Να βρεθεί το όριο:

\[ \lim_{x \to \infty}\left[ 1-\left(1-\frac{1}{x} \right)^x \right] \]

Ξεκινάμε από γνωστή ιδιότητα των νεπέριων λογάριθμων:

\(1-\frac{1}{\left(1-\frac{1}{x} \right)} \le \log \left(1-\frac{1}{x} \right) \le \left(1-\frac{1}{x} \right)-1 \Rightarrow\)

\(-\frac{1}{x-1} \le \log \left(1-\frac{1}{x} \right) \le -\frac{1}{x} \Rightarrow\)

\(-\frac{x}{x-1} \le x\log \left(1-\frac{1}{x} \right) \le -1 \Rightarrow\)

\(\lim_{x \to \infty} \left( -\frac{x}{x-1} \right) \le \lim_{x \to \infty} \left[ \log \left(1-\frac{1}{x} \right)^x \right] \le -1 \Rightarrow\)

\(-1 \le \lim_{x \to \infty} \left[ \log \left(1-\frac{1}{x} \right)^x \right] \le -1\)

το οποίο, σύμφωνα με το θεώρημα παρεμβολής συνεπάγεται:

\(\lim_{x \to \infty} \left[ \log \left(1-\frac{1}{x} \right)^x \right] = -1 \Rightarrow\)

\(\lim_{x \to \infty} \left(1-\frac{1}{x} \right)^x = e^{-1}\)

και το ζητούμενο γίνεται:

\(\lim_{x \to \infty}\left[ 1-\left(1-\frac{1}{x} \right)^x \right]=1-\lim_{x \to \infty}\left(1-\frac{1}{x} \right)^x=1-e^{-1}\)