Modelos Estadísticos. Grado Biotecnología
Abstract
Problemas de probabilidad.Ejercicio 1. Se hacen dos inversiones de 10000 € en dos proyectos. Se supone que el proyecto A va a producir un rendimiento neto de 800, 1000 y 1200 euros con probabilidades respectivas de 0.2, 0.6, 0.2. Se supone que el proyecto B va a producir una ganancia neta de 800, 1000, y 1200 euros con probabilidades respectivas 0.3, 0.4, 0.3. Si asumimos que lo que se gana con un proyecto es independiente de lo que se gana con el proyecto.
Ejercicio 2. Un fabricante de galletas presenta muchos productos nuevos cada año, de los cuales cerca del 60% fracasan, 30% tienen un éxito moderado y un 10% tienen un gran éxito. Para mejorar sus posibilidades, el fabricante somete a una prueba sus nuevos productos ante un grupo de clientes, que actúa como jurado calificador. De los fracasos, 50% se califican como malos, 30% como regulares y 20% como buenos. Para los que tuvieron un éxito moderado, la calificación es mala para un 20%, regular para un 40% y buena para otro 40%. Para los que tuvieron gran éxito, los porcentajes son: malos 10%, regulares 30% y buenos 60%.
Ejercicio 3. El 1% de los préstamos que hace cierta empresa financiera no son saldados (es decir, la cantidad prestada no le es devuelta en su totalidad). La compañía efectúa un estudio rutinario de las posibilidades crediticias de los solicitantes. Encuentra que el 30% de los préstamos no saldados se hicieron a clientes de alto riesgo, el 40% a clientes de riesgo moderado y el restante 30% a clientes de bajo riesgo. De los préstamos que fueron saldados, el 10% se hicieron a clientes de alto riesgo, el 40% a clientes de riesgo moderado y el 50% a clientes de bajo riesgo.
Ejercicio 4. Una empresa manufacturera tiene tres operarios para una máquina que produce cierto tipo de componentes. El operario A tiene una tasa de defectos del 5%; el operario B, del 3%, y el operario C, del 2%. Los tres operarios producen el mismo número de componentes. Si un componente elegido al zar resulta defectuoso ¿cuál es la probabilidad de que el componente haya sido producido por A, B, o C?
Ejercicio 5. Un departamento de compras encuentra que el 75% de sus pedidos especiales se reciben a tiempo. De los pedidos que se reciben a tiempo, el 80% cumple totalmente las especificaciones; de los pedidos que llegan con retraso, el 60% cumple con las especificaciones.
Estudio de caso. Los problemas de inventario tratan de dar respuesta a las necesidades de almacenamiento de las empresas para satisfacer la demanda de los consumidores. En concreto, en este caso se plantea el problema de un distribuidor del mercado central especializado en la venta de fresas. Dicho comerciante compra cajas al precio de 20€, y las vende por 50€, y se plantea dos problemas relacionados directamente con lo que denominamos “inventario”:
Para tratar de determinar el número de cajas que debe comprar y almacenar recoge información sobre la demanda realizada por los clientes en la campaña anterior cuyos datos vienen dados en la tabla siguiente:
| Cajas vendidas | Número de días | |
|---|---|---|
| 10 | 15 | |
| 11 | 20 | |
| 12 | 40 | |
| 13 | 25 |
La empresa te proporciona en la tabla siguiente las ganancias esperadas diarias (en euros) asociadas con el número de cajas vendidas y las cajas que debería almacenar:
| Demanda | Almacenar 10 cajas | Almacenar 11 cajas |
|---|---|---|
| 10 | 300 | 280 |
| 11 | 300 | 330 |
| 12 | 300 | 330 |
| 13 | 300 | 330 |
En base a esta información se debe obtener la ganancia esperada para cada acción de inventario, y determinar aquella que proporcione mayores beneficios, es decir, las mayores ganancias diarias. ¿Qué recomendación se debería hacer al distribuidor?
Por otro lado, los asesores convencen al distribuidor de que para tener mayor certeza de sus ganancias debería realizar un estudio marginal, que se basa en el hecho de que cuando se compra una unidad adicional de un artículo (en este caso una caja) pueden ocurrir dos cosas: la unidad se vende o no se vende. De esta forma:
Ejercicio 1. Se quiere estudiar la capacidad predictiva de un nuevo síntoma a la hora de detectar cierta enfermedad. Se toma una muestra aleatoria de 775 sujeto enfermos de los cuales 744 muestran el síntoma. Por otro lado se toma una muestra de 1380 sujetos sin la enfermedad de los cuales 21 muestran el síntoma.
Ejercicio 2. En la siguiente tabla se muestran los resultados de un estudio para evaluar la utilidad de una tira reactiva para el diagnóstico de infección urinaria.
| Tira reactiva | Con infección | Sin infección |
|---|---|---|
| Positiva | 60 | 80 |
| Negativa | 10 | 200 |
¿Cuál es la sensibilidad y especificidad del test? ¿Podríamos representar el valor predictivo positivo en función de la incidencia de la enfermedad?¿Como lo harías?
Ejercicio 3. El jefe de enfermería del Hospital ha decidido evaluar la validez de la determinación de la palidez palmar para diferenciar los niños y niñas que tienen baja concentración de hemoglobina de aquellos que tienen una concentración de hemoglobina normal. De esta manera, podrá ampliar la detección del problema que actualmente está reducida por falta de capacidad del laboratorio para procesar las muestras de sangre de los centros de salud. Para esto capacitará a personal de enfermería de los Centros de Salud en la identificación de la palidez palmar y les pedirá que clasifiquen a los niños y niñas atendidos para consulta de control durante una semana en dos grupos: CON PALIDEZ PALMAR y SIN PALIDEZ PALMAR. Otra enfermera realizará una toma de muestra de sangre capilar para realizar un hematocrito, la que será enviada al laboratorio del Hospital donde se determinará la concentración de hemoglobina de cada niño o niña. Luego de una semana de trabajo, la jefa de enfermería obtuvo 124 informes de niños y niñas en los que el personal de enfermería evaluó la palidez palmar. Entre estos encontró que 28 fueron clasificados como CON PALIDEZ PALMAR mientras que el resto fue clasificado como SIN PALIDEZ PALMAR. Luego verificó los resultados obtenidos para cada niño o niña según los informes de laboratorio. Encontró que entre los 28 niños o niñas CON PALIDEZ PALMAR 18 tenían una concentración de hemoglobina baja mientras que el resto tenía concentración normal de hemoglobina. A su vez, encontró que, entre los niños y niñas SIN PALIDEZ PALMAR, 14 tenían concentración de hemoglobina baja, mientras que el resto tenía concentración normal de hemoglobina. Obtén la sensibilidad, especificidad y valores predictivos para esta situación.
Ejercicio 4. Se ha decidido incorporar una nueva técnica de diagnóstico de infección por Streptococo en pacientes con sospecha de faringitis con el fin de disminuir la indicación empírica de antibióticos en el consultorio ambulatorio del Hospital. Previo a incorporar esta nueva técnica se ha decidido evaluar su validez comparándola con el cultivo de fauces como prueba patrón. Para ello se estudiaron 320 personas que consultaron durante una semana por dolor de garganta y a todas ellas se les realizó la nueva técnica de diagnóstico rápido y se envió una muestra de fauces para el cultivo. La nueva técnica de diagnóstico rápido identificó a 212 personas como positivas para Streptococco. Luego de estudiarse las muestras en el laboratorio, se encontró que hubo 128 casos con aislamiento de Streptococco por cultivo, 84 de los cuales habían sido identificados por la nueva técnica rápida como positivos. Obtén la sensibilidad, especificidad y valores predictivos para esta situación.
Ejercicio 1. Se conoce que la probabilidad de que el vapor se condense en un tubo de aluminio de cubierta delgada a 10 atm de presión es de 0.40. Si se prueban 12 tubos de ese tipo y bajo esas condiciones, determina la probabilidad de que: a) el vapor se condense en 4 de los tubos, b) en más de 2 tubos se condense el vapor, c) el vapor se condense en exactamente 5 tubos.
Ejercicio 2. La probabilidad de que el nivel de ruido de un amplificador de banda ancha exceda de 2 dB (decibelios) es de 0.15, si se prueban 10 amplificadores de banda ancha, determina la probabilidad de que; a) en solo 5 de los amplificadores el nivel de ruido exceda los 2 dB, b) por lo menos en 2 de los amplificadores, el ruido exceda de 2 dB, c) encuentra el número esperado de amplificadores que se exceden de un nivel de ruido de 2 dB y su desviación estándar.
Ejercicio 3. En un experimento se comprobó que la aplicación de un tratamiento químico aumentaba la resistencia a la corrosión de un material en un 80 % de los casos. Si se tratan ocho piezas, determina: (i) probabilidad de que el tratamiento sea efectivo para más de cinco piezas, (ii) probabilidad de que el tratamiento sea efectivo para al menos tres piezas, (iii) número de piezas para las que espera que el tratamiento sea efectivo.
Ejercicio 4. Se dispone de un cristal que tiene dos tipos de impurezas que absorben radiación de la misma longitud de onda. Una de ellas emite un electrón tras la absorción de un fotón, mientras que la segunda no emite electrones. Las impurezas están en igual concentración y distribuidas homogéneamente en el cristal. Sin embargo, la sección eficaz de absorción, que es una medida de la probabilidad de absorber un fotón, es 90 veces mayor para la impureza que emite electrones que el de la impureza que no los emite. Suponiendo que sobre el cristal inciden 200 fotones y que este es lo suficientemente grande para absorber todos, calcula la probabilidad de que al menos se emitan tres electrones.
Ejercicio 5. Un contrato estipula la compra de componentes en lotes grandes que deben contener un máximo de 10% de piezas con algún defecto. Para comprobar la calidad se toman 11 unidades y se acepta el lote si hay como máximo 2 piezas defectuosas. ¿Es un buen procedimiento de control?
Ejercicio 6. Las piezas de un proceso de fabricación pueden ser aceptables o defectuosas. Cuando el proceso está bajo control, el porcentaje de piezas defectuosas fabricadas es 3%. De la producción de cada hora se toma una muestra de 200 piezas al azar.
Ejercicio 7. El ingeniero de calidad decide que si el número de defectuosas en la muestra es 8 o más, se detenga el proceso y se analice si está bajo control.
Ejercicio 8. El 0.1$ de una población son alérgicos a una cierta vacuna. Se inyecta esta vacuna a 1200 personas. Calcular la probabilidad de que tengan una reacción alérgica:
Ejercicio 1. En la inspección de una hojalata producida por un proceso electrolítico continuo, se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determina las probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos imperfecciones en 5 minutos, c) un máximo de una imperfección en 15 minutos.
Ejercicio 2. Consideremos que el número de trozos de chocolate en una determinada galleta sigue una distribución de Poisson. Queremos que la probabilidad de que una galleta seleccionada al azar tenga por lo menos tres trozos de chocolate sea mayor que 0.8. Encontrar el valor entero más pequeño de la media de la distribución que asegura esta probabilidad.
Ejercicio 3. Un fabricante de maquinaria pesada tiene instalados en el campo 3840 generadores de gran tamaño con garantía. Sí la probabilidad de que cualquiera de ellos falle durante el año dado es de 1/1200 determine la probabilidad de que a) 4 generadores fallen durante el año en cuestión, b) que más 1 de un generador falle durante el año en cuestión.
Ejercicio 4. En un proceso de manufactura, en el cual se producen piezas de vidrio, ocurren defectos o burbujas, ocasionando que la pieza sea indeseable para la venta. Se sabe que en promedio 1 de cada 1000 piezas tiene una o más burbujas. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria de 8000 piezas, menos de 3 de ellas tengan burbujas?
Ejercicio 5. Un fabricante cultiva virus (para la fabricación de una vacuna) que guarda en un medio líquido. Se supone que los virus se distribuyen al azar y, por tanto, el número de virus por \(cm^3\) cada una, se han obtenido los datos siguientes:
| n virus | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| frecuencia | 45 | 24 | 7 | 1 | 1 |
¿Cuál es la distribución teórica asumida? En base a la información obtenida ¿cuál es el parámetro de interés? ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad? ¿Cuanto se parecen las frecuencias experimentales con las teóricas obtenidas a partir de la distribución de probabilidad?
Ejercicio 6. Se sabe que el número de microorganismos por gramo de una cierta muestra de suelo diluida en agua destilada se distribuye según una variable aleatoria de media 0.08. Si una preparación con un gramo de esta disolución se vuelve turbia, este gramo contiene al menos un microorganismo. Hallar la probabilidad de que una preparación que se ha vuelto turbia contenga:
Ejercicio 7. En un monte, el número de plantas de romero por círculo de un metro de radio, se distribuye según una variable aleatoria. Se eligen 1o plantas al azar y se mide la distancia a la planta que tiene más próxima. Las distancias observadas fueron (medidas en metros): 0.7, 1.7, 1.2, 0.4, 0.2, 0.5, 0.7, 0.8, 1.5, y 2.1. A partir de estos datos estima los parámetros de interés de la distribución y calcula cuantas plantas es de esperar que habrá en una zona del monte de unos 12500 \(m^2\) de superficie.
Ejercicio 1. Una fuente radiactiva emite partículas según un proceso de Poisson de media 10 partículas por minuto. Se desea calcular:
Ejercicio 2. En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de \(\,_{84}^{210}\!Po\). Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos idas transcurrirán hasta que haya desaparecido el \(90\%\) de este material?
Ejercicio 3. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de \(25\%\) años?
Ejercicio 4. En una tienda departamental el tiempo promedio de espera para ser atendido en cajas al pagar la mercancía es de 7 minutos. Determine la probabilidad de que: a) Un cliente espere menos de 4 minutos. b) Un cliente espere más de 9 minutos.
Ejercicio 5. La vida media de un dispositivo es de 7 años. ¿Cuál es la probabilidad de que un dispositivo de este tipo falle después del 7°-año de uso?
Ejercicio 6. Los administradores de cierta industria han notado que su producto tiene un tiempo de duración que puede considerarse una variable aleatoria con distribución exponencial con una vida media de 5 años. a)¿cuál es la probabilidad de que al elegir un artículo de dicha producción dure más de 10 años? b)¿si el tiempo de garantía asignado por los administradores es de 1 año, qué porcentaje de sus productos tendrá que reparar la industria durante el periodo de garantía?
Ejercicio 7. Un motor eléctrico tiene una vida media de 6 años. Si la vida útil de este tipo de motor puede considerarse como una variable aleatoria distribuida en forma exponencial. ¿Cuál debe ser el tiempo de garantía que debe tener el motor si se desea que a lo más el 15 % de los motores fallen antes de que expire su garantía?.
Ejercicio 1. Un matrimonio quiere tener una hija, y por ello deciden tener hijos hasta el nacimiento de una hija. Calcular el número esperado de hijos (entre varones y hembras) que tendrá el matrimonio. Calcular la probabilidad de que la pareja acabe teniendo tres hijos o más.
Ejercicio 2. Se estima que el 70 % de una población de consumidores prefiere una marca en particular de pasta de dientes A ¿cuál es la probabilidad que al entrevistar a un grupo de consumidores.
Ejercicio 3. La probabilidad de que una muestra de aire contenga una molécula rara es de 0.01 si se supone que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la molécula rara.¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario analizar exactamente 125 muestras antes de detectar una molécula rara?
Ejercicio 4. Sea una máquina despachadora de refrescos que arroja un poco más de 20 ml por vaso derramándose el líquido en un 5% de los vasos despachados. Podemos definir la variable aleatoria X: “cantidad de vasos despachados hasta obtener el primero que se derramará” Considere que la forma de despachar el líquido por la máquina es independiente de vaso en vaso.
Ejercicio 1. Cierto tipo de batería de almacenamiento dura,en promedio, 3.0 años, con una desviación típica de 0.5 años. Suponga que la duración de las baterías se distribuye normalmente, encuentre la probabilidad de que una batería dure menos de 2.3 años.
Ejercicio 2. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración media de 800 horas y una desviación típica de 40 horas. Si la duración de los focos sigue una distribución normal, encuentre la probabilidad de que un foco se funda en el intervalo de 778 a 834 horas.
Ejercicio 3. En un proceso industrial el diámetro de un cojinete es una parte importante de un componente. El comprador establece que las especificaciones en el diámetro sean 3.0 ± 0.1 cm. Se sabe que en el proceso el diámetro de un cojinete tiene una distribución normal con media 3.0 cm y una desviación típica de 0.005 cm. En promedio, ¿cuántos cojinetes se descartarán?.
Ejercicio 4. El 6.3% de las observaciones de una magnitud que sigue una distribución normal tiene un valor superior a 3.287, mientras que el 51.2 % tiene valores mayores que 2.897. Calcule la media y la varianza de la distribución.
Ejercicio 5. Considere un experimento de medida del pH de una disolución acuosa caracterizado por \(\mu_{pH}\)= 5.50 y \(\sigma^2_{pH}\) = 0.06. Determine el intervalo de valores en el que espera encontrar el 95% de las medias muestrales de los experimentos que combinen el resultado de 25 determinaciones del pH de la disolución indicada.
Ejercicio 6. La longitud X de ciertos tornillos es una variable aleatoria con distribución normal de media 30 mm y desviación típica 0.2 mm. Se aceptan como válidos aquellos que cumplen \(29.5 \leq X \leq 30.4\). Obtén:
Ejercicio 7. Un país está habitado por dos grupos étnicos: A (alpinos) y N (nórdicos), que se encuentran en las proporciones 0.75 y 0.25. Se sabe que la talla de los individuos adultos varones sigue una distribución aleatoria con media 170 cm y desviación típica de 7 cm para los del grupo A, y media de 176 cm y desviación típica de 7 cm para el grupo N. Se considera que un individuo varón es “alto” si su talla es superior a 180 cm. Se pide:
Ejercicio 8. La longitud L (en micras) de ciertas larvas parásitas de moluscos, sigue la distribución Normal, pero de media y desviación típica distinats, según la larva se encuentre en estadio 1 o en estadio 2 de su crecimiento. La media y la desviación típica son: 219 y 20 para el estadio 1, y 241 y 14 para el estadio 2. Para identificar el estadio en que se encuentra la larva, se adopta el criterio siguiente: Si \(L \leq 230\) pertenece al estadio 1, en otro caso pertenece al estadio 2. Resolver las siguientes cuestiones:
Ejercicio 9. Se ha tomado una muestra de 45 piezas de un proceso que fabrica un promedio de 25% de piezas fuera de especificación. ¿Cuál es la probabilidad de que en la muestra haya exactamente 13 elementos defectuosos? ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga 13 o más piezas defectuosas?
Ejercicio 10. El abastecimiento de energía eléctrica de una comarca depende de tres centrales: una nuclear, una téermica de carbón y una hidráulica con potencias instaladas de 500 MW, 300 MW y 200 MW, respectivamente. Desde el punto de vista de fiabilidad, cada central sólo puede estar en uno de estos dos estados: disponible (con toda su potencia) o averiada (con potencia cero). En un díıa, la probabilidad de avería de la central nuclear es 0.10, de la térmica es 0.12 y de la hidráulica 0.05. Las averíaıas son independientes y supondremos como hipóotesis simplificadora que a lo largo de un díıa la central no cambia de estado.
Ejercicio 11. En el proceso de fabricación de unas piezas intervienen dos máquinas: la máquina A produce un taladro cilíndrico y la máquina B secciona las piezas con un grosor determinado. Ambos procesos son independientes. El diámetro del taladro producido por A (en mm.) se distribuye según una N(23,0.5). El grosor producido por B (en mm.) se distribuyes según una N(11.5,0.4).
Ejercicio 12. Supongamos que el diámetro de las aceitunas rellenas de anchoa varía entre 15 y 17 mm. Debido a al sequía del último año, la producción de aceituna verde se ha distribuido según una normal de media 15.5 mm. y desviación típica 1.2 mm. ¿Qué porcentaje de aceitunas podría ser aprovechado para rellenar de anchoa?
Ejercicio 13. La duración media de un lavavajillas es de 15 años y su desviación típica 0.5. Sabiendo que la vida útil del lavavajillas se distribuye normalmente, hallar la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas, este dure más de 15 años.
Ejercicio 14. Una normativa europea obliga a que en los envases de yogur no debe haber menos de 120 gr. La máquina dosificadora de una empresa láctea hace los envases de yogur según una distribución normal de desviación típica de 2 gr. y media 122 gr.
Ejercicio 15. Una barra recta se forma conectando tres secciones A,B y C, cada una fabricada con una máquina distinta. La longitud de la sección A, en pulgadas, tiene una distribución normal con media 20 y varianza 0.04. La longitud de la sección B tiene una distribución normal con media 14 y varianza 0.01. La longitud de la sección C tiene una distribución normal con media 26 y varianza 0.04. Las tres secciones e unen de forma que se superponen 2 pulgadas en cada conexión. Si la barra se utiliza en la construcción del ala de un avión y su longitud debe estar entre 55.7 y 56.3 pulgadas ¿cuál es la probabilidad de que la barra sea utilizada?
Ejercicio 16. Los diámetros de los pernos de una caja siguen una distribución normal con una media de 2 centímetros y una desviación típica de 0.03 centímetros. Además tenemos unas tuercas de otra caja que siguen una distribución normal con media 2.02 centímetros y desviación típica de 0.04 centímetros. Un perno y una tuerca ajustarán si el diámetro del agujero de la tuerca es mayor que el diámetro del perno y la diferencia entre estos diámetros no es mayor de 0.05 centímetros. Si seleccionamos ala azar un perno y una tuerca ¿cuál es la probabilidad de que ajusten?
Ejercicio 17. En un experimento de laboratorio se mide el tiempo de una reacción química. Se ha repetido el experimento 98 veces y se obtiene que la media de los 98 experimentos es de 5 segundos con una desviación de 0,05 segundos. ¿Cuál es la probabilidad de que la media poblacional m difiera de la media muestral en menos de 0,01 segundos?
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