theta} \sim N \left(\theta, \frac{\theta (1-\theta)}{n}\right) \] de forma que la variable aleatoria tipificada \(Z\) cumple que:

\[Z = \frac{\hat{\theta}-\theta}{\sqrt{\frac{\theta (1-\theta)}{n}}} \sim N(0,1)\]

La obtención de dichas distribuciones en el muestreo nos permite realizar cálculos de probabilidades sobre dichas cantidades aleatorias, con lo que resulta posible conocer cuál es la probabilidad de que la media muestral supere cierto valor, y por tanto, podamos tener una mayor certeza del verdadero valor del parámetro poblacional.

Error estándar

Para cuantificar la bondad de la estimación obtenida se define el error estándar (\(es()\)) como la desviación típica de la distribución en el muestreo del estimador. De esta forma:

Error estándar de la media en una población Normal con varianza conocida

\[es(\bar X) = \frac{\sigma}{\sqrt n}\]

Error estándar de la media en una población Normal con varianza desconocida

\[es(\bar X) = \frac{S}{\sqrt{n-1}}\]

Error estándar de una proporción en una población Bernouilli

\[es(\hat{\theta}) = \sqrt{\frac{\hat{\theta} (1-\hat{\theta}))}{n}}\]

Estimación por intervalos de confianza

Un intervalo de confianza al nivel \(100*(1 - \alpha)\%\) representa la confianza que tenemos en que el verdadero valor del parámetro de la población se encuentre contenido entre los limites de dicho intervalo, que se construye a partir de la información muestral y la distribución en el muestreo del estimador. Si tenemos un intervalo de confianza al 95%, es decir \(\alpha = 0.05\), lo que estamos indicando es que si obtuviéramos 100 muestras y calculáramos los 100 intervalos asociados, solo en 95 de ellos contendrían al verdadero valor del parámetro poblacional. Dado que habitualmente tomamos una única muestra debemos confiar en que el intervalo producido sea uno de los 95 que contiene al verdadero valor del parámetro poblacional. El valor de \(\alpha\) se conoce como significatividad.

Supongamos que tenemos una población sobre la deseamos estudiar una variable aleatoria \(X\) cuya función de distribución es conocida y viene caracterizada por el parámetro \(\theta\), \(f(X|\theta)\). Vamos a obtener una muestra de tamaño \(n\), \(X_1,...,X_n\) y consideramos el estimador \(\hat\theta\) de \(\theta\) del que conocemos su distribución en el muestreo, \(f_n\),y podemos especificar su error estándar, \(es(\hat{\theta})\). Si fijamos el valor de \(\alpha\) el intervalo de confianza para el parámetro poblacional viene dado por la expresión:

\[IC_{1-\alpha}(\theta) = (\hat{\theta} - q_{\alpha/2}*es(\hat{\theta}),\hat{\theta} + q_{1-\alpha/2}*es(\hat{\theta}))\] donde \(q_{\alpha/2}\) y \(q_{1-\alpha/2}\) son los cuantiles \(\alpha/2\) y \(1-\alpha/2\) de la distribución en el muestreo, es decir, \[P(\hat{\theta} \leq q_{\alpha/2}) = \alpha/2\] \[P(\hat{\theta} \leq q_{1-\alpha/2}) = 1-\alpha/2\]

Si la distribución en el muestreo es simétrica \(q_{1-\alpha/2} = - q_{\alpha/2}\)

Antes de estudiar la forma explicita de los intervalos de confianza para una proporción, una media, y una varianza vamos a ver una herramienta de simulación que nos permite comprobar el funcionamiento de dichos intervalos. El funcionamiento de la aplicación es:

Fijar valor del parámetro poblacional
Fijar el tamaño de la muestra
Establecer el límite de confianza
Establecer el número de muestras de trabajo y simularlas representando los intervalos de confianza obtenidos.
Podemos ver entonces cuantos de esos intervalos contienen al verdadero valor del parámetro.

Acceder a la aplicación

Intervalo de confianza para una proporción

El intervalo de confianza al nivel \(100*(1 - \alpha)\%\) para una proporción poblacional viene dado por: \[IC_{1-\alpha}(\theta) = \left(\hat{\theta} - q_{1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{\hat{\theta} (1-\hat{\theta}))}{n}},\hat{\theta} + q_{1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{\hat{\theta} (1-\hat{\theta}))}{n}}\right)\] donde \(q_{1-\alpha/2}\) es el cuantil \(1-\alpha/2\) de una distribución Normal estándar, \(\hat{\theta}\) es la proporción muestral y \(n\) es el tamaño muestral.

Ejemplo. Como parte de un estudio sobre la salud alimenticia de las jóvenes entre 12 y 15 se midieron los niveles de hierro de 786 chicas y se detecto que 71 de ellas tenían deficiencia de hierro. Veamos como obtener un intervalo de confianza al 95% para la proporción de mujeres entre 12 y 15 años con deficiencia de hierro.

# Para realziar el proceso de estimación utilizamos la función prop.test()
deficiencia <- 71
muestra <- 786
# Estimador puntual
analisis <- prop.test(deficiencia,muestra,conf.level = 0.95)
analisis$estimate

##          p 
## 0.09033079

# Intervalo de confianza
analisis$conf.int

## [1] 0.07166294 0.11310912
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

En el gráfico aparece la distribución en el muestreo, la estimación obtenida (línea azul), los límites del intervalo de confianza para el parámetro (líneas rojas), y el intervalo de confianza obtenido (zona amarilla).

La concluión que podemos extraer es: “Con una confianza del 95% la porporción de mujeres entre 12 y 15 años con deficiencia de hierro se sitúa entre el 7.61% y el 11.3%. La estimación de la porporción de mujeres con deficiencia de hierro se sitúa en el 9.03%”

Intervalo de confianza para la media

El intervalo de confianza al nivel \(100*(1 - \alpha)\%\) para la media de una población Normal con varianza desconocida viene dado por:

\[IC_{1-\alpha}(\mu) = \left(\bar{x} - q_{1-\alpha/2}*\frac{s}{\sqrt{n-1}},\bar{x} + q_{1-\alpha/2}*\frac{s}{\sqrt{n-1}}\right)\] donde \(q_{1-\alpha/2}\) es el cuantil \(1-\alpha/2\) de una distribución \(t\) se Student con \(n-1\) grados de libertad, \(\bar x\) es la media muestral, \(s\) es la desviación típica muestral, y \(n\) es el tamaño de muestra.

Ejemplo. Human beta-endorphin (HBE) es una endorfina secretada pro la galdula pituitaria bajo condiciones de stres. Un investigador lleva a cabo una investigación para conocer si un programa de ejercico regular puede reducir el nivel de stres. Para ello se toman 10 sujetos y se mide su nivel de HBE (en pg/ml) antes de comenzar el porhgrama y seis meses después de manterner el prohgrama de ejercicio físico. La diferencia (medida antes - medida después) en los niveles de HBE de los diez sujetos vienen dados a continuación: 20, 18, 28, 0, 7, 34, 16, -5, 8, 4. Veamos como obtener un intervalo de confianza al 95% para la reducción media del nivel de HBE después del programa de ejercicio.

# Para realizar el proceso de estimación utilizamos la función t.test()
datos <- c(20, 18, 28, 0, 7, 34, 16, -5, 8, 4)
# Estimador puntual
analisis <- t.test(datos,conf.level = 0.95)
analisis$estimate

## mean of x 
##        13

# Intervalo de confianza
analisis$conf.int

## [1]  4.129062 21.870938
## attr(,"conf.level")
## [1] 0.95

La reducción media del nivel de HBE tras el programa de ejercicio se ha situado en 13 pg/ml. Con una confianza del 95% la reducción media del nivel de HBE se sitúa entre 4.13 pg/ml y 21.87 pg/ml.

Intervalo de confianza para la varianza

El intervalo de confianza al nivel \(100*(1 - \alpha)\%\) para la varianza de una población Normal viene dado por:

\[IC_{1-\alpha}(\sigma^2) = \left(\frac{(n-1)s^2}{q_{1-\alpha/2}}, \frac{(n-1)s^2}{q_{\alpha/2}}\right)\] donde \(q_{1-\alpha/2}\) y \(q_{\alpha/2}\) son los cuantiles \(1-\alpha/2\) y \(\alpha/2\) de una distribución \(Chi^2\) con \(n-1\) grados de libertad, \(s^2\) es la varianza muestral, y \(n\) es el tamaño de muestra.

Ejemplo. Para los datos del ejemplo anterior obtén un intervalo de confianza al 95% de la varianza poblacional de la reducción de HBE tras el programa de ejercicios.

# Para realizar el proceso de estimación debemos crear una función para la otención del IC
# Función para el IC
var.IC <-function(x, conf.level)
{
  n <- length(x)
  varianza <- var(x)
  alfa <- 1 - conf.level
  l1 <- (n - 1) * varianza / qchisq(1 - alfa / 2,n - 1)
  l2 <- (n - 1) * varianza / qchisq(alfa / 2,n - 1)
  ic <- c(l1,l2)
  return(ic)
}

## Obtención del IC
datos <- c(20, 18, 28, 0, 7, 34, 16, -5, 8, 4)
# Estimador puntual
var(datos)

## [1] 153.7778

# Intervalo de confianza
var.IC(datos,0.95)

## [1]  72.75492 512.51866

La variabilidad de la reducción del nivel de HBE tras el programa de ejercicio se ha situado en 153.78. Con una confianza del 95% la variabilidad de la reducción del nivel de HBE se sitúa entre 72.75 y 512.52.

Contraste de hipótesis

Un procedimiento de contraste de hipótesis tiene por objetivo valorar la evidencia proporcionada por los datos a favor de alguna hipótesis planteada sobre el parámetro o parámetros que identifican a la población bajo estudio. En el caso más sencillo, imaginemos que tenemos un parámetro poblacional \(\theta\) que puede tomar valores en el conjunto \(\Theta\)

Ejemplo: Estamos interesados en conocer si la proporción de alumnos que superan la asignatura de Estadística en la convocatoria de junio es mayor o igual al 50%. El parámetro de interés, \(\theta\), es entonces la proporción de aprobados en la convocatoria de junio, y el conjunto de posibles valores de dicho parámetro puede tomar valores entre 0 y 100. El contraste de interés viene dado por:

\[\theta \geq 0.5\]

Para resolver cualquier procedimiento de contraste debemos establecer dos subconjuntos disjuntos del espacio paramétrico, \(\Theta_0\) y \(\Theta_1\) cumpliendo que \(\Theta = \Theta_0 \cup \Theta_1\), con los posibles valores del parámetro de interés que denominamos hipótesis:

Hipótesis nula, que se denota por \(H_0\), y que generalmente expresa el valor o conjunto de valores del parámetro,\(\Theta_0\), que corresponde con la idea que deseamos verificar.
Hipótesis alternativa, que se denota por \(H_a\), y que generalmente expresa el valor o conjunto de valores complementarios, \(\Theta_1\), a los dados en la hipótesis nula. Formalmente, el problema de contraste de hipótesis se plantea como: \[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta \in \Theta_0\\ H_a: & \theta \in \Theta_1\end{array}\right.\]

Estas hipótesis se deben establecer antes de obtener la información muestral ya que deben reflejar conocimiento previo sobre el parámetro poblacional de interés. La muestra recogida aportará las evidencias suficientes para rechazar o no rechazar la hipótesis nula planteada.

En nuestro ejemplo

\[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta \geq 0.5\\ H_a: & \theta < 0.5\end{array}\right.\]

Posibles contrastes

Dada la estructura del procedimiento de contraste se plantean únicamente dos tipos de posibilidades:

Contraste bilateral: El conjunto de posibles valores del parámetro de interés establecidos en la hipótesis nula se concentra en un único valor, \(\theta_0\), es decir, \[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta = \theta_0\\ H_a: & \text{ no } \theta_0 \end{array}\right.\]
Contraste unilateral: El conjunto de posibles valores del parámetro de interés establecidos en la hipótesis nula se concentra en un conjunto de valores dado por una desigualdad con respecto a \(\theta_0\), es decir,

\[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta \geq \theta_0\\ H_a: & \text{ no } \theta_0 \end{array}\right.\] \[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta \leq \theta_0\\ H_a: & \text{ no } \theta_0 \end{array}\right.\]

Resolución de contraste

Para establecer evidencias a favor de una hipótesis u otra se debe:

Elegir un nivel de significación, \(\alpha\), que refleja el riesgo que tomamos cuando rechazamos la hipótesis nula o probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando es cierta, es decir: \[\alpha = P(\text{ Rechazar } H_0 | H_0 \text{ cierta})\]

Normalmente se eligen valores pequeños, \(\alpha=0,1, 0.05, y 0.01\) que resultan los equivalentes del 90%, 95%, y 99% al nivel de confianza en el proceso de estimación.

Ejemplo. Si tomamos una significación del 5%, tendremos una probabilidad de 0.05 de rechazar la hipótesis nula cuando en realidad es cierta.

Establecer estadístico de contraste (\(EC\)) que nos permita, utilizando la información muestral, estudiar la compatibilidad de dicha información con la hipótesis nula planteada. La forma habitual suele ser:

\[EC = \frac{\theta - \hat{\theta}}{es(\hat{\theta})}\] donde \(\hat{\theta}\) es un estimador puntual del parámetro poblacional y \(es(\hat{\theta})\) es una medida del error estándar que cometemos con el estimador utilizado.

Para decidir sobre el contraste planteado utilizaremos el \(p-valor\), que representa la probabilidad de que el valor del EC sea superior al valor de dicho estadístico evaluado en los datos muestrales, \(EC_{obs}\),atendiendo a la distribución en el muestreo, es decir,

\[p-valor = P(EC \geq EC_{obs})\] Para tomar una decisión sobre el contraste miramos si el p-valor obtenido y concluimos que:

Si \(p-valor < \alpha\), tenemos evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula a favor de la hipótesis alternativa.
Si \(p-valor > \alpha\), no tenemos evidencias estadísticas suficientes para rechazar la hipótesis nula.

A continuación vemos como ampliar el procedimiento de contraste para una proporción y una media. El proceso de contraste sobre una varianza no suele tener interés práctico ya que resulta más habitual obtener un intervalo de confianza. Como veremos en el tema siguiente, si que resulta relevante el proceso de contraste cuando se involucran dos poblaciones y estamos interesados en comparar la variabilidad de ambas.

Una proporción

Tenemos una población de tipo Bernouilli que viene especificada a partir de la proporción de sujetos que alcanzan el “éxito”, \(\theta\), y una estimación de dicho parámetro dada por \(\hat{\theta}\). Anteriormente ya hemos visto que para una muestra de tamaño \(n\) el error estándar viene dado por:

\[es(\hat{\theta}) = \sqrt{\frac{\hat{\theta} (1-\hat{\theta}))}{n}}.\]

Tanto para el contraste unilateral como el bilateral el estadístico de contraste viene dado por: \[EC = \frac{\theta - \hat{\theta}}{\sqrt{\frac{\hat{\theta} (1-\hat{\theta}))}{n}}}\] cuya distribución en el muestreo es \(N(0,1)\). Dicho estadístico valora lo cerca que queda el estimador respecto del valor poblacional teniendo en cuenta el error cometido en el proceso de estimación.

Ejemplo. Se está estudiando el efecto de los rayos X sobre la viabilidad huevo-larva en Tribolium casteneum. Se plantean tres situaciones: a) la proporción de viabilidad es del 50%, b) la proporción de viabilidad es superior al 60%, c) la proporción de viabilidad es inferior al 55%. Los contrastes asociados con cada situación son: \[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta = 0.5\\ H_a: & \theta \neq 0,5 \end{array}\right.\] \[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta \geq 0.6\\ H_a: & \theta < 0.6 \end{array}\right.\] \[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \theta \leq 0.55\\ H_a: & \theta > 0.55 \end{array}\right.\]

Para verificar dichios contarstes se irradiaron 1000 huevos de los que resultaron 572 larvas.

Para resolver contrastes en estas situaciones utiliamos la función prop.test()

# Situación 1
n <- 1000
larvas <- 572
# Debemos fijar el valor del contraste, el tipo (two.sided), y el nivel de significación o su análogo como el nivel de confianza
prop.test(larvas, n, p = 0.5, alternative = "two.sided", conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  larvas out of n, null probability 0.5
## X-squared = 20.449, df = 1, p-value = 6.124e-06
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.5406126 0.6028273
## sample estimates:
##     p 
## 0.572

El p-valor resultante es 6.124e-06 que resulta inferior al nivel de significación prefijado de 0.05. Por lo tanto hay evidencias para rechazar la hipótesis nula y concluir que la proporción de viabilidad una vez irradiamos los huevos con rayos X es distinta del 50%.

# Situación 2
n <- 1000
larvas <- 572
# Debemos fijar el valor del contraste, el tipo (two.sided), y el nivel de significación o su análogo como el nivel de confianza
prop.test(larvas, n, p = 0.6, alternative = "less", conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  larvas out of n, null probability 0.6
## X-squared = 3.151, df = 1, p-value = 0.03794
## alternative hypothesis: true p is less than 0.6
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.5980029
## sample estimates:
##     p 
## 0.572

El p-valor resultante es 0.03794 que resulta inferior al nivel de significación prefijado de 0.05. Por lo tanto hay evidencias para rechazar la hipótesis nula y concluir que la proporción de viabilidad una vez irradiamos los huevos es mayor o igual al 60%.

# Situación 2
n <- 1000
larvas <- 572
# Debemos fijar el valor del contraste, el tipo (two.sided), y el nivel de significación o su análogo como el nivel de confianza
prop.test(larvas, n, p = 0.55, alternative = "greater", conf.level = 0.95)

## 
##  1-sample proportions test with continuity correction
## 
## data:  larvas out of n, null probability 0.55
## X-squared = 1.8677, df = 1, p-value = 0.08587
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.55
## 95 percent confidence interval:
##  0.545601 1.000000
## sample estimates:
##     p 
## 0.572

El p-valor resultante es 0.08587 que resulta superior al nivel de significación prefijado de 0.05. Por lo tanto hay evidencias para no rechazar la hipótesis nula y concluir que la proporción de viabilidad una vez irradiamos los huevos puede ser menor o igual al 55%.

Una media

Tenemos una población Normal que viene especificada a partir de la media (\(\mu\)) y varianza (\(\sigma^2\)). Por el momento estamos interesados en los procedimientos de contraste sobre la media cuando desconocemos el valor de la varianza poblacional. Tomamos los estimadores habituales \(\bar X\), \(S^2\), y consideramos el error estándar: \[es(\bar X) = \frac{s}{\sqrt{n-1}}.\] Tanto para el contraste unilateral como el bilateral el estadístico de contraste viene dado por: \[EC = \frac{\mu - \bar X}{\frac{s}{\sqrt{n-1}}}\] cuya distribución en el muestreo es una \(t\) de Student con n-1 grados de libertad.

Ejemplo. La concentración media de dióxido de carbono en el aire en una cierta zona no es habitualmente mayor que 335 ppmv (partes por millon en volumen). Se sospecha que esta concentración es mayor en la capa de aire más próxima a la superficie. Los investigadores quieren comprobar si la concentración en la superficie es mayor o igual a dicho valor con una significación de 0.05. Se plantea el contraste:

\[\left\{\begin{array}{ll} H_0: & \mu \geq 335\\ H_a: & \mu < 335 \end{array}\right.\] Para tratar de ratificar su hipótesis Se ha analizado el aire en 20 puntos elegidos aleatoriamente a una misma altura cerca del suelo, resultando los siguientes datos: 332, 320, 312, 270, 330, 354, 356, 310, 341, 313, 223, 224, 305, 321, 325, 333, 332, 345, 312, 331.

Para resolver este contraste utilizamos la función t.test()

datos <- c(332, 320, 312, 270, 330, 354, 356, 310, 341, 313, 223, 224, 305, 321, 325, 333, 332, 345, 312, 331)
# Debemos fijar el valor del contraste, el tipo (two.sided), y el nivel de significación o su análogo como el nivel de confianza
t.test(datos, mu = 335, alternative = "less", conf.level = 0.95)

## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  datos
## t = -2.5219, df = 19, p-value = 0.01038
## alternative hypothesis: true mean is less than 335
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 328.5403
## sample estimates:
## mean of x 
##    314.45

El p-valor resultante es 0.01038 que resulta inferior al nivel de significación prefijado de 0.05. Por lo tanto hay evidencias para rechazar la hipótesis nula y concluir que la media del nivel de dióxido de carbono en la capa de aire más cercana a la superficie es menor a 335 ppmv.

Para completar los materiales aquí presentados se puede consultar Ugarte et al. (2008)

Bibliografía

Ugarte, MD., Militino, AF., Arnholt, A. (2008). Probability and Statistics with R. CRC. Press