Εσύ και δύο ακόμη συγκρατούμενοί σου, ο Μπάμπης ο Σουγιάς και ο Κώστας ο Γκοτζίλας έχετε ζητήσει χάρη αποφυλάκισης. Είναι όμως γνωστό ότι από τις 3 αιτήσεις 2 μόνο έγιναν δεκτές. Μη μπορώντας να αντέξεις τον πειρασμό ρωτάς το φύλακα ποιες έγιναν δεκτές. Αυτός σου λέει όμως ότι μπορεί να σου αποκαλύψει μόνο το όνομα του ενός από τους άλλους δύο που θα αποφυλακιστεί. Εσύ όμως αποφασίζεις ότι είναι καλύτερα να μη σου το πει γιατί σκέφτεσαι ότι ενώ τώρα έχεις πιθανότητα \(\frac{1}{3}\) να μείνεις μέσα, μετά θα έχεις \(\frac{1}{2}\). Σωστά;
Στο δίλημμα του φυλακισμένου σκοπός μας είναι να αποδείξουμε ότι ο εν λόγω κρατούμενος που ρωτάει το φύλακα συνεχίζει να έχει την ίδια πιθανότητα, δηλ. \(\frac{1}{3}\), να είναι αυτός εκ των τριών που θα παραμείνει στη φυλακή και μετά την αποκάλυψη του ενός που αποφυλακίζεται, από τον φύλακα.
Θεωρούμε τους κρατούμενους \(A, B, C\) και ορίζουμε τις εξής πιθανότητες:
\(Κ_A, Κ_Β, Κ_C\): η πιθανότητα ο εν λόγω κρατούμενος που ρωτάει να είναι ο \(Α\), ή ο \(Β\), ή ο \(C\).
\(F_A, F_Β, F_C\): η πιθανότητα του να αποκαλύψει ο φύλακας τον \(Α\), ή τον \(Β\), ή τον \(C\).
\(A, Β, C\): η πιθανότητα τελικά να παραμείνει στη φυλακή ο \(Α\), ή ο \(Β\), ή ο \(C\).
Χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να υποθέσουμε τα εξής:
Ζητούμε την πιθανότητα να παραμείνει στην φυλακή ο \(Α\) με δεδομένα ότι ο κρατούμενος που ρωτάει είναι ο \(Α\) και ο φύλακας υπέδειξε τον \(Β\), δηλαδή:
\[ P(A | Κ_A \cap F_Β) = \frac{P(A \cap Κ_A \cap F_Β)}{P(Κ_A \cap F_Β)} \]
Θα υπολογίσουμε κατ αρχάς τον αριθμητή βάσει του πολλαπλασιαστικού κανόνα (συντάσσοντάς τον έτσι ώστε να χρησιμοποιούμε πιθανότητες που γνωρίζουμε).
\(P(A \cap Κ_A \cap F_Β)=P(F_Β|A \cap Κ_A) \cdot P(Κ_A|A) \cdot P(A)\)
Οι όροι στο δεύτερο μέλος θα λάβουν τις τιμές:
\(P(F_Β|A \cap Κ_A)\): Πιθανότητα να αποκαλύψει ο φύλακας τον \(Β\) αν στη φυλακή μένει ο \(Α\) και αυτός που ρωτάει είναι ο \(Α\): Προφανώς ισούται με \(\frac{1}{2}\)
\(P(Κ_A|A)\): Προφανώς ισούται με \(P(Κ_A) = \frac{1}{3}\) (Ανεξάρτητα ενδεχόμενα).
\(P(A)\): Προφανώς ισούται με \(\frac{1}{3}\)
Άρα ο αριθμητής ισούται με \(\frac{1}{18}\).
Υπολογίζουμε τον παρονομαστή με το θεώρημα ολικής πιθανότητας:
\(P(Κ_A \cap F_Β) = P(Κ_A \cap F_Β|Α) \cdot P(A) + P(Κ_A \cap F_Β|B) \cdot P(B) + P(Κ_A \cap F_Β|C) \cdot P(C)=\)
\(=P(Κ_A \cap F_Β \cap Α)+P(Κ_A \cap F_Β \cap B)+P(Κ_A \cap F_Β \cap C)\)
Υπολογίζουμε καθέναν από τους τρεις όρους και πάλι βάσει του πολλαπλασιαστικού κανόνα.
\(P(Κ_A \cap F_Β \cap Α) = P(F_Β|A \cap Κ_A) \cdot P(Κ_A|A) \cdot P(A) = \frac{1}{18}\), όπως πιο πάνω.
\(P(Κ_A \cap F_Β \cap B) = P(F_Β|B \cap Κ_A) \cdot P(Κ_A|B) \cdot P(B) = 0 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}=0\), προφανώς ο φύλακας δεν υπάρχει περίπτωση να αποκαλύψει τον \(B\) που μένει στη φυλακή.
\(P(Κ_A \cap F_Β \cap C) = P(F_Β|C \cap Κ_A) \cdot P(Κ_A|C) \cdot P(C) = 1 \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{9}\), αν ο \(A\) ρωτάει και είναι γνωστό ότι ο \(C\) μένει στη φυλακή, ο φύλακας σίγουρα θα αποκαλύψει τον \(Β\).
Άρα ο παρονομαστής ισούται με \(\frac{1}{18} + 0 + \frac{1}{9}= \frac{1}{6}\) και τελικά:
\[ P(A | Κ_A \cap F_Β) = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{1}{6}} = \frac{1}{3}, \] δηλαδή η πιθανότητα δεν αλλάζει από την επιπλέον πληροφόρηση.