Statistique descriptive : observation d’une variation conjointe de deux variables

Question de recherche : existe-t-il un lien significatif entre deux variables ?

1. Formulation de l’hypothèse nulle \((H0)\) : les deux variables sont indépendantes
2. Test d’hypothèse et calcul d’une p-value \(p\) : probabilité d’obtenir les données observées si \((H0)\) est vraie
3. Prise de décision grâce au seuil de significativité \(\alpha\) :
   1. \(p < \alpha\) : le lien est significatif, on peut rejeter \((H0)\) et conclure qu’il est raisonnable de postuler l’existence d’un lien.
   2. \(p \geqslant \alpha\) : le lien n’est pas significatif, on ne peut donc pas rejeter \((H0)\) et il est impossible de conclure.

Jusqu’ici, nous avons donné une définition temporaire et incomplète de la valeur \(p\).

Pour comprendre exactement ce à quoi elle correspond, il est nécessaire de :

1. Comprendre le fonctionnement général du test d’hypothèse (voir séance 12)
2. Savoir précisément comment on l’obtient (sujet du jour) :
   1. Quel principe sous-jacent guide le calcul de la p-value ?
   2. Comment la calculer en pratique ?

La question à laquelle permet de répondre un test d’hypothèse : « Que se passerait-il si les variables étudiées étaient indépendantes ? »

L’idée sous-jacente du calcul de la p-value est la suivante :

• Faisons comme si nous étions dans un monde où les variables étaient indépendantes, c’est-à-dire où \((H0)\) serait vraie
• Simulons ce qui se passerait si nous faisions de très nombreuses enquêtes dans cet univers
• Comparons notre enquête observée avec les enquêtes simulées et voyons si nos données observées seraient fréquentes dans cet univers

La valeur \(p\) résume cette comparaison en donnant la probabilité d’obtenir nos données observées dans cet univers.

Si les variables sont indépendantes, elles se répartissent donc complètement au hasard d’une enquête à l’autre. À chaque fois que nous simulons une enquête, il suffit donc de mélanger aléatoirement les valeurs d’une des deux variables.

Imaginons que notre enquête sur la cuisine porte uniquement sur 4 individus, deux hommes et deux femmes :

À chaque nouvelle simulation, on mélange (permutation) les valeurs de la variable “Pratique de la cuisine comme loisir” :

Pour simplifier, nous résumons la taille de l’effet obtenu pour chaque simulation. Dans notre cas (deux variables avec deux modalités), nous pouvons nous contenter de compter l’une des quatre combinaisons possibles.

La valeur la plus probable s’appelle l’effectif théorique (1 dans cet exemple).

Notre effectif observé est 0 (voir diapositive 8), d’où la valeur \(p\) :

\[p = \frac{\text{Fréquence de l'effectif observé}}{\text{Nombre total de simulations}} = \frac{16655}{100000} \approx 0.17\]

Résultats des 100000 simulations :

Résultats des 100000 simulations :

L’effectif théorique est de 616 : si les deux variables étaient indépendantes, alors la valeur la plus probable serait 616 (probabilité de \(\frac{3656}{100000} \approx 0.04\)).

Dans notre véritable enquête (données observées), nous avons observé que 490 femmes répondent “Non” à la question posée.

Dans le monde où les deux variables sont indépendantes, ce cas de figure s’est présenté 0 fois sur 100000 simulations, d’où

\[p = \frac{0}{100000} = 0\]

Jusqu’alors, nous avons estimé l’effet observé en prenant la valeur d’une des quatre cases du tableau croisé. En effet, en connaissant une des ces valeurs et la valeur des marges, nous pouvons reconstituer les autres valeurs.

On dit que le degré de liberté du tableau est de 1.

En pratique, la mesure de l’effet obtenu et de sa probabilité est plus compliquée que dans les exemples précédents. Il faut en effet tenir compte :

• du degré de liberté du problème (plus le nombre de valeurs des variables augmente, plus le degré de liberté augmente)
• du type de variables étudiées (qualitatives ou quantitatives)
• du type de comparaison effectué

On notera :

• \(E\) la mesure de l’effet en général
• \(E^*\) la mesure de l’effet observé (dans le monde réel)
• \(E_1, E_2, ...\) la mesure de l’effet obtenu dans la simulation 1, 2, …

Le principe du calcul de \(p\) reste le même :

1. Réaliser plusieurs simulations comme si \((H0)\) était vraie
2. Mesurer les effets \(E_1\), \(E_2\), … obtenus pour chaque simulation
3. Regarder la fréquence de l’effet observé \(E^*\) par rapport aux effets simulés

Cependant, pour des raisons mathématiques de calcul des probabilités, il devient impossible de mesurer la fréquence exacte de \(E^*\) quand :

• le nombre de simulations tend vers l’infini (devient très grand)
• le nombre de valeurs possibles de \(E\) est continu (est très élevé)

Pour y remédier, on mesure la probabilité d’obtenir un effet au moins aussi grand que \(E^*\).

Le principe du test d’hypothèse et du calcul de la \(p\)-value reste toujours le même.

En pratique, le calcul de la \(p\)-value dépend :

• de \((H0)\)
• du type des variables étudiées
• de la mesure de l’effet obtenu et de sa loi de répartition

D’où la déclinaison du test d’hypothèse en plusieurs versions, selon ces paramètres. Bien souvent, un test spécifique prend le nom de la loi de répartition.

C’est notamment le cas du test du \(\chi^2\) (khi-deux).

Le test du \(\chi^2\) permet de savoir si un lien entre deux variables qualitatives est significatif ou non.

1. Formulation de l’hypothèse nulle \((H0)\) : les deux variables sont indépendantes
2. Calcul du \(\chi^2\) pour les données observées (noté \(\chi^2*\))
3. Calcul de la \(p\)-value, a l’aide de la loi de répartition du \(\chi^2\) et la valeur observée du \(\chi^2*\)
4. Prise de décision grâce au seuil de significativité \(\alpha\) :
   1. \(p < \alpha\) : rejet de \((H0)\)
   2. \(p \geqslant \alpha\) : non rejet de \((H0)\)

Données observées (notées \(O\)) :

Nous avons déjà détaillé l’ensemble du test d’hypothèse pour cet exemple lors de la séance précédente. Ici, nous allons nous concentrer sur les étapes 2 (calcul du \(\chi^2*\) observé) et 3 (calcul de la \(p\)-value).

Calcul des effectifs théoriques (notés \(T = \frac{\text{Produit des marges}}{\text{Total}}\)) :

Rappel : les effectifs théoriques sont les plus probables dans un monde où \((H0)\) est vraie (diapositives 11 et 14).

Calcul du \(\chi^2\) de chaque case \(\frac{(O - T)^2}{T}\) :

Calcul du \(\chi^2*\) (khi-deux observé) en faisant la somme de chaque case :

\[\chi^2* = 31.56 + 40.09 + 25.77 + 32.73 \approx 130.15 \]

Pour calculer la \(p\)-value, nous avons besoin de la loi de répartition du \(\chi^2\). Or cette dernière change selon le degré de liberté (\(ddl\)) du problème étudié :

Calcul du degré de liberté du tableau :

Sans compter les marges :

\[ddl = (\text{Nombre de lignes} - 1) \times (\text{Nombre de colonnes} - 1)\]

D’où :

\[ddl = 1\]

Sur le graphique précédent, nous pouvons lire que la valeur critique du \(\chi^2\) (au seuil de significativité \(\alpha = 0.05\)) est d’environ \(3.8\).

Or \(\chi^2* \approx 130,15 > 3.841\).

Deux manières de conclure :

• Graphiquement : on pourrait placer le \(\chi^2*\) sur le graphique et colorer l’aire sous la courbe pour représenter graphiquement la \(p\)-value. Il serait alors visible que l’aire de \(\alpha\) est plus grande que celle de \(p\), donc \(p < \alpha\).
• Numériquement : l’énoncé ou le logiciel donne directement la valeur de \(p\), on peut donc comparer directement à \(\alpha = 0.05\).

Nous reprenons les mêmes exemples que dans la séance précédente (séance 12) : reportez-vous au corrigé de la séance précédente pour avoir toutes les étapes du test d’hypothèse et sa conclusion.

Ici, nous détaillons simplement le calcul du \(\chi^2\) et de la valeur \(p\) pour chaque exercice.

« […] Dans votre travail actuel, qu’est-ce qui l’emporte ? »

Effectuez le test du \(\chi^2\) en détaillant le calcul de la valeur \(p\).

\[\chi^2* \approx 14.82\]

\[ddl = (2 - 1) \times (3 - 1) = 1 \times 2 = 2\]

« En dehors du cadre scolaire ou professionnel, au cours des 12 derniers mois, avez-vous pratiqué alors que vous n’y étiez pas obligé(e) […] aller au cinéma? ».

Effectuez le test du \(\chi^2\) en détaillant le calcul de la valeur \(p\).

\[\chi^2* \approx 1.63\]

\[ddl = (2 - 1) \times (2 - 1) = 1 \times 1 = 1\]